傅　軍，萬(wàn)　婧，艾劍良

(復(fù)旦大學(xué) 航空航天系，上海 200433)

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彈性飛機(jī)陣風(fēng)緩和魯棒控制研究

傅軍，萬(wàn)婧，艾劍良

(復(fù)旦大學(xué) 航空航天系，上海 200433)

摘要：陣風(fēng)干擾一直嚴(yán)重影響著飛機(jī)的飛行穩(wěn)定性、性能和乘坐舒適度.基于現(xiàn)代魯棒控制理論，研究了在氣動(dòng)彈性效應(yīng)影響下的飛機(jī)陣風(fēng)載荷減緩控制器的設(shè)計(jì)方法.首先根據(jù)氣動(dòng)彈性狀態(tài)空間模型得到某通用飛機(jī)在縱向平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程.然后在Dryden陣風(fēng)模型作為外界干擾輸入下，對(duì)彈性飛機(jī)標(biāo)稱系統(tǒng)設(shè)計(jì)了H∞控制器，取得了良好的陣風(fēng)減緩效果，使得翼尖相對(duì)位移和質(zhì)心加速度的均方根分別減小了66%和23.7%，同時(shí)討論了評(píng)價(jià)輸出加權(quán)函數(shù)的選擇方法.由于系統(tǒng)在真實(shí)的環(huán)境下會(huì)存在不確定性，結(jié)合構(gòu)建的不確定模型，設(shè)計(jì)了μ綜合控制器，仿真結(jié)果表明，對(duì)于H∞控制器不再適用的不確定性系統(tǒng)，μ控制器能夠滿足魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能.

關(guān)鍵詞：彈性飛機(jī)； 氣動(dòng)彈性方程； 陣風(fēng)緩和； 魯棒控制

陣風(fēng)干擾會(huì)嚴(yán)重影響飛機(jī)在飛行過(guò)程中的性能，降低乘坐舒適度，造成結(jié)構(gòu)疲勞，減小飛機(jī)壽命.在20世紀(jì)60年代，國(guó)外就開始了飛機(jī)陣風(fēng)載荷減緩控制技術(shù)的研究，然而大多數(shù)研究都集中在剛性飛機(jī)模型的控制器設(shè)計(jì)上，實(shí)際飛機(jī)結(jié)構(gòu)是彈性體，特別是隨著現(xiàn)代飛機(jī)設(shè)計(jì)中大柔性、輕結(jié)構(gòu)的趨勢(shì)越來(lái)越明顯[1]，相應(yīng)的氣動(dòng)彈性問(wèn)題也越來(lái)越不容忽視.所以對(duì)陣風(fēng)載荷減緩主動(dòng)控制的進(jìn)一步研究必須要考慮到飛機(jī)的氣動(dòng)彈性特性.

建立一個(gè)用于控制器設(shè)計(jì)的氣動(dòng)彈性方程最主要的困難在于非定常氣動(dòng)力的計(jì)算.由Albano等[2]在1969年提出的計(jì)算3維亞音速簡(jiǎn)諧振蕩非定?？諝鈩?dòng)力的偶極子網(wǎng)格法，被Rodden等[3]加以改進(jìn)后，能夠處理任意多翼多體的飛機(jī)外形組合，從而成為目前亞音速可壓縮情況下非定常氣動(dòng)力計(jì)算的首選方法.非定常氣動(dòng)力是在離散的減縮頻率上計(jì)算的，然而現(xiàn)代控制分析方法都要求非定常氣動(dòng)力能夠表示在整個(gè)拉普拉斯域(s平面)內(nèi)，所以需要將其近似為拉普拉斯算子s的有理函數(shù).Karpel[4]提出的最小狀態(tài)近似方法得到了非定常氣動(dòng)力影響矩陣的有理表達(dá)，并且建立了彈性飛機(jī)的狀態(tài)空間模型.本文基于此方法建立了某通用飛機(jī)在縱向平面內(nèi)的彈性方程.

隨著對(duì)飛機(jī)氣動(dòng)彈性特性認(rèn)識(shí)的深入，考慮飛機(jī)結(jié)構(gòu)彈性的陣風(fēng)載荷減緩控制越來(lái)越受到重視.Karpel[4]在建立氣動(dòng)彈性系統(tǒng)的狀態(tài)方程后，為典型機(jī)翼截面模型的陣風(fēng)減緩設(shè)計(jì)了一個(gè)常數(shù)增益的簡(jiǎn)單控制器，以驗(yàn)證其氣動(dòng)彈性模型的廣泛可用性.Zeng等[5]使用自適應(yīng)前饋控制方法有效地減緩了F/A-18的彈性模型在陣風(fēng)干擾下的響應(yīng).Aouf等[6]和Cook等[7]分別在各自的文章中借助魯棒控制方法對(duì)彈性飛機(jī)進(jìn)行陣風(fēng)緩和主動(dòng)控制.因?yàn)闅鈩?dòng)彈性建模的復(fù)雜性，建立的氣動(dòng)彈性模型總是涉及各種各樣的不確定參數(shù)，比如結(jié)構(gòu)阻尼比和液力作動(dòng)器參數(shù)、氣動(dòng)力系數(shù)以及系統(tǒng)高頻動(dòng)態(tài)特性方面的不確定性.文獻(xiàn)[8]在研究B-52飛機(jī)彈性模型的陣風(fēng)減緩控制時(shí)，使用μ分析方法探討了不確定性模型的控制方法.

本文采用Dryden陣風(fēng)模型作為外界干擾輸入，研究了彈性飛機(jī)標(biāo)稱系統(tǒng)H∞控制器的設(shè)計(jì)方法.為系統(tǒng)構(gòu)建了不確定性模型后，設(shè)計(jì)了μ控制器，保證了系統(tǒng)存在不確定性情況下的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能.

1彈性飛機(jī)模型

1.1氣動(dòng)彈性運(yùn)動(dòng)方程

飛機(jī)的氣動(dòng)彈性行為是由飛機(jī)的慣性力、結(jié)構(gòu)彈性力、氣動(dòng)力和外界附加力相互耦合作用的結(jié)果.建立彈性飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程一般要通過(guò)結(jié)構(gòu)有限元和氣動(dòng)有限元方法進(jìn)行計(jì)算，得到的方程的系數(shù)矩陣的階次是非常大的，不利于后續(xù)的進(jìn)一步分析.而通常的做法是將方程變換到模態(tài)坐標(biāo)中，利用低階振動(dòng)模態(tài)來(lái)近似彈性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)行為，得到的模態(tài)方程的階次將大幅降低.分析表明，對(duì)于單獨(dú)機(jī)翼結(jié)構(gòu)，用不超過(guò)10個(gè)低階振動(dòng)模態(tài)來(lái)近似，精度已經(jīng)足夠[9].

使用模態(tài)分析方法，并對(duì)結(jié)構(gòu)有限元中力的平衡方程進(jìn)行拉普拉斯變換，得到彈性飛機(jī)分析的一般方程[10]：

([M]s2+[B]s+[K]+q∞[Qa(s)]){ξ(s)}=-([Mc]s2+q∞[Qc(s)]){δ(s)}-(q∞/V)[Qw(s)]{w(s)},

(1)

其中：s為拉普拉斯算子；[M]、[B]和[K]分別為飛機(jī)的廣義質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；ξ為廣義模態(tài)坐標(biāo)；δ為控制舵面輸入；w(s)為外界陣風(fēng)干擾輸入；q∞為動(dòng)壓；V為來(lái)流速度；Mc為飛機(jī)模態(tài)與舵面偏轉(zhuǎn)模態(tài)的耦合質(zhì)量矩陣；Q(s)=[Qa(s)Qc(s)Qw(s)]為非定常氣動(dòng)力影響矩陣，Qa、Qc和Qw分別表征由結(jié)構(gòu)彈性變形、控制舵面偏轉(zhuǎn)和外界陣風(fēng)引起的作用于機(jī)身的氣動(dòng)力.

非定常氣動(dòng)力影響矩陣Q的計(jì)算非常復(fù)雜，這也是建立飛機(jī)氣動(dòng)彈性模型過(guò)程中最重要的一步.本文中Q的計(jì)算借助氣動(dòng)彈性分析軟件ZAERO[11]來(lái)完成，方程(1)中Qa、Qc和Qw的符號(hào)設(shè)定為與ZAERO軟件中規(guī)定的一致.

非定常氣動(dòng)力影響矩陣Q是在離散的減縮頻率k上計(jì)算的，而隨著控制理論的發(fā)展和先進(jìn)氣動(dòng)理念的出現(xiàn)，特別是一般的現(xiàn)代控制理論都是建立在系統(tǒng)的線性狀態(tài)空間模型的基礎(chǔ)上，所以需要將Q轉(zhuǎn)化到時(shí)域中.在氣動(dòng)彈性控制領(lǐng)域，主要有兩種方法： Roger近似法[12]和最小狀態(tài)近似法[4]，即將離散頻率點(diǎn)處計(jì)算得到的非定常氣動(dòng)力延拓至拉普拉斯域中并用有理函數(shù)表達(dá)，通過(guò)有理函數(shù)擬合得到未知系數(shù)，然后引入附加氣動(dòng)力狀態(tài)變量得到氣動(dòng)力狀態(tài)變量所滿足的時(shí)域微分方程，最后將整個(gè)氣動(dòng)彈性方程表達(dá)在狀態(tài)空間中.

因?yàn)镽oger近似法需要引入的附加氣動(dòng)力狀態(tài)變量的維數(shù)較高，使得狀態(tài)方程的規(guī)模增大，所以這里選擇最小狀態(tài)近似法：

(2)

其中[Ai]=[AaiAciAw i]，[E]=[EaEcEw].設(shè)附加氣動(dòng)力狀態(tài)量xa(s)為：

(3)

由(1)～(3)式可以得到氣動(dòng)彈性狀態(tài)方程為：

(4)

考慮控制面舵機(jī)的動(dòng)態(tài)特性，將舵機(jī)的動(dòng)態(tài)模型表示為如下傳遞函數(shù)：

(5)

所以考慮舵機(jī)模型的飛機(jī)增廣氣動(dòng)彈性狀態(tài)方程為：

(6)

方程(6)為包含陣風(fēng)干擾輸入和舵機(jī)模型的氣動(dòng)伺服彈性問(wèn)題的一般方程，可以應(yīng)用于任意飛機(jī)的陣風(fēng)響應(yīng)分析和陣風(fēng)載荷減緩控制研究.

1.2仿真實(shí)例

本文選擇某通用飛機(jī)[13]作為研究對(duì)象，如圖1所示.機(jī)身長(zhǎng)度為22m，全翼展長(zhǎng)19m，機(jī)翼平均弦長(zhǎng)為2.2m.飛機(jī)的飛行狀態(tài)設(shè)定為在7000m高度下以218m/s(Mach=0.7)的速度巡航飛行.

由于飛機(jī)機(jī)翼在縱向有著較大受力面積，在高空巡航狀態(tài)下陣風(fēng)對(duì)飛機(jī)的影響主要表現(xiàn)在垂直方向上.所以為了分析的簡(jiǎn)便，這里僅考慮飛機(jī)在縱向平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng).為了對(duì)陣風(fēng)載荷的影響進(jìn)行主動(dòng)控制，飛機(jī)的外側(cè)副翼和平尾上的升降舵被用來(lái)作為控制舵面，即{u}={uaileron,uelevator}T.根據(jù)文獻(xiàn)[14]中的參數(shù)，(5)式中舵機(jī)的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)為a1=6751689，a2=66157.39，a3=259.97.

本文借助結(jié)構(gòu)有限元軟件Nastran和氣動(dòng)彈性分析軟件ZAERO來(lái)計(jì)算建立氣動(dòng)彈性模型所需要的數(shù)據(jù).在模態(tài)坐標(biāo)中，全機(jī)使用21個(gè)低階振動(dòng)模態(tài)來(lái)近似結(jié)構(gòu)的彈性行為.

因?yàn)檫@里只考慮飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)，所以振動(dòng)模態(tài)中的非縱向模態(tài)將被舍棄，剩余9個(gè)縱向振動(dòng)模態(tài)，而其中一個(gè)模態(tài)為飛機(jī)上下沉浮運(yùn)動(dòng)的剛性模態(tài)，會(huì)導(dǎo)致得到的狀態(tài)矩陣中含有零特征值，所以也要移除.余下的8個(gè)振動(dòng)模態(tài)，加上9個(gè)附加氣動(dòng)力狀態(tài)量和6個(gè)因舵機(jī)動(dòng)態(tài)模型而加入的狀態(tài)量，最后得到一個(gè)具有31階系數(shù)矩陣的狀態(tài)方程.

陣風(fēng)減緩是通過(guò)主動(dòng)控制技術(shù)使飛機(jī)對(duì)外部陣風(fēng)干擾輸入的響應(yīng)最小化，從而達(dá)到減小機(jī)翼彎矩、延長(zhǎng)疲勞壽命、改善乘坐品質(zhì)和乘員舒適度的目的.從這些目的出發(fā)，這里選擇飛機(jī)模型的量測(cè)輸出量為飛機(jī)的俯仰角、翼尖相對(duì)翼根的垂直位移和飛機(jī)質(zhì)心的垂直加速度，即y={θ,xd,ac}T，其中xd=xwingtip-xwingroot.輸出方程為：

{y}=[C]{x}+[Dw]{w}+[D]{u}.

(7)

2陣風(fēng)模型

目前廣泛使用的與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)吻合很好的陣風(fēng)模型為Dryden模型和Von Karman模型.由于Dryden模型相對(duì)簡(jiǎn)單，這里被用來(lái)作為飛機(jī)高空巡航時(shí)的陣風(fēng)干擾信號(hào)模型.Dryden模型是以功率譜密度函數(shù)的形式表述的[15].

為了能夠得到符合此模型的陣風(fēng)干擾信號(hào)，需將功率譜密度為1的白噪聲通過(guò)構(gòu)造的濾波器.根據(jù)Dryden模型的功率譜密度，濾波器的傳遞函數(shù)為：

其中：σw為均方根陣風(fēng)速度；Lw是紊流尺度；V為飛行速度；ω為圓頻率，單位為rad/s.

根據(jù)該通用飛機(jī)的飛行環(huán)境參數(shù)，計(jì)算得到Lw=533.4m，σw=6.4m/s.

3H∞控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于彈性飛機(jī)的陣風(fēng)減緩控制問(wèn)題，基于已經(jīng)得到的飛機(jī)狀態(tài)方程(6)和輸出方程(7)，選擇評(píng)價(jià)輸出為{z}=W·{z′}=W·{yT,uT}T，即在抑制因陣風(fēng)干擾w而引起的輸出y的同時(shí)保證控制輸入量u不會(huì)超過(guò)允許的舵面操縱范圍.W=diag([Wy,Wu])為評(píng)價(jià)輸出的加權(quán)函數(shù).

彈性飛機(jī)陣風(fēng)緩和H∞控制問(wèn)題的具體結(jié)構(gòu)如圖2(b)所示，相應(yīng)的方程描述為：

(8)

系統(tǒng)傳遞函數(shù)的正無(wú)窮范數(shù)可以看作是系統(tǒng)從輸入到輸出的最大能量增益.控制的目的是減小這種能量增益，使得系統(tǒng)的評(píng)價(jià)輸出z受干擾輸入w的影響最小.對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，輸出信號(hào)之間的物理單位不盡相同，對(duì)同一干擾的響應(yīng)在數(shù)值上差別可能很大，所以如果直接把系統(tǒng)的量測(cè)輸出作為被抑制信號(hào)，將很可能得不到一個(gè)理想的控制器，甚至導(dǎo)致問(wèn)題無(wú)解.所以加權(quán)函數(shù)W的一個(gè)重要作用就是調(diào)節(jié)系統(tǒng)輸出量在數(shù)值上的數(shù)量級(jí)，使其相互之間有可比性.如果在性能指標(biāo)中某個(gè)輸出信號(hào)較其他信號(hào)更加重要，也將通過(guò)此加權(quán)函數(shù)來(lái)體現(xiàn).在系統(tǒng)的頻率響應(yīng)中，對(duì)于輸入干擾，輸出信號(hào)會(huì)在某個(gè)頻率范圍內(nèi)有較大的響應(yīng)，而在其他頻率范圍內(nèi)響應(yīng)很小，可以忽略不計(jì).所以，為了降低輸入干擾的影響，只要減小輸出信號(hào)在特定頻率范圍內(nèi)的響應(yīng)即可，即加權(quán)矩陣在此頻率范圍內(nèi)將有較大幅值.

加權(quán)函數(shù)W的確定對(duì)于求解H∞問(wèn)題非常關(guān)鍵，此通用飛機(jī)的氣動(dòng)彈性模型在連續(xù)陣風(fēng)干擾下，輸出信號(hào)有著不同的數(shù)量級(jí)，并且俯仰角和翼尖相對(duì)位移響應(yīng)主要體現(xiàn)在低頻域，而飛機(jī)質(zhì)心加速度的響應(yīng)主要在高頻域.所以結(jié)合以上W函數(shù)選取原則，通過(guò)多次的調(diào)節(jié)，最終得到如下加權(quán)函數(shù)：

H∞的限制條件和求解方法由文獻(xiàn)[16]給出.具體實(shí)踐中借助MATLAB軟件的Robust Toolbox工具箱[17]，得到控制器K.未加控制器的開環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)‖Tzw‖∞=9.072，而對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)，‖Tzw‖∞=0.753.在MATLAB的Simulink中仿真得到陣風(fēng)擾動(dòng)下閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)如圖3所示，其中圖3(a)為干擾陣風(fēng)的波形圖.

由圖3可以看到，得到的H∞控制器對(duì)陣風(fēng)干擾有很好的抑制效果.計(jì)算各輸出信號(hào)在控制前后的均方根發(fā)現(xiàn)，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出信號(hào)俯仰角、翼尖相對(duì)位移和機(jī)身質(zhì)心加速度相對(duì)于開環(huán)系統(tǒng)分別減小了87.3%，66%和23.7%.

4μ控制器設(shè)計(jì)

由H∞控制器得到的陣風(fēng)緩和性能是對(duì)于標(biāo)稱系統(tǒng)而言的，即系統(tǒng)不存在不確定性.但是實(shí)際工程中的控制系統(tǒng)，由于種種原因總是存在不確定性.對(duì)于彈性飛機(jī)，各種不確定性因素更多、更復(fù)雜，包括結(jié)構(gòu)阻尼的不精確、結(jié)構(gòu)特性隨時(shí)間的改變、未建模的高頻特性、飛行過(guò)程中大氣環(huán)境的改變等.考慮系統(tǒng)的不確定性后，需要通過(guò)μ綜合方法分析系統(tǒng)的魯棒性能，設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器.

標(biāo)準(zhǔn)的μ綜合分析框架如圖4(a)所示.其中Δ滿足‖Δ‖∞≤1，為未知攝動(dòng)函數(shù)，描述了系統(tǒng)中存在的不確定性.μ綜合方法的目標(biāo)就是尋找一個(gè)能使系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器，并且使系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)奇異值滿足：

(9)

這樣，在對(duì)任意滿足‖Δ‖∞≤1的未知攝動(dòng)下，系統(tǒng)將能夠保證魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能[18].目前(9)式還沒(méi)有解析解法，主要通過(guò)D-K(Durand-Kerner)迭代法求解.

對(duì)于彈性飛機(jī)的陣風(fēng)緩和控制問(wèn)題，如圖4(b)所示，這里加入頻域內(nèi)描述的乘性輸入不確定性和輸出不確定性.設(shè)G′(s)為系統(tǒng)G(s)從輸入u到輸出y的傳遞函數(shù)，則加入不確定性描述后得到：

其中： Δu和Δy分別為輸入、輸出攝動(dòng)函數(shù)，且‖Δu‖∞<1，‖Δy‖∞<1；Wuncy和Wuncu為相應(yīng)的不確定性加權(quán)函數(shù).

不確定性加權(quán)函數(shù)的確定同樣非常重要，一種關(guān)鍵的原則是盡可能減小模型的保守性，并使加權(quán)函數(shù)盡量不超過(guò)攝動(dòng)的增益[1]，根據(jù)輸入輸出的不確定性程度選擇加權(quán)函數(shù)為：

不確定性加權(quán)函數(shù)的bode圖如圖5所示，在低頻域內(nèi)系統(tǒng)輸出含有4%的不確定性，副翼輸入含有10%的不確定性，升降舵輸入含有8%的不確定性，并且不確定性的大小隨著頻率的上升而變大，表征系統(tǒng)在高頻不斷增大的不確定性.

將Δ=diag(Δu,Δy)從圖4(b)中隔離出來(lái)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的已知部分和未知部分分離，形成圖4(a)所示的形式.借助MATLAB的Robust Toolbox工具箱，求解得到μ控制器，最終閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)奇異值為 0.7218，滿足(9)式，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能.通過(guò)Simulink仿真，系統(tǒng)在陣風(fēng)干擾下，在存在輸入輸出不確定性的情況下，俯仰角、翼尖縱向相對(duì)位移和機(jī)身質(zhì)心縱向加速度的均方根的值分別下降了72%、23%和16.2%.

把基于標(biāo)稱系統(tǒng)設(shè)計(jì)的H∞控制器加入到不確定性影響下的系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)，控制器已經(jīng)不能保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定.所以考慮系統(tǒng)不確定性的μ綜合分析是非常有必要的.

5結(jié)語(yǔ)

本文結(jié)果表明對(duì)于彈性飛機(jī)標(biāo)稱模型，通過(guò)構(gòu)建合理的分析框架和評(píng)價(jià)輸出的加權(quán)函數(shù)，H∞控制方法給出了很好的陣風(fēng)減緩性能.考慮到實(shí)際系統(tǒng)存在的不確定性，在包含輸入輸出不確定性模型的氣動(dòng)彈性模型上，μ綜合方法給出了能同時(shí)保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能的控制器.文中構(gòu)建的飛機(jī)氣動(dòng)彈性模型的計(jì)算流程具有通用型，可以用來(lái)分析一般結(jié)構(gòu)外形飛機(jī)的氣動(dòng)彈性行為，得到的狀態(tài)方程模型非常有利于飛機(jī)的控制問(wèn)題研究.

雖然本文中構(gòu)建的控制器在相應(yīng)的氣動(dòng)彈性模型上都有著良好的性能表現(xiàn)，但是由于魯棒控制方法的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)出的控制器與開環(huán)系統(tǒng)的階次在同一個(gè)數(shù)量級(jí).氣動(dòng)彈性模型的高階次導(dǎo)致了控制器的階次相對(duì)很高，所以下一步的工作將集中在如何降低控制器的階次，同時(shí)保證系統(tǒng)的性能下降不大.

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文章編號(hào)：0427-7104(2016)03-0329-07

收稿日期：2015-05-29

作者簡(jiǎn)介：傅軍(1990—)，男，碩士研究生，E-mail： 13210290011@fudan.edu.cn.

中圖分類號(hào)：V 249.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Robust Control of Flexible Aircraft for Gust Alleviation

FU Jun, WAN Jing, AI Jianliang

(DepartmentofAeronauticsandAstronautics,FudanUniversity,Shanghai200433,China)

Abstract：Gust disturbance has a serious impact on flight stability, performance and comfort for passengers. In this study, the design method of gust load alleviation controller for a flexible airplane is proposed. First, the general state-space equations of motion for an aeroelastic model in the longitudinal plane is built. Taking the Dryden gust model as the input, the nominal system H∞controller for the elastic aircraft is designed and achieves good gust alleviation effect. The RMS of the relative displacement of the tip and the centroid acceleration are reduced by 66% and 23.7%, respectively. Since the system in a real environment has a lot of uncertainty, the μ synthesis controller with the uncertain model is also designed. The simulation results show that the μ controller can achieve robust stability and robust performance for uncertainty systems, which is nearly impossible for the H∞controller.

Keywords：flexible aircraft; aeroelastic equation; gust load alleviation; robust control