吳玉紅

摘 要：眾所周知，數形結合作為一種重要的思想方法，處處滲透在新教材中，而平面直角坐標系作為數學研究中的一種重要工具，它更是數形結合思想的重要體現?？墒窃谛陆滩闹校鴺讼祩戎赜凇皵怠苯Y合形解決代數問題，而“形”結合數解決幾何題則涉及較少。為此，結合教學實踐，就如何基于建立坐標系巧解幾何問題，從距離問題、圓心距問題、最值問題三個維度進行了經驗總結。

關鍵詞：坐標系；幾何題；教材；數學

一、研究的背景

1.基于教材本身的需要

數形結合作為一種重要的思想方法，滲透在新教材中。而平面直角坐標系作為數學研究中的一種重要工具，它更是數形結合思想的重要體現?？墒窃谛陆滩闹?，坐標系側重于“數”結合形解決代數問題，而“形”結合數解決幾何題則涉及較少。不妨多滲透些巧建直角坐標系，妙解幾何問題的內容，將“形”更好地結合數解決幾何問題。

2.基于教師自身的需要

教學實踐顯示，日常教學中，教師多注重“數”結合形解代數問題，而忽略“形”結合數解決幾何問題。

比如，教師在教學代數問題時，為了凸顯數形結合思想的有效性，往往會深入學習數形結合解題的巧妙性。比如，在含絕對值的不等式教學中，會將代數問題轉化為數軸上點與點之間的距離問題，從而將代數分類討論題轉化為數軸中的形的問題。同時，也體現了教師處理問題的多樣性和解題時的高效性，學生也佩服之至。而在解決一些復雜圖形的證明問題或求值問題時，為了體現教師較強的解題能力，往往會花大力氣將圖形抽象出一些基本圖形，回顧知識點，慢慢整理然后花一黑板解釋解題過程，而學生總算明白了老師的一番苦心。其實，我們不妨多滲透些巧建直角坐標系，妙解幾何問題的方法，利用“形”結合數來解決幾何問題，或許教學會更加的輕松。

二、研究的具體做法

學生就像一塊被撂荒的土地，需要老師去耕耘。我們在耕耘這塊土地時，不僅需要耐心、愛心，還需要找準適合他們的方法。幾何題常常成為學生數學學習中的絆腳石，涉及的內容很多，學生對知識的應用不夠熟練。下面從距離問題、圓心距問題、面積問題、最值問題等方面談談巧建坐標系解決幾何問題的方法，為教學提供一定的參考。

1.基于坐標系解決距離問題

距離問題在幾何中是一個常見的題型。有直接利用直角三角形求解的，也有通過全等、等量替換等將線段轉移、轉化求解的。但是在解決問題時會發(fā)現證明一些中間量的時候有一定的難度，從而耽誤了整個問題的求解。下面針對這種情況對比建系前后問題解決的難易，凸顯巧妙建系在一定程度上降低問題的難度，達到事半功倍的效果。

【分析】本題主要考查的知識點是旋轉變換、中垂線的性質定理和逆定理、勾股定理，條件看似簡單，但想要求出AE的長，再上述一二實際解法中都容易碰到問題。解法一對于特殊的等腰直角三角形，巧添輔助線后，充分利用了30°直角三角形的邊之間的直接關系，通過兩次勾股定理求得所求線段的長度。但是輔助線的添加很多學生不一定能想到，另外，利用兩次鉤股定理求解的過程中，最后的被開方結果化簡有一定的困難，容易出現根號里面套根號的形式，最終結果不夠最簡。

2.基于坐標系解決圓心距問題

圓心距問題看似簡單的兩個點之間的距離，利用直角三角形的勾股定理應該比較容易求得，但這些都基于圖形已知或容易作出圖形的問題中，但遇到作圖有困難的問題時，想要再次利用勾股定理等的轉化去求解就會變得比較困難，比如下面的例題，通過巧建坐標系就能輕松地解決這個問題。

解法二：兩公切線互相垂直，不妨將互相垂直的兩條公切線分別當作x軸，y軸建立起直角坐標系，則圓心A，圓心B就是在直角坐標系平面內到兩坐標系的距離為2和6的點。利用對稱性不妨將圓心相對坐標系的位置轉化為以下三種情況進行研究，如圖5：

【分析】按照常規(guī)思路，如解法一我們需畫出三種情況：兩條內公切線互相垂直，一條外公切線一條內公切線互相垂直，兩條外公切線互相垂直。前兩種情形中的兩圓顯然是外離，通過作過切點的半徑，構造出矩形與直角三角形進行計算，而后一種情形在未算出圓心距時則不能判定位置關系，這就給畫圖帶來了困難。但如果我們換一種思路，發(fā)現兩條公切線互相垂直，正好為我們建立直角坐標系提供了條件，把互相垂直的兩條公切線分別當作x軸，y軸建立起直角坐標系，那么圓心距就轉化成直角坐標系中兩點間的距離了。而圓心A，圓心B相對切線來說就是必定在與切線距離為半徑的直線上，即在直角坐標系平面內到兩坐標系的距離為2和6的點。因此，圓心的位置就容易確定了，而問題就轉化成平面直角坐標系內兩點之間的距離問題了。

3.基于坐標系解決最值問題

圖形問題中，尤其是在運動中尋求最值在幾何圖形中占了不小的比例。通常我們會將這個變化過程中的一些變量用未知數來表示，從而通過建立函數關系式來求最值問題，其實這已經接近與利用直角坐標系解決問題了。但是在解決問題過程中往往會需要借助較多的幾何知識尋找量與量之間的關系，對知識的綜合應用能力要求相對比較高，其實在想到利用函數解決問題的時候不妨直接考慮巧建坐標系，將諸多的量直接轉化為坐標之間的關系，思路會更加的清晰。

解法二：如圖9建立直角坐標系，等價于圖10，在直線上找一點E到直線同側兩點P，B′的距離和的最小值。過點B作x軸的平行線，并且在這條平行線上截取線段BB′，使BB′=1，作點P關于x軸的對稱點P′，連接P′B′，交x軸于點E，在x軸上截取線段EF=1，則此時四邊形ABEF的周長最小。

【分析】本題的考點是利用軸對稱的性質，三角形三邊關系欲使四邊形ABEF的周長最小問題。利用常規(guī)解法，如解法一解決。如解法一中需要利用勾股定理、相似、平行四邊形等較多的知識證明線段相等，涉及的知識點多，書寫比較麻煩，一方面影響解題速度，另外數學的嚴密性也需時刻關注。尤其是在確定位置的時候要利用三角形相似求線段的長度，比較繁瑣。而解法二在分析出線段PB與EF是定長后，只需BE+AF最小，從而通過巧建坐標系將問題轉化為在直線上找一點E到直線同側兩點P，B′的距離和的最小值。而且在求線段最值和點E的位置時充分利用坐標系的優(yōu)點，結合直線方程方便快速求出點E位置。

總之，數形結合作為一種重要的思想方法滲透在新教材中。平面直角坐標系作為數學研究中的一種重要工具，它更是數形結合思想的重要體現。本文從距離問題、圓心距問題、面積問題、最值問題巧建坐標系，通過對比建坐標系前后解題過程的分析，凸顯巧建坐標系在解決幾何問題方面的優(yōu)勢，為學生在今后的學習過程中提供一題多解的思路，也為教師在今后的教學中提供一個教學參考。

參考文獻：

[1]宋木蘭.初中數學教學案例與反思：平面直角坐標系[J].考試周刊，2015.

[2]薛黨鵬.解析幾何問題的解題技巧[J].中等數學，2003（4）.

編輯 李建軍