董　鍵

(曲阜師范大學 物理工程學院，山東 曲阜 273165)

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Franck-Hertz實驗的統(tǒng)計模擬

董鍵

(曲阜師范大學 物理工程學院，山東 曲阜 273165)

摘要：傳統(tǒng)上，F(xiàn)ranck-Hertz實驗曲線的振蕩特征被解釋成電子與原子碰撞時能量量子化轉移的證據，峰間距被解釋成原子的激發(fā)能. 實際上，電子對原子有各種激發(fā)，電子有各種能量損失，而柵極G2對電子的直接吸收嚴重影響曲線形狀，板極電流是單位時間內所接收的電子數(shù)的反映. 對汞管的模擬計算表明，若賦予柵極G2對電子直接吸收概率，將電子對原子的激發(fā)也用概率來描寫，繞過電子與原子的碰撞以及電子與電極相互作用的細節(jié)，用統(tǒng)計方法可以成功地導出汞管的F-H實驗曲線，并能反映實驗的主要特征.

關鍵詞：Franck-Hertz實驗； 柵極吸收概率； 碰撞激發(fā)概率； 統(tǒng)計模擬

100年前，J.Franck和G.Hertz改進了氣體放電裝置，發(fā)明了F-H管，發(fā)現(xiàn)了F-H曲線[1]，N.Bohr首先將此振蕩特征解釋為電子與原子碰撞過程中能量量子化轉移的證據[2]，原子物理課程和物理實驗都基本沿用了Bohr的解釋[3-5]. 該解釋的實質是認為單電子過程的能量守恒定律可以反映在F-H曲線上. 然而，F(xiàn)-H實驗是眾多物理過程作用的綜合結果[6-7]，F(xiàn)-H曲線是統(tǒng)計曲線，與單粒子的運動過程和單粒子的性質沒有直接關系，從該曲線上很難得到原子或電子的準確信息. 從實際效果來看，F(xiàn)-H實驗為電子轟擊原子使之激發(fā)或者電離提供了條件，是改變原子狀態(tài)的有效手段.

為了闡明F-H曲線的統(tǒng)計性質，也為了更好地分析F-H管內所發(fā)生的物理過程，本文提出了電子運動的簡化模型，該模型將柵極G2對電子的直接吸收作用考慮進來，并賦予吸收概率，對電子與原子的碰撞激發(fā)也用概率來描寫，繞開了電子與原子碰撞，以及電子與電極之間相互作用的復雜細節(jié)，完全用統(tǒng)計方法模擬導出F-H曲線.

1被忽視的柵極G2對電子的直接吸收

F-H實驗的一種電路構型如圖1所示，用該電路測量Hg原子的第一激發(fā)曲線. 實驗所用F-H管為雙柵柱面四極型充Hg管，其工作過程是：燈絲F烘烤陰極K發(fā)射熱電子，電壓UG1K控制從柵極G1通過的電子數(shù)量，柵極G1-G2之間是漂移區(qū)，電子被加速獲得能量，同時也與原子碰撞，原子可能被激發(fā)，一些越過G2的電子進入G2-P之間的反射區(qū)，動能減少，最后一些電子到達板極P，形成板極電流IP. 通過改變加速電壓UG2G1，可得到振蕩的IP曲線. 本文將以圖1為藍本進行探討[8].

圖1　F-H實驗的一種電路

柵極對電子可以直接吸收，亦即在到達柵極G2的電子中，除了能量低而不能越過反射區(qū)的電子一定要被G2吸收外，還有一部分能量高可以通過反射區(qū)的電子也被G2吸收了. G2對電子的直接吸收對F-H曲線的形成至關重要，因為陰極發(fā)射的電流IK最終要被G1,G2以及P所吸收，形成第一柵極電流IG1、第二柵極電流IG2和板極電流IP，由電荷守恒關系有：

IK=IG1+IG2+IP.

(1)

在燈絲電壓UF和控制電壓UG1K不變的情況下，IK近似為一定值，因此，IP與其他2項存在著競爭關系，要解釋IP隨加速電壓UG2G1的變化，從分析IG1和IG2的變化入手，是一個可能的途徑. 在UG1K確定的情況下，G1的吸收電流IG1也近似為定值，因此，IG2與IP形成直接的競爭關系.

2F-H管內電子-原子碰撞模型和G2吸收模型

鑒于在確定的實驗條件下G1的吸收電流IG1近似為定值，模擬計算中假設單位時間內通過G1進入漂移區(qū)G1-G2的電子數(shù)為n1，統(tǒng)計越過反射區(qū)G2-P到達P的電子數(shù)為k，歸一化的板極電流定義為

(2)

以下是針對充Hg的F-H管所設計的電子運動模型.

1)Hg原子的基態(tài)是61S0，63P0,63P1和63P2是3個最低的激發(fā)態(tài)，激發(fā)能分別為4.67,4.89，5.46 eV. 假設Hg原子只有最低的3個激發(fā)態(tài)可能被激發(fā)，不考慮更高能級的激發(fā)和電離.

2)電子與Hg原子碰撞，原子被激發(fā)的概率與電子能量E有關[9]，鑒于此結果對Hg原子激發(fā)概率做出簡化設定，見圖2，其意義分述如下：

圖2　Hg原子不同狀態(tài)被激發(fā)的概率模型

E<4.67eV時，Hg原子的3個狀態(tài)都不能激發(fā)，激發(fā)概率都是0；

4.67 eV≤E<4.89 eV時，只有63P0可能被激發(fā)，激發(fā)概率保持為p1，而且該狀態(tài)在其他高能量段被激發(fā)的概率也保持為p1；

4.89 eV≤E<5.46 eV時，63P0和63P1都有可能被激發(fā)，63P1的激發(fā)概率保持為p2；

E≥5.46 eV，3種狀態(tài)都能被激發(fā)，其中63P1和63P2的激發(fā)概率均保持為p3.

當電子能量滿足多個能級的激發(fā)時，激發(fā)將在各個能級間競爭，假定競爭平等，當1個原子獲得被激發(fā)的機會后，激發(fā)概率用以上3個概率值描寫，而在模擬計算時則采取相對值，具體取值只能試探設定，以定性說明實驗事實為宜.

3)在G1和P之間，由隨機數(shù)發(fā)生器產生n2個均勻分布的隨機數(shù)，作為電子與原子碰撞的位置，排列在G1-P之間的直線上，每個電子都經過n2個不同位置的碰撞，圖3所示是這些碰撞位置示意圖.n2的值可以參考實驗溫度下電子平均自由程和各個電極之間的距離而定，例如在通常實驗溫度范圍內n2=10～30比較接近實際情況. 只考慮電子的碰撞位置，從模擬技術上繞過電子運動的復雜路徑，將電子與原子碰撞的細節(jié)“壓縮”到n2中.

圖3　電子與原子碰撞位置分布示意圖

4)G2對到達的電子有直接吸收，這種吸收作用對各種能量的電子都存在. 吸收概率與電子能量和加速電壓有關：電子能量E越小，被吸收的概率越大；加速電壓UG2G1影響電子運動的軌跡，進而影響到電子被吸收的概率，當加速電壓較低時，電子軌跡橫向波動較大，撞到金屬絲上的機會就多；當加速電壓較高時，電子軌跡橫向波動減小，徑直穿過縫隙的機會增大.

由以上分析，可設電子被G2吸收的概率為

p=exp [-φ1(E)-φ2(UG2G1)],

(3)

函數(shù)φ1和φ2很難測量，只能做合理的假設.

5)G1-P間的電位分布按3個互相嵌套的長直金屬圓筒間的電位分布近似處理，分布式為

(4)

其中，r1=r0+d1，r2=r1+d2，r3=r2+d3，r0是陰極半徑，取1 mm.

6)從陰極發(fā)出的電子初動能分布范圍很小，由于部分電子被G1吸收，改變了熱電子的能量分布，經過G1之后的能量分布只能近似地假設，例如假設電子的能量分布密度為指數(shù)形式

f(E)=λe-λE,

(5)

其中λ為分布參量，電子的平均動能為1/λ，可以取零點幾eV.

7)模擬計算中不計光電流、離子流的貢獻，也不計電子在彈性碰撞中的能量損失和各電極之間空間電荷的影響.

3導出F-H曲線

按照上述模型對電子在G1-P之間的運動過程進行了計算機模擬，目標是獲得F-H曲線. 模擬中采用的具體參量和函數(shù)為：λ=1.5 eV-1，p1=0.5，p2=0.6，p3=0.7，φ1(E)=0.03E，φ2(U)=0.003U2，UG2P=4 V，n1=105，n2=20.

模擬結果見圖4，再現(xiàn)了F-H曲線的主要特征，說明模型合理，抓住了F-H管內電子運動的主要方面. 由模擬過程可知：曲線的頂部輪廓特征主要是由于柵極G2對電子的概率吸收特性所致，若改變G2對電子的吸收概率，則頂部輪廓將敏感地隨之而變；而底部輪廓特征將在后面加以討論，并揭示模擬曲線的其他特征，進一步闡釋該模型所蘊含的物理意義.

圖4　Hg管的F-H模擬曲線

4F-H曲線特征與F-H管內物理過程分析

4.1F-H曲線的峰間距

實驗發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)-H曲線的峰間距隨加速電壓的增大而不斷增大，模型能夠導出峰間距分布的這一規(guī)律. 由于模擬的F-H曲線峰點附近各個點的高度有起伏，因此，峰點位置不好唯一確定，在峰點附近進行多項式擬合，取多項式的極大值點作為F-H曲線的峰點. 在前文所取參量條件下，尋找各個峰點，然后計算相鄰兩峰點的水平位置之差ΔUpp，按差值的編號n對這些差值作圖，見圖5. 圖中曲線雖然有起伏，但總的趨勢是增大的，在具體數(shù)值上比文獻[8]所測量的峰間距偏高. 由此斷言，F(xiàn)-H曲線的振蕩性的確是由于原子分立的狀態(tài)被激發(fā)所造成，但曲線峰間距并不對應某個狀態(tài)的激發(fā)能，它是原子多能級激發(fā)的統(tǒng)計結果.

圖5　模擬Hg管的F-H曲線峰間距分布

圖6是圖4的起始放大段，可以看出前幾個谷的形狀關于極小值位置不對稱，極小值位置偏左，第一個谷比較平坦，后面的谷逐步尖銳，此特征與模擬參量關系不敏感，可以作為實驗檢驗的標志之一，尤其是反射電壓稍高時.

圖6　模擬Hg管F-H曲線的起始段特征

4.2F-H曲線的溫度效應

在F-H實驗中，溫度對F-H曲線影響很大.在充Hg的F-H管中，溫度首先影響了Hg蒸氣的濃度，進而影響到電子與原子的碰撞頻率和激發(fā)類型. 在本文模型中，溫度效應可以用n2來表示，溫度升高，n2增大. 保持其他參量不變，使n2依次增大，模擬出每種情況下的F-H曲線，見圖7，曲線與實驗測量結果非常相似[10].

圖7　模擬Hg管F-H曲線的溫度效應

4.3F-H管內電子的能譜

應用本模型，可以計算G1-P之間任何橫截面上電子的能量分布. 作為對比，選擇了6個加速電壓，計算了電子在G2處和P處的能量分布，分別見圖8和圖9，其中每張圖的每一行左側的圖對應峰點能譜，右側的圖對應相鄰右側谷點的能譜. 可以看出：1)能譜呈現(xiàn)多峰分布而不是類似玻爾茲曼分布的單峰分布[8,11]；2)隨著加速電壓的增大，能譜向著高能方向延伸，高能譜峰數(shù)量逐漸增加；3)P處和G2處的能譜不相似，P處能譜不僅更向低能方向集中，而且譜峰的結構也沒有G2處清晰，這是電子在G2-P之間存在非彈性碰撞所致. 譜峰的這些特點，尤其是G2處的能譜分布，表明有較多的電子此前已經具備了使Hg原子高激發(fā)甚至電離的能量，因此，在測量Hg原子“第一激發(fā)曲線”的實驗條件下，F(xiàn)-H管內一定存在著高激發(fā)和電離的碰撞.

圖8　不同加速電壓下G2處電子能譜

圖9　不同加速電壓下P處電子能譜

4.4F-H管內原子激發(fā)位置的統(tǒng)計分布

在某個加速電壓下，可以統(tǒng)計Hg原子不同狀態(tài)的激發(fā)位置，圖10是在6個不同的加速電壓下模擬的Hg原子63P1態(tài)的激發(fā)位置分布曲線. 由圖10可以看出:激發(fā)位置連續(xù)分布，而且呈現(xiàn)多峰，這些峰的位置對應電子獲得的能量滿足使63P1態(tài)產生新一輪的激發(fā)；在加速電壓比較大時，峰不明顯，激發(fā)位置幾乎均勻分布在G1-G2之間，而在G2-P之間激發(fā)的數(shù)量下降. 其他狀態(tài)的激發(fā)位置分布與此類似，只是峰位有所移動. 可以推想，Hg原子更高能級的激發(fā)分布也呈現(xiàn)此特點，這就解釋了實驗中F-H管內呈現(xiàn)出多個光圈的現(xiàn)象[12-13]，當加速電壓較高時，管子將呈現(xiàn)通體發(fā)光.

圖10　Hg原子63P1態(tài)的激發(fā)位置分布

激發(fā)位置的這種分布，否定了用平均自由程觀點來規(guī)定“激發(fā)層”概念的有效性[14]，當加速電壓滿足使Hg原子進行最低激發(fā)后，任何位置都可能出現(xiàn)原子被激發(fā)，無法根據加速電壓滿足某個激發(fā)能量的整數(shù)倍關系來推測原子激發(fā)數(shù)量，而是與IP峰的形成拉上關系；在多個能級被激發(fā)的情況下，關系更加復雜，各個能級存在競爭關系，無法單獨規(guī)定某個能級的“激發(fā)層”.

4.5越過G2且能量大于eUG2P的電子數(shù)

本模型能使我們洞悉F-H管內更多的通常被忽略的細節(jié)，例如，可以統(tǒng)計越過G2且能量大于eUG2P的電子數(shù)k2. 電子傳統(tǒng)上被認為可以通過反射區(qū)而到達P，如果沒有減損，將直接決定了IP，因此，將這樣的電子數(shù)與IP比較，可以看出由于在反射區(qū)碰撞導致原子激發(fā)而有多少電子不能到達P，模擬結果見圖11. 可見，k2/n1也呈現(xiàn)振蕩狀態(tài)；IP比k2/n1低，這說明電子在反射區(qū)對原子的激發(fā)不能忽略，尤其是在加速電壓較高時.

圖11　越過G2且能量大于eUG2P的電子數(shù)分布

從圖11還可發(fā)現(xiàn)，IP與k2/n1有相位差別：在起始段，電子到達G2時能量較低，在反射區(qū)激發(fā)原子的次數(shù)很少，二者差別不大；隨著加速電壓升高，進入反射區(qū)的高能量電子(E>4.67 eV的電子，下同)越來越多，激發(fā)原子的次數(shù)也越來越多，在導致IP下降的同時，也造成了相位的差別，而且隨著加速電壓的升高，二者的相位差越來越大，造成k2/n1的峰間距增大得比IP峰間距增大得還要快. 由此可見：IP峰間距的不斷增大，與k2/n1峰間距的不斷增大和電子在反射區(qū)內激發(fā)原子造成到達P的電子數(shù)減少有關.

4.6板極電流IP中高能量電子的貢獻

模擬程序可以統(tǒng)計越過G2后高能量電子數(shù)k3，這些電子有可能使反射區(qū)的原子激發(fā). 可以將k3/n1與IP同時作圖，結果見圖12，可見，k3/n1也是振蕩上升的，且與IP有高度相關性，二者之間有基本固定的相位差. 因此，IP不能籠統(tǒng)地說是由過G2時能量E>eUG2P的電子形成，更多地是由高能量電子所貢獻，尤其要注意比較2條曲線的谷點高度，很明顯，F(xiàn)-H曲線的“本底電流”，其實大部分來自這些高能量電子的貢獻，它不能輕易地減掉，留下純粹的振蕩峰是毫無意義的[15]. 這么多電子達到G2時還具備較高的能量，表明此前的碰撞中這些電子并沒有按照通常的理解一旦能量達到某個激發(fā)態(tài)能量，就很快將能量損失掉. 其原因是：當電子獲得的累積能量足夠完成多次原子激發(fā)時，由于每次碰撞激發(fā)有一定的概率，不同的激發(fā)事件互相獨立，完成所有可能激發(fā)的概率是每次激發(fā)概率的乘積，總的概率就很小，電子就會剩余較多能量.

圖12　IP與通過G2的高能量電子數(shù)比較

5結束語

F-H曲線的統(tǒng)計性質來自于這樣的事實：原子有多個能級參與激發(fā)，電子能量的損失是各種各樣的，并非只損失單一的數(shù)值；每一時刻，板極所接收的電子帶有各種能量，并非只有一種能量；板極電流IP只是電子數(shù)量的統(tǒng)計，與能量沒有直接關系，按能量解釋該曲線有些牽強. 據此反思，F(xiàn)-H實驗的解釋過程存在疑點，需要在研讀原著和歷史資料的基礎上加以辨別[1-2,16-17].

致謝:本文在成稿過程中得到中國科學技術大學霍劍青教授熱情鼓勵，中國科學院物理研究所梁會力博士在文獻上給予了大力支持，在此一并致衷心的感謝！

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[責任編輯：任德香]

收稿日期：2016-01-03；修改日期：2016-05-14

作者簡介：董鍵(1962-)，男，山東微山人，曲阜師范大學物理工程學院講師，碩士，從事實驗、計算和教育研究.

中圖分類號：O562

文獻標識碼：A

文章編號：1005-4642(2016)07-0006-06

Statistical simulation of Franck-Hertz experiment

DONG Jian

(College of Physics and Engineering, Qufu Normal University, Qufu 273165, China)

Abstract:Traditionally, the oscillation characteristics of Franck-Hertz experiment is interpreted as an evidence of quantum energy transfer from electrons to atoms when they collide, the peak spacing is interpreted as the excitation energy of the atom. In fact, there are many kinds of excitation induced by electrons. The energy loss of the electron, and the grid G2 also had serious impacts on the shape of the curve due to its direct absorption of the electrons. The anode current was not a direct reflection of the electron energy, but the reflection of the number of electrons received in unit time. Simulation on mercury tube showed that if assign directly an electron absorption probability to the grid G2, and using a probability to describe the electron excitation of atoms, so as to bypassing the details of collisions between electrons and atoms, and the interaction of electrons with the electrode, the Franck-Hertz curve could be successfully obtained using statistical methods, and the main features of the experiment was reflected.

Key words:Franck-Hertz experiment; grid absorption probability; impacting excitation probability; statistical simulation