印亞榮　傘冰冰

(河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院， 南京　210098)

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基于擴(kuò)展有限元法的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

印亞榮傘冰冰

(河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院， 南京210098)

摘要：利用擴(kuò)展有限元法能夠在結(jié)構(gòu)內(nèi)部出現(xiàn)缺陷時(shí)無需重新劃分網(wǎng)格、簡(jiǎn)化有限元分析計(jì)算的特點(diǎn)，將其與拓?fù)鋬?yōu)化相結(jié)合，計(jì)算在變密度法的SIMP (Solid isotropic microstructures with penalization)模型下的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化．建立結(jié)構(gòu)在體積約束下的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，將其與結(jié)合普通有限元的拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)行對(duì)比分析，對(duì)普通結(jié)構(gòu)分析比較結(jié)果的一致性表明其對(duì)于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題的可用性．對(duì)有孔洞約束下的平面結(jié)構(gòu)和殼體結(jié)構(gòu)的分析結(jié)果表明其對(duì)于有缺陷結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題的網(wǎng)格劃分更加簡(jiǎn)單，最終拓?fù)鋱D形不會(huì)產(chǎn)生由孔洞約束而產(chǎn)生的尖端和應(yīng)力不均勻現(xiàn)象．

關(guān)鍵詞：拓?fù)鋬?yōu)化；擴(kuò)展有限元；變密度法

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化是結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題，從研究Michael桁架的離散體結(jié)構(gòu)優(yōu)化到Bendson和Kikuchi提出連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的均勻化方法[1]以來，連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的方法不斷出現(xiàn)，如漸近結(jié)構(gòu)優(yōu)化法[2](ESO)、變密度法[3-4]、變厚度法等．Sigmund等對(duì)基于變密度法的建模方法進(jìn)行深入研究，提出了正交各向同性微結(jié)構(gòu)材料懲罰模型法[5](SIMP)，G. L. N. Rozany詳細(xì)闡述了該模型的主要優(yōu)勢(shì)和背景資料．

目前，變密度法成為應(yīng)用最廣泛的拓?fù)鋬?yōu)化方法之一，廣泛應(yīng)用于多種約束和響應(yīng)的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化問題．因其理論難度較低，數(shù)學(xué)模型容易實(shí)現(xiàn)、計(jì)算效率高，現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用．但是Diaz和Sigmund[7]指出，拓?fù)鋬?yōu)化采用有限元方法對(duì)設(shè)計(jì)區(qū)域進(jìn)行離散化時(shí)，有時(shí)網(wǎng)格的不連續(xù)的排列反而使材料具有更好的“虛擬”剛度．這就造成了數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生，例如棋盤格式、網(wǎng)格依賴性等問題．

美國(guó)西北大學(xué)Belytschko教授等人首先提出擴(kuò)展有限元思想[8]，并將其應(yīng)用到拓?fù)鋬?yōu)化中[9]，求解結(jié)構(gòu)中有多種材料存在的優(yōu)化問題．?dāng)U展有限元法是以有限元為基本框架，以單位分解為基礎(chǔ)，主要針對(duì)不連續(xù)問題進(jìn)行研究．其網(wǎng)格劃分與結(jié)構(gòu)內(nèi)部的幾何、物理界面無關(guān)，克服了在高應(yīng)力和變形集中區(qū)進(jìn)行高密度網(wǎng)格劃分所帶來的困難，從而可以克服由于網(wǎng)格問題引起的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象．因此本文利用其擴(kuò)展有限元法對(duì)網(wǎng)格劃分的優(yōu)勢(shì)，與拓?fù)鋬?yōu)化相結(jié)合來解決結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象．

由于一般結(jié)構(gòu)的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生的不確定性，對(duì)于內(nèi)部有固定孔洞的結(jié)構(gòu)，內(nèi)部的形式是由孔洞決定的，利用有限元法時(shí)肯定會(huì)出現(xiàn)局部網(wǎng)格劃分不均勻，造成計(jì)算量的增大和優(yōu)化后應(yīng)力集中的情況．因此本文分析內(nèi)部具有孔洞的結(jié)構(gòu)，利用ABAQUS軟件進(jìn)行分析優(yōu)化，對(duì)平面結(jié)構(gòu)不直接在結(jié)構(gòu)開孔洞而是在孔洞外側(cè)建立擴(kuò)展有限元性質(zhì)的缺陷繼而進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，結(jié)果證明可以讓結(jié)構(gòu)在不提高計(jì)算量和無需二次網(wǎng)格過濾的基礎(chǔ)上，得到同樣具有孔洞且無應(yīng)力集中的結(jié)構(gòu)．

1SIMP拓?fù)鋬?yōu)化理論

變密度法是從均勻化方法發(fā)展來的，它把拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)化為材料的最優(yōu)分布問題，其基本思想是人為假定一種實(shí)際工程中并不存在的密度可變材料單元，從而材料的物理屬性可以以材料單元密度函數(shù)的形式表達(dá)．以區(qū)間[0，1]內(nèi)的密度值為設(shè)計(jì)變量，直接定義一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式來表達(dá)密度與彈性模量間假定的函數(shù)關(guān)系．繼而引入懲罰因子，對(duì)設(shè)計(jì)變量在(0，1)之間的中間密度值進(jìn)行懲罰，使中間密度值逐漸向0/1兩端聚集．這時(shí)除了密度靠近1的單元保留下來，其他單元對(duì)結(jié)構(gòu)剛度矩陣影響將變得很小，可以忽略不計(jì)．由于變密度法設(shè)計(jì)變量的數(shù)量較少，容易通過編程實(shí)現(xiàn)，計(jì)算效率也比較高，因此得到了廣泛的應(yīng)用．

固體各向同性材料懲罰模型是一種常用的密度-剛度插值模型，從對(duì)中間密度的懲罰效果來看，SIMP插值模型的處理效果比RAMP插值模型略好．SIGMUND等對(duì)變密度法材料插值模型進(jìn)行了深入研究[10]，從理論上研究了各種不同變密度法的材料插值模型，證明了中間密度物理意義的存在．

1.1優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

基于變密度理論的拓?fù)鋬?yōu)化是以單元相對(duì)密度為設(shè)計(jì)變量，拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型為：求x={x1，x2，…，xN}T

(1)

圖1　SIMP插值模型

p為懲罰系數(shù)，p>1會(huì)降低中間密度材料的產(chǎn)生，p越大懲罰效果越強(qiáng)，但p太大會(huì)引起結(jié)構(gòu)剛度矩陣的病態(tài)，以及迭代過度懲罰得不到合理的結(jié)果，這里取p=3．

1.2優(yōu)化算法

優(yōu)化模型為帶不等式約束的非線性規(guī)劃問題，特點(diǎn)為設(shè)計(jì)變量多，每個(gè)迭代步都要進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，求解拓?fù)鋬?yōu)化的主流算法可以分為數(shù)學(xué)規(guī)劃法[11]、啟發(fā)式算法和優(yōu)化準(zhǔn)則法[12]3類．

優(yōu)化準(zhǔn)則法是把最優(yōu)解需要滿足的Kuhn-Tucker條件[13]作為最優(yōu)結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的準(zhǔn)則，通過引入Lagrange函數(shù)，引入Lagrange乘子，將有約束的非線性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題．優(yōu)化準(zhǔn)則法下的變密度法拓?fù)鋬?yōu)化就是通過改變密度使得結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)的改變和約束條件的變化相平衡，逐步迭代使得結(jié)構(gòu)滿足Kuhn-Tucker所要求的駐值條件．優(yōu)化準(zhǔn)則法要求重分析的次數(shù)一般跟變量的數(shù)目沒有多大關(guān)系，收斂速度快，迭代次數(shù)少，最主要是和結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度和大小無關(guān)，所以對(duì)中型和大型結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)有重要的實(shí)際意義．

2擴(kuò)展有限元法

傳統(tǒng)有限元對(duì)于位移場(chǎng)的描述是基于單元的，每個(gè)單元內(nèi)部的位移場(chǎng)函數(shù)總是通過形函數(shù)和單元結(jié)點(diǎn)位移來表達(dá)的：

(2)

擴(kuò)展有限元法是單位分解方法[14-15]的特例，利用有限元形函數(shù)作為單位分解函數(shù)，引入非連續(xù)位移模式來描述非連續(xù)性位移場(chǎng)．?dāng)U展有限元法將模型分為：(Ⅰ)在忽略內(nèi)邊界情況下對(duì)區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格剖分；(Ⅱ)在單元形狀函數(shù)中增加與內(nèi)邊界有關(guān)的附加函數(shù)，改進(jìn)有限元逼近空間，既得擴(kuò)展有限元法下全域的位移逼近函數(shù)為：

(3)

式中，Ni、Nj為形狀函數(shù)矩陣，ψj為改進(jìn)函數(shù)．ui表示常規(guī)自由度；Ne表示單元改進(jìn)結(jié)點(diǎn)數(shù)；Nn表示不存在不連續(xù)界面的單元結(jié)點(diǎn)數(shù)；aj表示單元改進(jìn)結(jié)點(diǎn)上的附加自由度．

對(duì)裂紋問題所涉及的兩個(gè)改進(jìn)函數(shù)描述如下：廣義Heaviside函數(shù)H(x)：對(duì)于裂紋表面采用Heaviside函數(shù)H(x)，在裂紋上方H(x)取1，裂紋下方H(x)取-1；裂尖函數(shù)ψa(x)：為了模擬裂紋尖端，改善斷裂計(jì)算中裂尖場(chǎng)的精度，各種問題下裂尖改進(jìn)函數(shù)不相同．

擴(kuò)展有限元法在模擬裂紋擴(kuò)展問題的應(yīng)用最為成熟，可以通過在含有裂紋的結(jié)點(diǎn)處增加額外自由度來反映裂紋的存在．相對(duì)有限元方法來說，擴(kuò)展有限元法顯著提高了描述復(fù)雜位移場(chǎng)的能力，對(duì)于處理靈活的非連續(xù)邊界問題，避免了網(wǎng)格重新劃分的工作．對(duì)于拓?fù)鋬?yōu)化方法中，利用擴(kuò)展有限元法復(fù)雜內(nèi)邊界的網(wǎng)格劃分問題，其優(yōu)勢(shì)是去除了可能發(fā)生的拓?fù)鋱D形凹凸或尖端的問題，省去了后期對(duì)不穩(wěn)定現(xiàn)象的二次優(yōu)化，較好地提高了拓?fù)鋬?yōu)化的效率．

3算例分析

算例1：如圖2所示的0.16m×0.1m×0.006m平面矩形懸臂梁結(jié)構(gòu)，材料彈性模量為10GPa，泊松比為0.3，密度為10t/m3，右邊界中點(diǎn)施加一集中荷載F=9kN．采用SIMP方法，以結(jié)構(gòu)的最小化應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù)，體積比小于40%為約束條件，結(jié)合擴(kuò)展有限元法的拓?fù)鋬?yōu)化分析中．以最大主應(yīng)力失效準(zhǔn)則作為擴(kuò)展起始的依據(jù)，最大主應(yīng)力為300MPa，擴(kuò)展演化選取基于能量的、線性軟化的、混合模式的指數(shù)演化規(guī)律，粘性系數(shù)為0.001．利用ATOM模塊計(jì)算在減少的體積下，材料的合理排布可以得到的最優(yōu)剛度解，即得到最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)．本例經(jīng)過51次迭代結(jié)構(gòu)重分析和優(yōu)化求解后達(dá)到收斂狀態(tài)，圖3為拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的mises應(yīng)力云圖．

圖2　拓?fù)淠Ｐ汀　D3　拓?fù)浣Y(jié)果的Mises應(yīng)力云圖

拓?fù)鋬?yōu)化中應(yīng)變能的迭代變化曲線和體積比迭代變化曲線如圖4和圖5所示，該拓?fù)鋬?yōu)化過程是在體積比小于40%的基礎(chǔ)上將應(yīng)變能優(yōu)化到最小值的過程，結(jié)構(gòu)首先滿足約束條件體積比的要求，進(jìn)而進(jìn)行應(yīng)變能最小化的進(jìn)程．表1列出了兩次優(yōu)化結(jié)果的應(yīng)變能、體積比以及最大mises應(yīng)力的數(shù)值結(jié)果．

圖4　應(yīng)變能迭代變化曲線　　圖5　體積比迭代變化曲線

參數(shù)應(yīng)變能/J最大mises應(yīng)力/MPaFEM33.4136344.722XFEM33.4089394.428

由于變密度法計(jì)算的體積比是結(jié)構(gòu)中有效單元的體積比，與實(shí)際刪減單元后的體積比不同，所以與實(shí)際拓?fù)涞^程體積變化不一致．在ATOM模塊中進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化的計(jì)算，結(jié)果顯示其最優(yōu)拓?fù)湫问胶瓦\(yùn)用普通有限元法計(jì)算的最優(yōu)拓?fù)湫问綆缀跸嗤?，一方面說明了結(jié)合擴(kuò)展有限元法的拓?fù)鋬?yōu)化的計(jì)算結(jié)果正確可用，另一方面表明其為未來結(jié)合擴(kuò)展有限元的拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)一步的研究提供了一個(gè)分析的基礎(chǔ)空間．

算例2：由于在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中的拓?fù)鋬?yōu)化有額外的實(shí)際要求，比如有某一些構(gòu)件需預(yù)留孔洞以滿足特定位置的構(gòu)造要求，就需要結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化后的特定位置留有孔洞，對(duì)于普通有限元方法而言，可以在算例1結(jié)構(gòu)開孔洞后再進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化．利用擴(kuò)展有限元法對(duì)于處理缺陷情況的優(yōu)勢(shì)，在其孔洞兩側(cè)建立擴(kuò)展有限元性質(zhì)的缺陷，由于所需要的孔洞包含在建立的缺陷內(nèi)部，因此缺陷經(jīng)過優(yōu)化過程中的擴(kuò)展就可以形成所需要的孔洞，如圖6是擴(kuò)展有限元方法下的結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格劃分情況和最終拓?fù)鋱D形．該結(jié)構(gòu)經(jīng)過33次的迭代過程達(dá)到收斂狀態(tài)，圖7顯示出了其拓?fù)鋬?yōu)化迭代過程圖形．

圖6　XFEM方法下的起始和最終拓?fù)鋱D形

圖7　XFEM拓?fù)鋬?yōu)化迭代過程

基于普通有限元的拓?fù)鋬?yōu)化經(jīng)過38次迭代達(dá)到收斂，分析結(jié)果圖形和應(yīng)變能變化曲線如圖8和圖9所示．

圖8　拓?fù)鋬?yōu)化起始和最終圖形

圖9　應(yīng)變能變化曲線

由于孔洞對(duì)于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的劃分的影響，使得拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的圖形在預(yù)開洞口的位置會(huì)出現(xiàn)尖端，為了使結(jié)果更加合理就必須利用網(wǎng)格過濾法對(duì)其進(jìn)行二次優(yōu)化．基于普通有限元方法的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果顯示，在最后變形圖中會(huì)出現(xiàn)結(jié)構(gòu)的1桿件結(jié)構(gòu)較細(xì)、應(yīng)力值較小的情況，造成了最終拓?fù)鋱D形不符合所要求的結(jié)構(gòu)形式，不利于在實(shí)際工程中的應(yīng)用．

算例3：如圖10所示為雙曲扁殼模型，尺寸為1 m×1 m，厚度0.01 m，四角固定，材料的彈性模量為E0=2×1011Pa，泊松比為0.3，集中力F=100 N．結(jié)構(gòu)在中間需開有半徑為100 mm的圓形孔洞，網(wǎng)格劃分如圖11所示．建立SIMP模型，以最小化應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù)，體積比小于0.4作為約束條件，選取懲罰因子為p=3．

圖10　雙曲扁曲殼模型　　　　圖11　結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分

基于擴(kuò)展有限元方法下的拓?fù)鋬?yōu)化過程中，經(jīng)過45次迭代過程達(dá)到收斂狀態(tài)．普通有限元方法下的拓?fù)鋬?yōu)化經(jīng)過55次迭代達(dá)到收斂狀態(tài)，其拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果和應(yīng)變能的變化曲線如圖12和13所示．

圖12　拓?fù)鋬?yōu)化最終圖形

圖13　應(yīng)變能變化曲線

兩者結(jié)果做對(duì)比可以看出最終結(jié)構(gòu)在應(yīng)變能相差不大的情況下，擴(kuò)展有限元方法收斂速度更快，結(jié)果更加簡(jiǎn)單，其最終結(jié)果在滿足孔洞要求的同時(shí)，其內(nèi)部邊界又更利于操作加工．由于結(jié)構(gòu)受力對(duì)稱，所以最終優(yōu)化結(jié)構(gòu)在上下方向處于對(duì)稱狀態(tài)，但是普通有限元方法下的結(jié)構(gòu)由于單元網(wǎng)格的劃分不能與擴(kuò)展有限元方法下和缺陷的擴(kuò)展無關(guān)，影響了后期孔洞的形成，在左右方向上并不能和想象的一樣處于對(duì)稱狀態(tài)．

4結(jié)論

1)本文通過將擴(kuò)展有限元法與拓?fù)鋬?yōu)化方法的結(jié)合，利用擴(kuò)展有限元方法對(duì)于網(wǎng)格劃分處理的優(yōu)點(diǎn)，結(jié)合SIMP變密度法，對(duì)同一模型分別進(jìn)行普通有限元和擴(kuò)展有限元方法下的拓?fù)鋬?yōu)化分析，結(jié)果表明了基于擴(kuò)展有限元法的拓?fù)鋬?yōu)化對(duì)于結(jié)構(gòu)的優(yōu)化合理且正確．

2)本文對(duì)于需在特定位置留構(gòu)造孔洞的平面結(jié)構(gòu)和殼體結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行計(jì)算比較，結(jié)果顯示其結(jié)果更加合理，在實(shí)際中具有較好的實(shí)用性．對(duì)于平面結(jié)構(gòu)和殼體結(jié)構(gòu)將結(jié)構(gòu)內(nèi)邊界脫離了孔洞的約束，在滿足空洞要求的前提下結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能與普通有限元方法下的結(jié)果一致，也避免了由于孔洞而可能會(huì)出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)形式問題和應(yīng)力問題．

3)本文的計(jì)算結(jié)果從整體模型來看與前者差距不是很大，但是從應(yīng)用角度而言其優(yōu)越性就能體現(xiàn)出來，當(dāng)計(jì)算到體量較大、模型較為復(fù)雜的時(shí)候，計(jì)算效率的優(yōu)勢(shì)以及模型局部合理性的優(yōu)勢(shì)就會(huì)體現(xiàn)出來，更好地為實(shí)際工程服務(wù)．

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[責(zé)任編輯周文凱]

收稿日期：2015-10-20

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助(項(xiàng)目批準(zhǔn)號(hào)：51578211)

通信作者：印亞榮(1991-)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)橥負(fù)鋬?yōu)化．E-mail：yinyarong@163.com

DOI：10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2016.01.012

中圖分類號(hào)：TU311.41

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672-948X(2016)01-0057-05

Structural Topology Optimization of Continuum Using Extended Finite Element Method

Yin YarongSan Bingbing

(College of Civil & Transportation Engineering, Hohai Univ., Nanjing 210098, China)

AbstractThe extended finite element method can solve the problem when the mesh is splited by crack without remeshing, which can simplify the finite element analysis. We analyze the structural topology optimization of continuum using the Solid isotropic microstructures with penalization, taking full advantage of extended finite element method. The model under the constraint of volume was established using alterable density method for taking the topology optimization with generalized finite element method and that with extended finite element method into comparative analysis. The result supports that the topology optimization using extended finite element method is available and efficient. Then we analyze the original planar and shell structure constraint with a fixed hole, which show topology optimization with extended finite element method can simplify the meshing and eliminate the possibility of producing the tip or inhomogeneous stresses.

Keywordstopology optimization；extended finite element method；alterable density method