吳祝林　王　偉　朱鵬輝　陳　曦

(1. 河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京　210098； 2. 河海大學(xué) 巖土工程科學(xué)研究所， 南京　210098)

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基于改進(jìn)Kelvin模型的三維蠕變損傷模型研究

吳祝林1，2王偉1，2朱鵬輝1，2陳曦1，2

(1. 河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210098； 2. 河海大學(xué) 巖土工程科學(xué)研究所， 南京210098)

摘要：巖石在長(zhǎng)時(shí)間的蠕變發(fā)展中，會(huì)呈現(xiàn)出不同的階段性特性，開(kāi)始表現(xiàn)為衰減蠕變，蠕變速率逐漸減小，緊接著保持穩(wěn)定的蠕變速率呈現(xiàn)穩(wěn)定蠕變發(fā)展，最后外界應(yīng)力超過(guò)屈服應(yīng)力導(dǎo)致加速蠕變．常用的元件模型只能有效地模擬衰減和穩(wěn)定蠕變階段，加速蠕變特性則需要引進(jìn)非線性特性的元件模型或是損傷理論，本文引進(jìn)損傷理論和損傷元件，與常用元件組合模型串聯(lián)組合，即可模擬出全過(guò)程的巖石蠕變特性，通過(guò)引進(jìn)彈塑性損傷元件和Kelvin元件模型，建立了三維改進(jìn)的Kelvin蠕變損傷模型，并推導(dǎo)了三軸壓縮下巖石的軸向應(yīng)變方程，用砂巖蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)擬合出模型參數(shù)．建立的模型參數(shù)較少，易于確定，而且推導(dǎo)的三維模型更能真實(shí)的反應(yīng)巖石在自然界中的應(yīng)力狀態(tài)．

關(guān)鍵詞：加速蠕變；損傷理論；彈塑性損傷；軸向應(yīng)變

巖石流變[1-2]是巖石學(xué)科中重要的一塊內(nèi)容，在理論上它不僅反應(yīng)了巖石的力學(xué)特性，包括變形特性、強(qiáng)度特性等，而且也與巖石工程問(wèn)題的長(zhǎng)期穩(wěn)定性密切相關(guān)．目前國(guó)家的許多工程問(wèn)題都需要研究巖石的流變特性，如隧道工程、邊坡工程等，因此，有效掌握巖石的流變特性，有助于降低工程成本、減少工程事故．現(xiàn)有的流變模型大多數(shù)是基于一維的，不能有效地反應(yīng)巖石自然界中處于三維應(yīng)力狀態(tài)的真實(shí)情況，如何構(gòu)建三維應(yīng)力狀態(tài)的且參數(shù)較少的流變模型，正是本文研究的重點(diǎn)．

目前流變模型[3-4]大致是基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀⒃Ｐ?、損傷理論構(gòu)建的[5-8]．然而這些模型大多數(shù)是只考慮一維情況的，自然界中的巖體基本處于三維應(yīng)力下，因此有必要將一維蠕變方程推導(dǎo)成三維，探討三維的蠕變模式，且這些模型能夠描述加速蠕變階段的也不多．在前人對(duì)加入蠕變階段的研究中，較多的是先引進(jìn)非定常參數(shù)，進(jìn)而建立蠕變模型．范慶忠[9]在元件組合模型中用非線性損傷變量代替了Burgers中的線性部分，且有效地模擬了軟巖的三階段蠕變特征，且繼續(xù)在文獻(xiàn)[10]中采用了損傷和硬化的兩種機(jī)制來(lái)描述非線性損傷部分，模擬的試驗(yàn)曲線有效驗(yàn)證了模型的合理性；陳衛(wèi)忠[11]建立的非線性蠕變方程是考慮了粘滯系數(shù)的影響，且將推導(dǎo)的蠕變速率與試驗(yàn)蠕變速率對(duì)比分析，表明鹽巖非線性蠕變模型的有效性．朱昌星[12]以錦屏二級(jí)水電站為例，考慮時(shí)效損傷和加速門檻值的特征，建立了包含加速蠕變?cè)趦?nèi)的三階段蠕變損傷方程．張強(qiáng)勇[13]則將巖石蠕變方程中的參數(shù)看做是非定常的，且參數(shù)隨著蠕變時(shí)間而弱化，也有效的建立了蠕變方程，并繼續(xù)推導(dǎo)了三維差分形式．然而，這些建立的蠕變模型大多數(shù)都是基于一維情況，缺少三維模型的形式，且模型參數(shù)較復(fù)雜，自然界中的應(yīng)力更是處于三維應(yīng)力狀態(tài)下，因此有必要在簡(jiǎn)單模型參數(shù)的情況下繼續(xù)推導(dǎo)出三維蠕變模型形式．本文在簡(jiǎn)單的Kelvin本構(gòu)模型中引入彈塑性損傷體來(lái)描述加速階段特性，并將整個(gè)模型推導(dǎo)成三維形式，通過(guò)砂巖蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)擬合求出參數(shù)，參數(shù)少，易于擬合，這是簡(jiǎn)單蠕變模型的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，最后，用試驗(yàn)數(shù)據(jù)蠕變曲線對(duì)比分析模型理論曲線，吻合度較好，表明推導(dǎo)的三維模型較為合理．

1流變本構(gòu)模型的建立

1.1改進(jìn)的Kelvin一維本構(gòu)模型

引進(jìn)曹文貴[14]對(duì)巖石蠕變過(guò)程的研究，將巖石蠕變方程看作是線性階段和加速階段的組合，其中，用彈塑性損傷體來(lái)描述模型中的加速階段，線性階段則用基本流變?cè)﨣elvin元件模擬，由此組合的巖石蠕變模型既能描述線性階段，當(dāng)外界應(yīng)力超過(guò)巖石屈服應(yīng)力時(shí)，又能描述加速階段．串聯(lián)組合的巖石蠕變模型如圖1所示，彈塑性損傷體用來(lái)模擬加速蠕變階段，Kelvin元件模型則有效模擬減速蠕變階段，當(dāng)外界應(yīng)力小于屈服應(yīng)力σs時(shí)，只產(chǎn)生Kelvin體應(yīng)變?chǔ)舦e，當(dāng)外界應(yīng)力超過(guò)巖石屈服應(yīng)力σs時(shí)，損傷體起作用，產(chǎn)生加速蠕變，即巖石總應(yīng)變?chǔ)艦閺椝苄該p傷體應(yīng)變?chǔ)舉p和Kelvin體應(yīng)變?chǔ)舦e的疊加．

圖1　巖石蠕變模型

Kelvin體的粘彈性應(yīng)變 如下式[15]：

(1)

彈塑性損傷體本構(gòu)模型如下式[14]：

(2)

由式(1)、(2)可得巖石一維狀態(tài)下的全過(guò)程蠕變方程：

(3)

引入開(kāi)關(guān)函數(shù)〈σ0〉，并令：

(4)

(5)

由上式可知該蠕變模型方程有如下特點(diǎn)：

1)如果巖石出現(xiàn)加速蠕變階段，即σ0≥σs及〈σ0〉=1，則當(dāng)t→tF，ε→∞且dε/dt→∞，顯然，該模型能反應(yīng)巖石加速蠕變階段特征．

2)如果巖石不出現(xiàn)加速蠕變階段即σ0<σs及〈σ0〉=0，上式可寫成：

(6)

可見(jiàn)，該蠕變模型能夠反映初期蠕變特征

1.2三維本構(gòu)模型推導(dǎo)

改進(jìn)的Kelvin模型三維應(yīng)力示意圖如圖2所示．圖中，GM為彈塑性損傷體的剪切模量，GK為Kelvin體的剪切模量，HK為Kelvin體的粘滯系數(shù)，sij為偏應(yīng)力張量，相應(yīng)的偏應(yīng)變張量為eij，通過(guò)下式計(jì)算：

（1）這樣在其中一組數(shù)前加負(fù)號(hào)，則兩組數(shù)的和為0。這樣的問(wèn)題可歸納為找到幾個(gè)和為18的數(shù)。（2）找到了一組和為18的數(shù)，則余下的數(shù)和必為18，這兩數(shù)具有對(duì)偶性，在任一組數(shù)前加負(fù)號(hào)，它們的和都為0。（3）在8個(gè)數(shù)中，添加負(fù)號(hào)的數(shù)至少為3個(gè)，至多為5個(gè)，（因?yàn)?+7+3=18,1+2+3+4+8=18），循著規(guī)律去分析，大家終于得出這一問(wèn)題的所有答案。

圖2　改進(jìn)Kelvin模型三維示意圖

(7)

(8)

由Kelvin體可求得其偏應(yīng)變方程：

(9)

彈塑性損傷體在未受損(即偏應(yīng)力小于屈服偏應(yīng)力s1-s3

(10)

聯(lián)立式(8)～(10)可得建立的三維模型蠕變方程：

(11)

對(duì)于損傷變量D，引進(jìn)文[14]對(duì)損傷變量的定義，即：

(12)

式中，tF為巖石從開(kāi)始蠕變到蠕變破壞的總時(shí)間．代入式(11)得：

(13)

此即為改進(jìn)Kelvin模型的三維蠕變方程．

當(dāng)試樣處于三軸壓縮時(shí)，其應(yīng)力狀態(tài)特征為

(14)

其軸向應(yīng)變可表示為

(15)

不考慮塑性體積應(yīng)變和和體積流變應(yīng)變，即εvp=εvc=0，則式(15)變?yōu)?/p>

(16)

在巖石三軸壓縮試驗(yàn)過(guò)程中，先施加圍壓，再讀取產(chǎn)生的應(yīng)變，因此相應(yīng)產(chǎn)生的應(yīng)變?yōu)?/p>

(17)

由上幾式可推導(dǎo)得到試樣三軸壓縮狀態(tài)下的軸向應(yīng)變?chǔ)艦?/p>

ε=

(18)

2模型參數(shù)的確定

由建立的模型可知，該模型共有GM、GK、HK、tF、α 5個(gè)參數(shù)，其中tF為巖石蠕變壽命，可根據(jù)蠕變?cè)囼?yàn)曲線巖石的破壞時(shí)間來(lái)確定，另4個(gè)參數(shù)可根據(jù)試驗(yàn)曲線擬合得到，參數(shù)較少，易于擬合．

引進(jìn)王偉[16]的砂巖在3MPa圍壓條件下的蠕變?cè)囼?yàn)曲線，如圖3所示．由試驗(yàn)曲線可知，砂巖的蠕變過(guò)程經(jīng)由試驗(yàn)曲線可知，砂巖的蠕變過(guò)程歷了初始蠕變階段、穩(wěn)定蠕變階段和加速蠕變階段，在圍壓3MPa條件下，100MPa應(yīng)力作用下，出現(xiàn)了瞬時(shí)彈性變形，150MPa應(yīng)力作用下，由于超過(guò)了砂巖的屈服應(yīng)力，因此出現(xiàn)了加速蠕變階段，直至砂巖損傷破壞．

圖3　圍壓3 MPa條件下砂巖蠕變?cè)囼?yàn)曲線

本文基于一維蠕變方程的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出三維蠕變方程，通過(guò)引入蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)[16]，擬合蠕變方程，求出各級(jí)應(yīng)力狀態(tài)下的三維模型參數(shù)，見(jiàn)表1，并將試驗(yàn)曲線與三維模型理論曲線對(duì)比分析，兩者吻合完好，如圖4所示．從圖4可以看出，該蠕變模型不僅能很好模擬前期的初始蠕變和等速蠕變階段特征，而且還能很好的描述當(dāng)外界應(yīng)力超過(guò)屈服應(yīng)力的加速蠕變階段特征．由此可以驗(yàn)證本文改進(jìn)三維蠕變模型的合理性．由于在此基礎(chǔ)上擬合求出的模型參數(shù)是針對(duì)砂巖在3MPa圍壓下得出來(lái)的結(jié)果，對(duì)于其他巖樣或是不同圍壓作用下該模型的有效性如何，還需做進(jìn)一步的試驗(yàn)研究．

圖4　圍壓3 MPa條件下三維蠕變模型理論曲線與試驗(yàn)曲線對(duì)比

σ1-σ3/MPaGM/GPaGK/GPaHK/GPa·hK/GPaα10014.06138.4847015.84-12056.9218.696835.28-13014.6575.08230025.89-14024.7229.3846055.28-15071615.322.574.900.35

3結(jié)論

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，引入彈塑性損傷體描述加速蠕變階段，與描述線性階段的Kelvin體組合，在一維的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出三維模型．得到以下結(jié)論：

1)Kelvin體能有效的模擬巖石線性階段過(guò)程，對(duì)于非線性階段，通過(guò)引入損傷變量，構(gòu)建損傷演化方程．將引進(jìn)的彈塑性損傷體與Kelvin體串聯(lián)組合，有效的模擬了在各級(jí)應(yīng)力作用下巖石的全過(guò)程蠕變過(guò)程，即從較小的初始應(yīng)力下的初始蠕變和穩(wěn)定蠕變階段，到應(yīng)力等級(jí)逐漸增大而產(chǎn)生的加速蠕變階段．

2)大多數(shù)蠕變方程都是基于一維的，本文在一維的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出三維蠕變方程，建立了反映蠕變損傷的三維蠕變本構(gòu)方程，該三維蠕變本構(gòu)形式簡(jiǎn)單，參數(shù)易于確定，更適宜推廣．

3)通過(guò)對(duì)砂巖三軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)曲線的模擬，擬合出各級(jí)應(yīng)力狀態(tài)下的模型參數(shù)，包括其中的加速蠕變階段，對(duì)比分析理論曲線與試驗(yàn)曲線的吻合度，可表明建立的三維蠕變方程不僅能反應(yīng)初始蠕變階段和穩(wěn)定蠕變階段，更能有效的反應(yīng)加速蠕變階段，從而驗(yàn)證了本文三維蠕變損傷模型的合理與有效性．

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[責(zé)任編輯周文凱]

收稿日期：2016-01-08

基金項(xiàng)目：國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展973項(xiàng)目(2011CB013504)；留學(xué)回國(guó)人員科研啟動(dòng)基金(51103312)

通信作者：吳祝林(1990-)，男，碩士，從事巖石力學(xué)與工程方面研究．E-mail：1206725293@qq.com

DOI：10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2016.02.007

中圖分類號(hào)：TU45

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672-948X(2016)02-0029-04

Research on Three-dimensional Creep Damage Model Based on Improved Kelvin Model

Wu Zhulin1,2Wang Wei1,2Zhu Penghui1,2Chen Xi1,2

(1. Key Laboratory of Ministry of Education for Geotechnic & Embankment Engineering , Hohai Univ., Nanjing 210098, China; 2. Geotechnical Research Institute, Hohai Univ., Nanjing 210098, China)

AbstractRock creep will present different phased characteristics in the long time creep developing; it begins to show the attenuation creep, creep rate decreasing, and then keeps steady creep development in a stable creep rate; finally it evolves to accelerated creep after the external stress exceeding yield stress. Common component model can only effectively simulate the attenuation and stable creep stage; accelerated creep properties require the component model or damage theory to simulate the nonlinear characteristics. This paper introduces the damage theory and damage elements, combined with commonly used components in series to simulate the whole process of rock creep property. Meanwhile by introducing elastopalstic damage components and Kelvin components model, a three-dimensional modified Kelvin creep damage model is established; and a rock equation of axial strain under triaxial compression is deduced; and fitting model parameters with creep experimental data of sandstone. The established model's parameters is less and easy to determine; and the derived three-dimensional model can better reflect the rock stress state in nature.

Keywordsaccelerated creep；damage theory；elastoplastic damage；axial strain