羅靜蕊， 吳如山， 高靜懷

1 西安理工大學(xué)，自動(dòng)化與信息工程學(xué)院， 西安 710048　2 Modeling and Imaging Laboratory, Earth & Planetary Sciences Department, University of California at Santa Cruz, CA 95064, USA　3 西安交通大學(xué)，海洋石油勘探國家工程實(shí)驗(yàn)室， 西安　710049

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地震包絡(luò)反演對(duì)局部極小值的抑制特性

羅靜蕊1,2,3， 吳如山2， 高靜懷3*

1 西安理工大學(xué)，自動(dòng)化與信息工程學(xué)院， 西安 7100482 Modeling and Imaging Laboratory, Earth & Planetary Sciences Department, University of California at Santa Cruz, CA 95064, USA3 西安交通大學(xué)，海洋石油勘探國家工程實(shí)驗(yàn)室， 西安710049

摘要為了實(shí)現(xiàn)包絡(luò)反演，需要通過一種非線性運(yùn)算來提取信號(hào)包絡(luò).這種非線性的包絡(luò)提取過程可以將信號(hào)包絡(luò)中所包含的對(duì)介質(zhì)擾動(dòng)的大尺度響應(yīng)從原始地震信號(hào)中分離出來，從而抑制反演中的局部極小值，能夠在缺乏低頻信息的情況下，為全波形反演提供一個(gè)良好的初始模型.本文研究包絡(luò)反演對(duì)局部極小值的抑制作用，并通過目標(biāo)函數(shù)形態(tài)的對(duì)比來展現(xiàn)這一特性.對(duì)Marmousi速度模型和Overthrust速度模型做了反演，證明了該方法的有效性.

關(guān)鍵詞包絡(luò)反演； 局部極小值； 初始模型

E-mail: jhgao@mail.xjtu.edu.cn

1引言

地震信號(hào)中低頻信息的缺失導(dǎo)致對(duì)大尺度背景構(gòu)造的反演非常困難，由此也導(dǎo)致了全波形反演對(duì)初始模型的高度依賴性(Virieux and Operto, 2009).在傳統(tǒng)方法中，初始模型一般通過其他技術(shù)提供，如走時(shí)反演(包括基于射線的走時(shí)反演和基于波動(dòng)方程的走時(shí)反演；利用首次到達(dá)波的走時(shí)反演和利用反射波的走時(shí)反演)和速度分析.在全波形反演領(lǐng)域，人們通過使用大偏移距數(shù)據(jù)和多尺度反演的方法來減小全波形反演對(duì)初始模型的依賴性(Bunks et al., 1995; Pratt et al., 1996; Ravaut et al., 2004; Sirgue and Pratt, 2004; Plessix et al., 2010; Sirgue et al., 2010; Fichtner and Trampert, 2011; Vigh et al., 2011; Baeten et al., 2013; Brittan et al., 2013).多尺度反演方法首先從數(shù)據(jù)中的最低頻率出發(fā)反演模型的大尺度分量.近年來發(fā)展起來的低頻陸上震源系統(tǒng)(頻率可低至1.5 Hz)使得多尺度全波形反演方法可以使用一維線性模型作為初始模型(Baeten et al., 2013).他們指出，地震數(shù)據(jù)中的低頻部分(1.5～2.0 Hz)對(duì)于正確地反演大尺度背景模型是非常關(guān)鍵的.然而通常情況下，這種低頻震源是不具備的，要獲取5 Hz以下的地震數(shù)據(jù)是非常困難的，因此怎樣獲得一個(gè)良好的初始模型仍然是全波形反演中的難點(diǎn)問題.Shin和Cha(2009)提出拉普拉斯域全波形反演方法，可以為全波形反演提供一個(gè)光滑的初始模型.近年來一種新的趨勢是通過給全波形反演的目標(biāo)函數(shù)中引入額外項(xiàng)從而將其他一些反演方法加入到全波形反演的框架中來，比如引入走時(shí)反演(Mora, 1989; Clément et al., 2001; Xu et al., 2012; Ma and Hale, 2013; Wang et al., 2013)和速度分析(Almomin and Biondi, 2012; Biondi and Almonin, 2012, 2013; Tang et al., 2013).

我們提出了一種地震包絡(luò)反演的方法(Wu et al., 2013, 2014)，通過利用包絡(luò)中豐富的低頻信息為全波形反演提供一個(gè)良好的初始模型.為了實(shí)現(xiàn)包絡(luò)反演方法，首先需要提取信號(hào)的包絡(luò).對(duì)信號(hào)包絡(luò)的提取是一個(gè)非線性的過程，這種非線性操作可以將信號(hào)包絡(luò)中所包含的對(duì)介質(zhì)擾動(dòng)的大尺度響應(yīng)從原始地震信號(hào)中分離出來，從而起到抑制反演中的局部極小值的作用，能夠在缺乏低頻信息的情況下為全波形反演提供一個(gè)良好的初始模型.本文研究包絡(luò)反演對(duì)局部極小值的抑制作用，并通過目標(biāo)函數(shù)形態(tài)的對(duì)比來展現(xiàn)這一特性.對(duì)Marmousi速度模型和Overthrust速度模型的反演證明了該方法的有效性.

2方法原理

2.1時(shí)域全波形反演回顧

全波形反演通過匹配觀測波場和模擬波場來反演地下介質(zhì)參數(shù).常用的L2范數(shù)的目標(biāo)函數(shù)為

(1)

其中u是觀測波場，y是模擬波場，m是模型參數(shù).

在常密度聲波方程情況下，速度v為模型參數(shù)，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)對(duì)速度的梯度，可以得到：

(2)

引入算子J(雅可比矩陣)和向量η，公式為

(3)

則方程(2)可以被寫為

(4)

其中雅可比矩陣J也被稱為偏微商波場，即Fréchet微商.公式(4)中的梯度可以通過計(jì)算正傳波場和反傳波場的零延時(shí)相關(guān)得到.

2.2包絡(luò)反演方法

(5)

希爾伯特變換的定義為

(6)

其中P被稱為柯西主值.信號(hào)f(t)的包絡(luò)求解表達(dá)式為

(7)

在包絡(luò)反演中，我們將目標(biāo)函數(shù)定義為

(8)

其中m是模型參數(shù)，esyn和eobs分別是模擬波場和觀測波場的包絡(luò).使用上述定義的希爾伯特變換，我們可以將公式(8)改寫為

(9)其中y和u分別代表模擬波場和觀測波場，yH和uH分別代表他們的希爾伯特變換，E代表包絡(luò)信號(hào)殘差.考慮波場速度v作為模型參數(shù)，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)(9)對(duì)模型參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以得到結(jié)果(Wuetal., 2013, 2014)：

(10)

仍然引入偏微分波場算子J和殘差向量η，其中

(11)

因此公式(10)可以被改寫為

(12)

從上式可以看到，包絡(luò)反演中目標(biāo)函數(shù)對(duì)模型參數(shù)的梯度與傳統(tǒng)全波形反演中目標(biāo)函數(shù)對(duì)模型參數(shù)的梯度具有同樣的形式，區(qū)別僅在于殘差向量的不同.包絡(luò)反演同樣可以通過反傳算法來實(shí)現(xiàn).因?yàn)榘j(luò)反演中殘差向量η與信號(hào)的包絡(luò)有關(guān)，因此我們可以使用信號(hào)包絡(luò)中的低頻信息來反演模型的大尺度分量.

3目標(biāo)函數(shù)形態(tài)對(duì)比

本小節(jié)通過比較包絡(luò)反演和傳統(tǒng)全波形反演目標(biāo)函數(shù)的形態(tài)特征來展現(xiàn)包絡(luò)反演對(duì)局部極小值的壓制作用.實(shí)驗(yàn)中分別使用Marmousi速度模型和Overthrust速度模型進(jìn)行測試.

(1)Marmousi模型

圖1　Marmousi速度模型Fig.1　Marmousi velocity model

圖2　對(duì)應(yīng)于Marmousi模型的一維線性初始速度模型Fig.2　1D linear initial model for the Marmousi model

圖3顯示了包絡(luò)反演與傳統(tǒng)全波形反演目標(biāo)函數(shù)隨著上述兩個(gè)參數(shù)變化的形態(tài)特征.圖中橫坐標(biāo)是Vmax，縱坐標(biāo)是擾動(dòng)強(qiáng)度，振幅經(jīng)過了歸一化處理.其中圖3a是傳統(tǒng)全波形反演的目標(biāo)函數(shù)，為了便于觀察，將圖中粗線邊框中的部分放大顯示，如圖3b所示.從圖中可以看出，傳統(tǒng)全波形反演的目標(biāo)函數(shù)中除了全局極小值以外，還有很多局部極小值，它們都有可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的反演結(jié)果.圖3c顯示了包絡(luò)反演的目標(biāo)函數(shù)，可以看出，該目標(biāo)函數(shù)非常平滑，而且只有一個(gè)全局極小值，而不含有局部極小值.

圖3　Marmousi速度模型的目標(biāo)函數(shù)形態(tài)對(duì)比 (a) 傳統(tǒng)全波形反演目標(biāo)函數(shù)； (b) 對(duì)(a)中紅色邊框部分的放大顯示； (c) 包絡(luò)反演目標(biāo)函數(shù).Fig.3　Comparison of misfit function configurations for the Marmousi velocity model (a) Conventional full waveform inversion； (b) Enlarged box in the red border in (a)； (c) Misfit function of envelope inversion.

(2)Overthrust模型

圖4　Overthrust速度模型Fig.4　Overthrus velocity model

圖5　對(duì)應(yīng)于Overthrust模型的一維線性初始速度模型Fig.5　1D linear initial model for the Overthrust model

圖6顯示了包絡(luò)反演與傳統(tǒng)全波形反演目標(biāo)函數(shù)隨著上述兩個(gè)參數(shù)變化的形態(tài)特征.圖中橫坐標(biāo)是Vmax，縱坐標(biāo)是擾動(dòng)強(qiáng)度，振幅經(jīng)過了歸一化處理.其中圖6a是傳統(tǒng)全波形反演的目標(biāo)函數(shù)，從圖中可以看出，傳統(tǒng)全波形反演的目標(biāo)函數(shù)中除了全局極小值以外，還有很多局部極小值，它們都有可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的反演結(jié)果.圖6b顯示了包絡(luò)反演的目標(biāo)函數(shù)，可以看出，該目標(biāo)函數(shù)非常平滑，而且只有一個(gè)全局極小值，而不含有局部極小值.

圖6　Overthrust速度模型的目標(biāo)函數(shù)形態(tài)對(duì)比 (a) 傳統(tǒng)全波形反演目標(biāo)函數(shù)； (b) 包絡(luò)反演目標(biāo)函數(shù).Fig.6　Comparison of misfit function configurations for the Overthrust velocity model (a) Conventional full waveform inversion； (b) Misfit function of the envelope inversion.

從上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，包絡(luò)反演具有避免局部極小值的能力，后文將通過反演結(jié)果進(jìn)一步對(duì)此進(jìn)行證明.

4反演結(jié)果

這一部分將給出包絡(luò)反演的結(jié)果，并使用由包絡(luò)反演得到的結(jié)果做為新的初始模型來進(jìn)行全波形反演，證明包絡(luò)反演方法的有效性.仍然對(duì)Marmousi速度模型及Overthrust速度模型進(jìn)行測試.本文所使用的優(yōu)化方法為共軛梯度法(Mora, 1987).

(1)Marmousi速度模型

首先對(duì)Marmousi速度模型(圖1)進(jìn)行測試，并且從線性初始模型(圖2)出發(fā)進(jìn)行反演.反演中使用10Hz主頻的Ricker子波作為震源子波.

首先使用全頻帶的Ricker子波來產(chǎn)生地震數(shù)據(jù)并進(jìn)行反演.圖7顯示了從線性模型出發(fā)的包絡(luò)反演結(jié)果.可以看到，使用包絡(luò)反演可以得到模型的大尺度分量，該反演結(jié)果可以做為全波形反演的新的初始模型.圖8中顯示了由該新的初始模型出發(fā)得到的全波形反演結(jié)果.作為對(duì)比，在圖9中我們給出了直接從線性初始模型出發(fā)得到的全波形反演結(jié)果.我們可以看出，由于線性初始模型與真實(shí)模型相距太遠(yuǎn)，圖9中的結(jié)果已經(jīng)陷入了局部極小值，而圖8中的結(jié)果則很接近真實(shí)模型.使用包絡(luò)反演與傳統(tǒng)全波形反演相結(jié)合的方法可以得到更好的反演結(jié)果.圖10顯示了目標(biāo)函數(shù)隨著迭代次數(shù)的下降曲線，其中實(shí)線為包絡(luò)反演與全波形反演相結(jié)合的下降曲線，曲線中的拐點(diǎn)表示從包絡(luò)反演向全波形反演過渡的點(diǎn)，拐點(diǎn)之前為包絡(luò)反演，從拐點(diǎn)開始為使用包絡(luò)反演的結(jié)果作為新的初始模型的全波形反演.圖中虛線為傳統(tǒng)全波形反演的下降曲線.可以看出，使用包絡(luò)反演與全波形反演的數(shù)據(jù)殘差更小，說明該方法可以得到更接近于實(shí)際模型的反演結(jié)果.

圖7　從線性模型出發(fā)的Marmousi模型包絡(luò)反演結(jié)果Fig.7　Envelope inversion result starting from the linear initial model for the Marmousi model

圖8　從圖7中結(jié)果出發(fā)的Marmousi模型全波形反演結(jié)果Fig.8　Full waveform inversion result for the Marmousi model using the result in Fig.7 as new initial model

圖9　從線性模型出發(fā)的Marmousi模型全波形反演結(jié)果Fig.9　Full waveform inversion result for the Marmousi model starting directly from the linear initial model

圖10　Marmousi模型的誤差數(shù)據(jù)殘差下降曲線Fig.10　Reduction of data residual for the Marmousi model

為了進(jìn)一步驗(yàn)證包絡(luò)反演的有效性，我們?nèi)コ齊icker子波中5Hz以下的頻率成分，并使用去除低頻的Ricker子波產(chǎn)生地震數(shù)據(jù)進(jìn)行反演.圖11顯示了從線性模型出發(fā)的包絡(luò)反演結(jié)果.可以看到，在這種情況，使用包絡(luò)反演仍然能得到模型的大尺度分量.使用該結(jié)果做為新的初始模型進(jìn)行全波形反演，圖12中顯示了最終的全波形反演結(jié)果.可以看到，該結(jié)果與圖8中的結(jié)果很接近.作為對(duì)比，我們直接從線性模型出發(fā)進(jìn)行全波形反演，圖13顯示了反演結(jié)果.可以看到，在缺少低頻的情況下，傳統(tǒng)全波形反演的結(jié)果變得更差.

圖11　使用去除低頻Ricker子波的 Marmousi模型包絡(luò)反演結(jié)果Fig.11　Envelope inversion result for the Marmousi model using the low-cut Ricker wavelet

圖12　用圖11作為初始模型的Marmousi模型全波形反演結(jié)果Fig.12　Full waveform inversion result for the Marmousi model using the result in Fig.11 as new initial model

圖13　使用去除低頻Ricker子波的Marmousi模型的傳統(tǒng)全波形反演結(jié)果Fig.13　Conventional full waveform inversion result for the Marmousi model using the low-cut Ricker wavelet

(2)Overthrust速度模型

接下來對(duì)Overthrust速度模型(圖4)進(jìn)行測試，并且從線性初始模型(圖5)出發(fā)進(jìn)行反演.使用10Hz主頻的Ricker子波作為震源子波.

首先使用全頻帶的Ricker子波來產(chǎn)生地震數(shù)據(jù)并進(jìn)行反演.圖14顯示了從線性模型出發(fā)的包絡(luò)反演結(jié)果，從圖中可以看出模型的大尺度分量.使用該反演結(jié)果可以作為新的初始模型，圖15中顯示了由該新的初始模型出發(fā)得到的全波形反演結(jié)果.作為對(duì)比，在圖16中我們給出了直接從線性初始模型出發(fā)得到的全波形反演結(jié)果.可以看出，圖16中的結(jié)果已經(jīng)陷入了局部極小值，而圖15中的結(jié)果則很接近真實(shí)模型，說明使用包絡(luò)反演與傳統(tǒng)全波形反演相結(jié)合的方法可以得到更好的反演結(jié)果.圖17顯示了目標(biāo)函數(shù)隨著迭代次數(shù)的下降曲線，其中實(shí)線為包絡(luò)反演與全波形反演相結(jié)合的下降曲線，虛線為傳統(tǒng)全波形反演的下降曲線.可以看出，使用包絡(luò)反演與全波形反演的數(shù)據(jù)殘差更小，說明該方法可以得到更接近于實(shí)際模型的反演結(jié)果.

圖14　從線性模型出發(fā)的Overthtust模型包絡(luò)反演結(jié)果Fig.14　Envelope inversion result starting from the linear initial model for the Overthrust model

圖15　從圖14中結(jié)果出發(fā)的Overthrust模型全波形反演結(jié)果Fig.15　Full waveform inversion result for the Overthrust model using the result in Fig.14 as new initial model

圖16　從線性模型出發(fā)的Overthrust模型全波形反演結(jié)果Fig.16　Full waveform inversion result for the Overthrust model starting directly from the linear initial model

圖17　Overthrust模型的誤差數(shù)據(jù)殘差下降曲線Fig.17　Reduction of data residual for the Overthrust model

為了進(jìn)一步驗(yàn)證包絡(luò)反演的有效性，我們?nèi)コ齊icker子波中5Hz以下的頻率成分，并使用去除低頻的Ricker子波產(chǎn)生地震數(shù)據(jù)進(jìn)行反演.圖18顯示了從線性模型出發(fā)的包絡(luò)反演結(jié)果.可以看到，在這種情況，使用包絡(luò)反演仍然能得到模型的大尺度分量.使用該結(jié)果作為新的初始模型進(jìn)行全波形反演，圖19中顯示了最終的全波形反演結(jié)果.可以看到，該結(jié)果與圖15中的結(jié)果很接近.作為對(duì)比，我們直接從線性模型出發(fā)進(jìn)行全波形反演，圖20顯示了反演結(jié)果.可以看到，在缺少低頻的情況下，傳統(tǒng)全波形反演的結(jié)果變得更差.

圖18　使用去除低頻Ricker子波的 Overthrust模型包絡(luò)反演結(jié)果Fig.18　Envelope inversion result for the Overthrust model using the low-cut Ricker wavelet

圖19　用圖18作為初始模型的Overthrust模型全波形反演結(jié)果Fig.19　Full waveform inversion result for the Overthrust model using the result in Fig.18 as new initial model

圖20　使用去除低頻Ricker子波的Overthrust模型的傳統(tǒng)全波形反演結(jié)果Fig.20　Conventional full waveform inversion result for the Overthrust model using the low-cut Ricker wavelet

通過上面的例子可以看出，使用包絡(luò)反演可以為全波形反演提供一個(gè)光滑的初始模型.包絡(luò)反演和全波形反演相結(jié)合的方法可以產(chǎn)生比傳統(tǒng)全波形反演更好的反演結(jié)果.

5結(jié)論

(1)本文討論了包絡(luò)反演對(duì)局部極小值的抑制作用.包絡(luò)反演方法可以壓制反演中的局部極小值，能夠在缺乏低頻信息的情況下為全波形反演提供一個(gè)良好的初始模型.文中通過對(duì)目標(biāo)函數(shù)形態(tài)的對(duì)比展現(xiàn)了包絡(luò)反演抑制局部極小值的能力，并通過對(duì)Marmousi速度模型和Overthrust速度模型的反演證明了該方法的有效性.

(2)本文給出了包絡(luò)反演方法應(yīng)用于模型數(shù)據(jù)時(shí)的結(jié)果，對(duì)于實(shí)際數(shù)據(jù)而言情況較為復(fù)雜.由于該方法對(duì)觀測數(shù)據(jù)和計(jì)算數(shù)據(jù)的包絡(luò)進(jìn)行匹配，因此在應(yīng)用于實(shí)際數(shù)據(jù)時(shí)，需要首先對(duì)子波的振幅進(jìn)行估計(jì)，從而更好地進(jìn)行匹配.該方法目前在對(duì)巖丘進(jìn)行反演時(shí)仍存在一定的問題，需要進(jìn)一步優(yōu)化和改善.

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(本文編輯張正峰)

基金項(xiàng)目國家自然科學(xué)基金重大項(xiàng)目(41390454)，國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(40730424)，國家科技重大專項(xiàng)(2011ZX05044)和國家科技重大專項(xiàng)(2011ZX05023-005-009)聯(lián)合資助.

作者簡介羅靜蕊，女，1985年生，主要從事全波形反演及地震資料處理的理論與方法等研究.E-mail:bluebirdjingrui@gmail.com

*通訊作者高靜懷，男，1960年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事復(fù)雜介質(zhì)中地震波傳播及地震資料處理的理論與方法研究.

doi:10.6038/cjg20160716 中圖分類號(hào)315，P631

收稿日期2014-12-02，2016-01-01收修定稿

Local minima reduction of seismic envelope inversion

LUO Jing-Rui1,2,3, WU Ru-Shan2, GAO Jing-Huai3*

1SchoolofAutomationandInformationEngineering,Xi′anUniversityofTechnology,Xi′an710048，China2ModelingandImagingLaboratory,Earth&PlanetarySciencesDepartment,UniversityofCaliforniaatSantaCruz,CA95064,USA3NationalEngineeringLaboratoryforOffshoreOilExploration,Xi′anJiaotongUniversity,Xi′an710049，China

AbstractIn order to perform envelope inversion, we need to first extract the envelope using the nonlinear operation. This nonlinear envelope extraction can separate the large-scale response coded in the envelope from the waveform data, which can reduce the local minima in the misfit function and provide a good initial model for full waveform inversion without the low-frequency information. This paper shows the reduction of local minima using this method and compares the misfit configurations. The inversion on the Marmousi model and the Overthrust model attest to the validity of this method.KeywordsEnvelope inversion; Local minima; Initial model

羅靜蕊， 吳如山， 高靜懷等. 2016. 地震包絡(luò)反演對(duì)局部極小值的抑制特性. 地球物理學(xué)報(bào)，59(7):2510-2518,doi:10.6038/cjg20160716.

Luo J R, Wu R S, Gao J H, et al. 2016. Local minima reduction of seismic envelope inversion. Chinese J. Geophys. (in Chinese),59(7):2510-2518,doi:10.6038/cjg20160716.