陳曉停，曹蘭杰，汪金花

（華北理工大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院，河北唐山063009）

嶺估計在多項式曲面擬合GNSS高程中的應(yīng)用

陳曉停，曹蘭杰，汪金花

（華北理工大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院，河北唐山063009）

嶺估計；GNSS高程擬合；多項式曲面擬合

使用多項式曲面擬合法進(jìn)行GNSS高程異常擬合時，法方程系數(shù)矩陣可能存在嚴(yán)重病態(tài)從而導(dǎo)致擬合結(jié)果不可信的問題。針對擬合過程中病態(tài)現(xiàn)象，應(yīng)用嶺估計的方法進(jìn)行了擬合試驗。通過唐山灤縣GNSS水準(zhǔn)網(wǎng)數(shù)據(jù)試驗驗證，結(jié)果與傳統(tǒng)多項式曲面擬合模型相比較，嶺估計方法不僅克服了法方程的病態(tài)性，而且擬合的內(nèi)外符合精度較高。

當(dāng)前，GNSS測量因其全方位、全天候、全時段和高精度的特點已被廣泛應(yīng)用于工程測量中，GNSS測量獲得的高程是基于WGS－84橢球的GNSS大地高，而在實際工程應(yīng)用中，地面點的高程采用正常高系統(tǒng)，因此通常需要將GNSS大地高轉(zhuǎn)換為正常高［1］。對于小區(qū)域范圍內(nèi)的工程，利用多項式曲面擬合GNSS水準(zhǔn)，計算簡單且一般能夠滿足精度要求。

在實際應(yīng)用中，由于多項式擬合模型需要的參數(shù)太多，自變量間的復(fù)共線關(guān)系增強，表現(xiàn)為設(shè)計矩陣嚴(yán)重病態(tài)。并且由于GNSS觀測時間較短，衛(wèi)星和接收機構(gòu)成的幾何圖形幾乎沒有變化，歷元之間的觀測近似屬于重復(fù)觀測，這樣就造成觀測數(shù)據(jù)不足，數(shù)據(jù)之間具有相關(guān)性，而平差時是將數(shù)據(jù)作為相互獨立的進(jìn)行處理。這些因素都會引起誤差方程的病態(tài)，進(jìn)而影響解的穩(wěn)定性，在處理數(shù)據(jù)時，可以使用嶺估計解決這類“病態(tài)問題”［2］。

1 GNSS高程異常解算的數(shù)學(xué)模型

1．1 數(shù)學(xué)模型

高程異常為似大地水準(zhǔn)面與參考橢球面之間的高程差，若能精確地求出GNSS網(wǎng)點的高程異常ζ，就可以求出GNSS點的正常高H正常。大地高H與正常高H正常的關(guān)系如圖1所示。

為了求得高程異常的值，可以對測區(qū)內(nèi)已知的高程異常值建立某種數(shù)學(xué)模型，將其擬合成一個曲面，得到測區(qū)內(nèi)任一點的高程異常值，從而求得正常高。使用二次多項式曲面擬合進(jìn)行GNSS高程擬合，則地面上任一點A（x，y）的高程異常與平面坐標(biāo)的關(guān)系可以用式（1）表示：

式中，ζ為高程異常；ε是一個隨機變量；f （x，y）可用下式表示：

當(dāng)有n個已知點時，上式也可寫成矩陣形式是：

式中，B為系數(shù)矩陣；X為估值向量；ζ為各點高程異常值。

圖1 大地高、正常高及高程異常的關(guān)系

1．2 平差估計方法

一般來說，解算高程異常的數(shù)學(xué)模型經(jīng)常使用的平差估計方法有最小二乘估計、穩(wěn)健估計和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法。多項式擬合模型使用最小二乘估計方法經(jīng)常會出現(xiàn)復(fù)共線性問題，嶺估計可以解決這個問題。

參數(shù)X的嶺估計定義為

式中：k＞0為任意常數(shù)，稱為嶺參數(shù)；其中N＝BTPB。

嶺估計實質(zhì)上是一種改良的最小二乘估計法，通過放棄最小二乘法的無偏性，以損失部分信息、降低精度為代價獲得回歸系數(shù)更為符合實際、更可靠的回歸方法，對病態(tài)數(shù)據(jù)的耐受性遠(yuǎn)遠(yuǎn)強于最小二乘法［3］。

2 嶺估計的高程異常擬合過程

2．1 處理流程

多項式曲面擬合GNSS高程時，使用嶺估計進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的流程如圖2所示。首先使用條件數(shù)法進(jìn)行復(fù)共線性關(guān)系的診斷與度量。方陣N的條件數(shù)定義為：

式中λ是N的特征值。條件數(shù)度量了λ的散布程度，可以用來判斷復(fù)共線性是否存在及其嚴(yán)重程度。若0＜p＜100，則認(rèn)為沒有復(fù)共線性；若100≤p≤1 000，則認(rèn)為存在中等程度或強的復(fù)共線性；若p＞1 000，則認(rèn)為存在嚴(yán)重的復(fù)共線性，模型病態(tài)，需要使用嶺估計［4］。

圖2 數(shù)據(jù)處理流程圖

嶺估計的關(guān)鍵在于嶺參數(shù)的選取。平差估計方法選擇嶺估計是為了減少均方誤差，提高估計準(zhǔn)確度，所以應(yīng)該選擇使均方誤差達(dá)到最小的嶺參數(shù)［5］。但是嶺參數(shù)k的最優(yōu)值依賴于未知參數(shù)，并且這種依賴關(guān)系沒有顯式表示，這使得k的確定變得十分困難［6］。確定k值的方法有許多種，本試驗使用雙h公式法確定嶺參數(shù)k值。雙h公式法因公示中含有兩個可選擇的參數(shù)h1，h2而得名，可簡化為h1＝t，h2＝0，文中所提到的大地高H與正常高H正常是大地測量學(xué)中的專業(yè)術(shù)語。使用雙h公式法求嶺參數(shù)k，首先使用最小二乘法計算XLS以及σ2LS，代入到公式（6）求出k的取值。

式中，t為必要觀測元素的個數(shù)，XLS為在最小二乘原則下對模型進(jìn)行求解得出的參數(shù)，σ2LS為使用最小二乘方法求得的方差因子。

3 應(yīng)用實例

3．1 數(shù)據(jù)來源

數(shù)據(jù)來源于唐山市灤縣的實測資料，試驗數(shù)據(jù)分布范圍較大，其中一部分點分布在山區(qū)，一部分點分布在平原地區(qū)。位于平原地區(qū)的點高程變化較小，GNSS大地高的高程最大值為40．404 0，最小值為30．136 6。位于地面起伏較大的山區(qū)的點，高程變化劇烈，GNSS大地高的高程最大值為210．644 6，最小值為39．778 1。

測區(qū)共布設(shè)了63個GNSS點，其中26個點聯(lián)測了四等水準(zhǔn)。在本試驗中，其中的21個點作為參與擬合的已知點，而余下的5個點作為外部檢核點，分別是68、03、09、25、43。試驗分別采用最小二乘法平差多項式曲面擬合法和嶺估計法進(jìn)行參數(shù)解算。試驗的原始數(shù)據(jù)如下，由于數(shù)據(jù)保密需要，部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行了處理，這些點的分布如圖3所示。

圖3 點位分布圖

表1 部分試驗數(shù)據(jù)

3．2 2種平差方法的比較

為了便于比較最小二乘法和嶺估計，使用外符合精度和內(nèi)符合精度來客觀地評價GNSS水準(zhǔn)計算的精度。由參與擬合計算已知點的高程異常值與擬合值的差即擬合殘差，按式（7）計算得到。內(nèi)符合精度可以查看模型得到的擬合值與已知點的高程異常值是否相符，判斷模型的優(yōu)劣。

根據(jù)參與檢核點的高程異常值和擬合值之差，按式（8）來計算2種方法的精度，即得到外符合精度M。外符合精度用于評價預(yù)測模型的好壞，代表了對未知點高程異常進(jìn)行預(yù)測的一致性。

式中，V為外部檢核點高程異常的擬合值與真實值的差值；n為檢核點的個數(shù)。

在本試驗中，其中的21個點作為參與擬合的已知點，而余下的5個點，分別是C068、LⅢ03、LⅢ09、LⅢ25和LⅢ43，不參與方程解算，作為外部檢核點用于檢核。檢核點在山區(qū)和平原均有分布，與兩處的已知點個數(shù)成正比，點位分布合理，且都位于控制網(wǎng)內(nèi)側(cè)。在計算過程中發(fā)現(xiàn)法方程矩陣的最大特征值除以最小特征值的值，即條件數(shù)為8．385 3e＋45，則法方程矩陣呈嚴(yán)重病態(tài)性。按照雙h公式法求得k＝2．693 7e－09，2種方法分別對高程異常進(jìn)行擬合，計算結(jié)果如表2所示。

表2 計算結(jié)果比較

由表2可以看出，對于GNSS高程擬合，基于最小二乘法的多項式曲面模型最為常用，其方法簡單，但精度較低，并且嚴(yán)重偏離真值。最小二乘的均方誤差為9．833 2e＋15，內(nèi)符合精度為61．439 3，得到的殘差都很大，根本不可用。使用嶺估計平差方法的多項式曲面擬合，解決了函數(shù)法方程的病態(tài)問題，內(nèi)外符合精度大大高于最小二乘估計方法的多項式曲面擬合。嶺估計的均方誤差為5．291 2e＋04，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于最小二乘法的均方誤差，得到的高程異常擬合值接近真值，其擬合點的殘差很小，檢核點的殘差均小于40mm，滿足四等水準(zhǔn)限差，可供工程使用。

4 結(jié)論

通過實例計算驗證了嶺估計方法在多項式曲面擬合GNSS高程中的優(yōu)越性，表明雙h公式法求嶺參數(shù)不僅應(yīng)用在曲面擬合中是可行的，而且效果顯著，解決了法方程矩陣呈現(xiàn)病態(tài)這一問題。雖然測區(qū)內(nèi)控制點數(shù)量有限，且由于地形點位分布不夠均勻，難免對試驗結(jié)果產(chǎn)生一定的影響，但是仍可以看出，嶺估計方法很好地改進(jìn)了最小二乘原則下的多項式曲面擬合，內(nèi)外符合精度大大提高，并能滿足四等水準(zhǔn)測量的精度要求，比傳統(tǒng)的最小二乘法更適合于多項式曲面擬合GNSS高程。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 汪金花，劉雨青，吳長悅．一種含穩(wěn)健權(quán)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)GNSS高程擬合模型［J］．測繪通報，2014，（08）：14－16．

［2］ 來園莉．關(guān)于嶺估計的若干問題研究［D］．武漢：武漢科技大學(xué)，2010．

［3］ 陳正宇，徐君民．基于嶺估計的GPS水準(zhǔn)多項式擬合方法研究［J］．工程勘察，2014，（10）：66－68．

［4］ 郝衛(wèi)峰．測量數(shù)據(jù)處理中病態(tài)性問題［D］．湖南：中南大學(xué)，2008．

［5］ 王樂洋，許才軍，魯鐵定．病態(tài)加權(quán)總體最小二乘平差的嶺估計解法［J］．武漢大學(xué)學(xué)報（信息科學(xué)版），2010，35（11）：1346－1350．

［6］ 吳杰，李明峰，余騰．測量數(shù)據(jù)處理中病態(tài)矩陣和正則化方法［J］．大地測量與地球動力學(xué)，2010，30（4）：102－105．

Application of Ridge Estimation in Polynomial Surface Fitting of GNSS Height

CHEN Xiao－ting，CAO Lan－jie，WANG Jin－h(huán)ua
（College of Mining Engineering，North China University of Science and Technology，Tangshan Hebei 063009，China）

ridge estimation；GNSS height fitting；polynomial surface fitting

When fitting the GNSS height anomaly with polynomial surface fitting method，the coefficient matrix of the normal equation may be seriously ill－conditioned，which leads to the problem that the fitting result cannot be trusted．The double h formula method of ridge estimation is used to solve the problem in the process of fitting．The experiment data is from the GNSS network in Luanxian County of Tangshan．The result shows that，compared with the traditional polynomial surface fitting model，ridge estimation not only overcomes the ill condition of the normal equation，but also has higher inner and outer fitting precision．

TD173＋．2

A

2095－2716（2016）04－0001－06

2016－05－19

2016－09－26

唐山市科技支撐項目（13130218Z）。