石大立，劉春暉，吳艷陽(yáng)

（武漢工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院力學(xué)教研室，湖北 武漢430073）

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“三線擺”測(cè)物體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)原理

石大立，劉春暉，吳艷陽(yáng)

（武漢工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院力學(xué)教研室，湖北 武漢430073）

摘要:“三線擺”實(shí)驗(yàn)中，擺動(dòng)周期由測(cè)量擺盤系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量決定。只要擺盤上放置物體，測(cè)量擺盤系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就會(huì)改變，則其擺動(dòng)周期隨之改變。因此，實(shí)驗(yàn)求?。簝蓚€(gè)圓柱及待測(cè)物對(duì)中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和時(shí)，必須分別做兩個(gè)擺盤空載時(shí)、兩個(gè)擺盤加載被測(cè)物后的扭振實(shí)驗(yàn)各兩次；再根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，間接獲得被測(cè)物轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；并且由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表的項(xiàng)數(shù)據(jù)，可判斷實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性；最后再運(yùn)用插入法求得零件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。特別運(yùn)用兩組不同的學(xué)生實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來驗(yàn)證該實(shí)驗(yàn)的原理。對(duì)實(shí)驗(yàn)的誤差分析，說明提高扭振周期的測(cè)量精度，可顯著提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性?！叭€擺”實(shí)質(zhì)是振動(dòng)系統(tǒng)，屬于單自由度無阻尼自由振動(dòng)問題，因此本文著重從理論方面討論了單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)。

關(guān)鍵詞:轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；三線擺；扭振周期；固有頻率；阻尼

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的慣性量度，其量值取決于物體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置。外形復(fù)雜、質(zhì)量分布不均勻的物體，只能通過實(shí)驗(yàn)的方法來精確地測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[1]。實(shí)驗(yàn)測(cè)定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法有：利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律原理制成的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)x，利用機(jī)械能守恒定律制成的三線擺或懸絲扭擺等方法[2]。本實(shí)驗(yàn)用三線擺測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

1　“三線擺”法測(cè)取不規(guī)則物體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

浙江大學(xué)TME—1理論力學(xué)多功能實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。兩個(gè)具有相同線長(zhǎng)和相同直徑的“三線擺”，其上各放置不同的物體，物體質(zhì)量相同。當(dāng)兩個(gè)“三線擺”擺動(dòng)具有相同的周期，則兩個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等[3]。三線擺扭轉(zhuǎn)周期T與盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JO有關(guān)，如式（1）[2，3]。

圖1　實(shí)驗(yàn)裝置

運(yùn)用公式（1）實(shí)驗(yàn)時(shí)，其有關(guān)的實(shí)驗(yàn)原理、步驟很有必要加以規(guī)范和說明。本文所涉及的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，單位和數(shù)量級(jí)均為（kg·m2）×10-6.

1.1實(shí)驗(yàn)原理及步驟[1，3-4，6-7]

實(shí)驗(yàn)中，在求取兩個(gè)圓柱對(duì)中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)測(cè)值JM及待測(cè)物對(duì)中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)測(cè)值JM2時(shí)，都必須做相應(yīng)扭振實(shí)驗(yàn)，共計(jì)四次扭振實(shí)驗(yàn)，涉及四類扭振周期，然后間接獲得被測(cè)物轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。實(shí)驗(yàn)步驟如下：

（1）薄圓盤與尺空載，做扭振實(shí)驗(yàn)，并用秒表測(cè)量相應(yīng)的扭振周期T0（s），之后由公式（2）求得薄圓盤與尺空載時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)測(cè)值JM0.

（2）薄圓盤與尺加載兩個(gè)圓柱后，再次做扭振實(shí)驗(yàn)，并用秒表測(cè)量相應(yīng)的扭振周期T1（s），再由公式（3）求得圓盤與尺加載兩個(gè)圓柱后的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值JM+M0.

（3）由公式（4）間接獲得兩個(gè)圓柱對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)測(cè)值JM.

（4）薄圓盤空載，做扭振實(shí)驗(yàn)，并用秒表測(cè)量相應(yīng)的扭振周期T2（0s），然后由公式（5）求得薄圓盤空載時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)測(cè)值JM20.

（5）薄圓盤加載待測(cè)物后，再次做扭振實(shí)驗(yàn)，并用秒表測(cè)量相應(yīng)的扭振周期T2（s），由公式（6）得薄圓盤加載待測(cè)物后的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)測(cè)值JM2+M20.

（6）由公式（7），間接獲得待測(cè)物的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

1.2實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證[6]

學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中很困惑、經(jīng)常犯錯(cuò)誤，同一套實(shí)驗(yàn)裝置竟做出了兩個(gè)差距很大的結(jié)果，且沒有判斷正誤的標(biāo)準(zhǔn)。而當(dāng)實(shí)驗(yàn)原理、步驟，加上了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)后，就有足夠的說服力。運(yùn)用兩組不同的學(xué)生實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來驗(yàn)證該實(shí)驗(yàn)的原理。按照1.1的實(shí)驗(yàn)步驟，分別做了兩次試驗(yàn)，獲得表2和表3的兩組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。表1是實(shí)驗(yàn)基本數(shù)據(jù)。

表1　實(shí)驗(yàn)改進(jìn)后必須事先已知的重要物理量數(shù)據(jù)表

表2是實(shí)驗(yàn)改進(jìn)后，“三線擺”測(cè)物體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的學(xué)生實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（一），它不符合要求。因?yàn)椋害?≥12.88%；=69.7746，JM2=57.0129×10-（6kg·m）2，η3=18.29%.

表2　“三線擺”測(cè)物體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的學(xué)生實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（一）

表3是實(shí)驗(yàn)改進(jìn)后，“三線擺”測(cè)物體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的學(xué)生實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（二），它符合要求。因?yàn)椋害?≥13.364%=55.0308，JM2=54.2783×10-（6kg·m）2，η3=1.367%.

表3　“三線擺”測(cè)物體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的學(xué)生實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（二）

注意到：表2和表3的數(shù)據(jù)中，由η2項(xiàng)數(shù)據(jù)可判斷實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性；且JM2比更準(zhǔn)確。表2和表3中，兩個(gè)圓柱對(duì)中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=2[mr2+m （）2].

1.3實(shí)驗(yàn)誤差分析[2]

本實(shí)驗(yàn)由四個(gè)扭振周期T0，T1，T20，T2獲得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JM0，JM+M0，JM20，JM2+M20.根據(jù)誤差理論，這些轉(zhuǎn)動(dòng)慣量屬于間接測(cè)量結(jié)果，其合成不確定度為[2]

尤其，當(dāng)實(shí)驗(yàn)中扭振周期T1測(cè)量不準(zhǔn)確時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性會(huì)受到很大影響。

因?yàn)镴∝T2，所以周期T的精度對(duì)J的影響較大，且T是手動(dòng)機(jī)械秒表測(cè)量，其儀器誤差△t=0.2 s.對(duì)T的相對(duì)不確定度作估算，考慮T=1.40 s，0.9 s，0.8 s（不考慮隨機(jī)誤差）[2]，則T的測(cè)量不確定度傳遞到間接測(cè)量量J的相對(duì)不確定度如式（9），分別為16.496%，25.66%，28.868%.

而其他量，如擺線長(zhǎng)等，其相對(duì)不確定度較小。因此，測(cè)量中應(yīng)盡量提高周期T的測(cè)量精度。實(shí)驗(yàn)時(shí)測(cè)量懸盤扭轉(zhuǎn)幾十個(gè)周期nT所用的時(shí)間t0，t0=nT，這樣每個(gè)周期的儀器誤差就只有原來的，再測(cè)量三次以減小隨機(jī)誤差[2]。

2　三線擺測(cè)取物體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)原理[2，6，8]

三線擺可以測(cè)定任意形狀物體相對(duì)于某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。懸盤（圓盤）繞垂直于盤面并通過盤面中心的軸線作扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，其重心可以沿轉(zhuǎn)動(dòng)軸移動(dòng)。擺動(dòng)周期由盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量決定。如果懸盤上放上任一物體，則擺動(dòng)周期就要變?yōu)榱硪恢礫1]。詳見“1.1實(shí)驗(yàn)原理及步驟”。

如將汽車發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂的轉(zhuǎn)軸中心放在懸盤中心實(shí)驗(yàn)，可得懸盤和汽車發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂共同體對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，如式（6）。還必須對(duì)空載薄圓盤做扭振實(shí)驗(yàn)，由公式（5）得薄圓盤空載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)測(cè)值JM20。再按照轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的相加性，汽車發(fā)動(dòng)機(jī)搖臂轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如式（7）[2，3，6]。

三線擺實(shí)質(zhì)是振動(dòng)系統(tǒng)，可建立振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程（10）。

2.1扭轉(zhuǎn)振動(dòng)[8]

用角位移θ作為廣義坐標(biāo)來表達(dá)其振動(dòng)狀態(tài)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)建立其運(yùn)動(dòng)微分方程式。此時(shí)，牛頓定律的表達(dá)式為：

式中，M為施加于轉(zhuǎn)動(dòng)物體上的力矩；I為轉(zhuǎn)動(dòng)物體對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θ咬為角加速度。扭轉(zhuǎn)振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程式（11）與直線自由振動(dòng)微分方程（13）完全相似，其通解為：

扭轉(zhuǎn)振動(dòng)屬于單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)問題，因此很有必要分析其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

3　單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)[8，9]

單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式

這是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程。設(shè)其解為x=est，可求得特征方程：

ωn為系統(tǒng)振動(dòng)的圓頻率。α稱為衰減系數(shù)。定義阻尼比ζ，ζ＝.見圖2.初始條件：t＝0時(shí)，x=x0，=

圖2　特征根分布

（1）無阻尼，ζ＝0，（14）式的特征根為純虛數(shù)：s1，2=±iωn，單自由度無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程式為：x（t）=Asin（ωnt+φ），x（t）為等幅振動(dòng)，如圖3（a）所示。式中

圖3　有阻尼振動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律

（4）臨界阻尼（ζ=1）時(shí)，（14）式的特征根為兩重實(shí)根-ωn，微分方程式（13）的解為：

式（16），（17）中，A1、A2均是待定常數(shù)。臨界阻尼和過阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)都是一個(gè)逐漸回到平衡位置的非周期運(yùn)動(dòng)。特征根的虛部，決定自由振動(dòng)的頻率。而臨界阻尼和過阻尼，其特征根均為實(shí)數(shù)，無虛部，故系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)都不是振動(dòng)。

4　結(jié)束語

（1）求取被測(cè)物對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)測(cè)值時(shí)，必須做相應(yīng)的扭振實(shí)驗(yàn)，再間接獲得被測(cè)物的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。不同的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)會(huì)得到不同的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表的η2項(xiàng)，可以判斷實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性。在已經(jīng)判斷了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確實(shí)準(zhǔn)確以后，再運(yùn)用插入法求得零件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量才有實(shí)際意義。扭振周期T1測(cè)量不準(zhǔn)確時(shí)，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性影響極大。

（2）三線擺實(shí)質(zhì)是振動(dòng)系統(tǒng)，可建立振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程式，并且是單自由度無阻尼自由振動(dòng)問題。特征根的虛部，決定了自由振動(dòng)的頻率。無阻尼時(shí)特征根存在虛部，x（t）為振動(dòng)。

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中圖分類號(hào):O313.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672-545X（2016）04-0013-05

收稿日期：2016-01-04

作者簡(jiǎn)介：石大立（1962-），男，山東省諸城人，學(xué)士，工程師，研究方向：數(shù)學(xué)力學(xué)。

The Experimental Principle of Measuring the Moment of Inertia of the Fixed Axis of the Three Wire Pendulum

SHI Da-li，LIU Chun-hui，WU Yan-yang
（Department of Mechanics，School of Mechanical and Electrical Engineering，Wuhan Institute of Technology，Wuhan Hubei 430073，China）

Abstract:In the experiment of three wire pendulum，the swing period is determined by the moment of inertia of the measuring pendulum system.The moment of inertia of the measuring pendulum system will be changed whenever an object is placed on its wobble-plate，so its swing period will be changed then.Therefore，when you do experiments to obtain the moment of inertia of the two cylinders rotating about the central axis and the moment of inertia of the object to be tested rotating about the central axis，two kinds of the torsional vibration experiments must have been done separately four times when each wobble-plate is unloaded and after each wobble-plate is loaded the object.According to the results of these experiments，the moment of inertia of the object to be tested is obtained indirectly.The accuracy of experimental results can be judged by the data itemof the experimental data table.Then the moment of inertia of the part is finally obtained by applying the method of inserting.In particular，the principle of the experiment is verified by using the experiment data of two different groups of students.Error analysis of the experiment shows that improving the measurement accuracy of the swing period can significantly improve the accuracy of the experimental results.In essence，three wire pendulum is a vibration system，belonging to the problem of free vibration of a single freedom degree and undamped system，hence this paper discusses the free vibration of a single degree of freedom system emphatically from the aspects of theory.

Key words:moment of inertia；three wire pendulum；swing period；natural frequency；damping