陳勇君，王芳貴，陳幼華

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

環(huán)的整體強(qiáng)無(wú)撓維數(shù)與STH環(huán)

陳勇君，王芳貴，陳幼華*

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

設(shè)R是任何環(huán)，D是右R－模．若對(duì)任何平坦維數(shù)有限的左R－模M，有，則D稱(chēng)為強(qiáng)無(wú)撓模．利用模的強(qiáng)無(wú)撓維數(shù)和環(huán)的整體強(qiáng)無(wú)撓維數(shù)對(duì)環(huán)進(jìn)行刻畫(huà)，引入了st

－VN正則環(huán)和STH環(huán)的概念．

強(qiáng)無(wú)撓模;強(qiáng)無(wú)撓維數(shù);整體強(qiáng)無(wú)撓維數(shù);st－VN正則環(huán);STH環(huán)

本文恒設(shè)R是有單位元的結(jié)合環(huán)，fdRL和pdRL分別表示R－模L的平坦維數(shù)和投射維數(shù)，F(xiàn)∞表示平坦維數(shù)有限的左R－模類(lèi)，l．gl．dim(R)和w．gl．dim(R)分別表示環(huán)R的左整體維數(shù)和弱整體維數(shù)，r．stf．dRN表示右R－模N的強(qiáng)無(wú)撓維數(shù)，r．stf．dim(R)表示環(huán)R的(右)整體強(qiáng)無(wú)撓維數(shù)，RM和MR分別表示左R－模范疇和右R－模范疇，其他相關(guān)符號(hào)可在文獻(xiàn)［1］中找到．

J．Z．Xu［2］引入了強(qiáng)無(wú)撓模的概念．右R－模D稱(chēng)為強(qiáng)無(wú)撓模，是指對(duì)任何平坦維數(shù)有限的左R－模 M，有．Reza［3］在交換Noether環(huán)上討論了R－模N在什么條件下是強(qiáng)無(wú)撓模．S．Reza［4］繼續(xù)在環(huán)R是交換Noether局部環(huán)的條件下對(duì)強(qiáng)無(wú)撓模進(jìn)行了研究．

H．Y．Yan［5］著重在一般非交換環(huán)上對(duì)強(qiáng)無(wú)撓模的性質(zhì)進(jìn)行了研究，并給出了R－模N的強(qiáng)無(wú)撓維數(shù)(stf．dRN)的定義．右R－模N的強(qiáng)無(wú)撓維數(shù)，是指使得0→Dn→Dn－1→…→D1→D0→N→0正合，且每個(gè)Di都是強(qiáng)無(wú)撓R－模的最小非負(fù)整數(shù)n．如果沒(méi)有這樣的整數(shù)n存在，則記r．stf．dRN=∞．文獻(xiàn)［5］還給出了R－模N的強(qiáng)無(wú)撓維數(shù)的另一等價(jià)定義，是指使得的最小的非負(fù)整數(shù)n，其中M∈F∞．2016年，文獻(xiàn)［6］遵循H．Y．Yan［5］的思路定義了環(huán)的(右)整體強(qiáng)無(wú)撓維數(shù)(r．stf．dim(R))．設(shè)R是環(huán)，定義

r．stf．dim(R)=sup{r．stf．dRN|N∈MR}，為R的(右)整體強(qiáng)無(wú)撓維數(shù)．

關(guān)于模的強(qiáng)無(wú)撓維數(shù)的討論在文獻(xiàn)［5－6］中都有表述．本文在這些研究的基礎(chǔ)上，按照同調(diào)理論的思想利用環(huán)的整體強(qiáng)無(wú)撓維數(shù)來(lái)刻畫(huà)環(huán)的結(jié)構(gòu)，且關(guān)于任何同調(diào)維數(shù)的討論常常是考慮其遺傳性，因此自然地去研究強(qiáng)無(wú)撓右R－模的子模是強(qiáng)無(wú)撓模的環(huán)的結(jié)構(gòu)，即r．stf．dim(R)≤1的環(huán)．本文在一般非交換的環(huán)上應(yīng)用右R－模N的強(qiáng)無(wú)撓維數(shù)和環(huán)R的(右)整體強(qiáng)無(wú)撓維數(shù)，引入了st－VN正則環(huán)和STH環(huán)的概念．

1 st－VN正則環(huán)

定理1．1 設(shè)φ:R→T是環(huán)同態(tài)，且T作為左R－模有l(wèi)．fdRT＜∞．若D是強(qiáng)無(wú)撓右R－模，則D是強(qiáng)無(wú)撓T－模．

證明 設(shè)M是任意左T－模，且l．fdTM＜∞，由平坦維數(shù)的換環(huán)定理，有l(wèi)．fdRM≤l．fdTM+l． fdRT＜∞．由于D是強(qiáng)無(wú)撓右R－模，故=0．設(shè)0→K→F→M→0是正合列，其中F是平坦左T－模．設(shè)是自然同態(tài)，其中

推論1．2 設(shè)φ:R→T是環(huán)同態(tài)，且T是平坦左R－模．若D是強(qiáng)無(wú)撓右R－模，則是強(qiáng)無(wú)撓T－模．

推論1．3 設(shè)R是交換環(huán)，a∈R既不是零因子也不是單位．若D是強(qiáng)無(wú)撓R－模，則D/aD是強(qiáng)無(wú)撓R/aR－模．

推論1．4 設(shè)R是交換環(huán)，S是R的乘法封閉集．若D是強(qiáng)無(wú)撓R－模，則DS是強(qiáng)無(wú)撓RS－模．

推論1．5 設(shè)R是交換環(huán)，D是強(qiáng)無(wú)撓R－模，則D［X］是強(qiáng)無(wú)撓R［X］－模．

命題1．6 設(shè)R是交換環(huán)，N是R－模，則

證明 設(shè)n是非負(fù)整數(shù)，若stf．dRN≤n，則存在一個(gè)正合列

其中每個(gè)Di都是強(qiáng)無(wú)撓R－模，i=0，1，…，n．于是

是正合列．由推論1．5知每個(gè)Di［X］都是強(qiáng)無(wú)撓R［X］－模，i=0，1，…，n，因此

另一方面，令stf．dR［X］(N［X］)≤n，則存在一個(gè)正合列

其中F0，F(xiàn)1，…，F(xiàn)n－1是平坦R［X］－模，且Fn是強(qiáng)無(wú)撓R［X］－模．于是

是正合列．由推論1．3知每個(gè)Fi/xFi都是強(qiáng)無(wú)撓R－模，i=0，1，…，n．故stf．dRN≤n，因此

環(huán)R稱(chēng)為VN正則環(huán)，是指每個(gè)R－模都是平坦模．相應(yīng)的，引入右st－VN正則環(huán)的概念來(lái)對(duì)環(huán)進(jìn)行刻畫(huà)．

定義1．7 環(huán)R稱(chēng)為右st－VN正則環(huán)，是指每個(gè)右R－模都是強(qiáng)無(wú)撓模．

例1．8 1)顯然，VN正則環(huán)是st－VN正則環(huán)．

2)設(shè)R=R1×R2是環(huán)的直積，則R是右st－VN正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R1與R2都是右st－VN正則環(huán)．

定義1．9［8］環(huán)R的左finitistic維數(shù)和左弱finitistic維數(shù)分別定義為

l．FPD(R)=sup{l．pdRM|l．pdRM ＜∞}，和

l．FFD(R)=sup{l．fdRM|l．fdRM ＜∞}．

容易看到，對(duì)任何環(huán)R，

l．FFD(R)≤l．FPD(R)≤l．gl．dim(R);

l．FFD(R)≤w．gl．dim(R)≤l．gl．dim(R)．

定理1．10 對(duì)環(huán)R，則以下各條等價(jià):

1)R是右st－VN正則環(huán);

2)r．stf．dim(R)=0;

3)l．FFD(R)=0;

4)對(duì)任何M∈F∞，有M是平坦模;

5)每個(gè)有限表現(xiàn)右R－模是強(qiáng)無(wú)撓模．

證明 1)?2)顯然．

1)?3)由文獻(xiàn)［6］推論3．7即得證．

2)?4)由文獻(xiàn)［6］定理4．6，有r．stf．dim(R) =0?對(duì)任何 N∈MR，以及任何 M∈F∞，有TorR1(N，M)=0，即M是平坦模．

1)?5)顯然．

5)?4)設(shè)X是任意有限表現(xiàn)右R－模，由條件，有X是強(qiáng)無(wú)撓模．對(duì)任何M∈F∞有=0，故M是平坦模．

回顧環(huán)R稱(chēng)為右IF環(huán)，是指每一內(nèi)射右R－模是平坦模［9］．文獻(xiàn)［9］定理3．5證明了右IF環(huán)R是VN正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)w．gl．dim(R)≤1．

推論1．11 設(shè)R是右IF環(huán)，則R有

證明 由條件及文獻(xiàn)［10］得到l．FFD(R)=0，再由定理1．10，即得證．

推論1．12 設(shè)R是環(huán)，則以下各條等價(jià):

1)R是VN正則環(huán);

2)l．FFD(R)=0，且w．gl．dim(R)＜∞;

3)R是右IF環(huán)，且w．gl．dim(R)＜∞;

4)R是右st－VN正則環(huán)，且w．gl．dim(R)＜∞．

證明 1)?2)由于R是VN正則環(huán)，則

即任意左R－模M都是平坦模．于是l．fdRM=0，故l．FFD(R)=0，得證．

2)?1)由條件知:任意R－模都是平坦模，即R是VN正則環(huán)．

2)?3)由條件知:環(huán)R是VN正則環(huán)，即任意右R－模都是平坦模，從而環(huán)R是右IF環(huán)，且

3)?2)由于環(huán)R是右IF環(huán)及推論1．11，知r．stf．dim(R)=0．再由定理1．10知l．FFD(R)=0，即得證．

2)?4)由定理1．10，即得證．

推論 1．13 設(shè) R是交換完全環(huán)，則 R有stf．dim(R)=0，從而R是交換Artin環(huán)，則R有

推論1．14 設(shè)R是交換完全環(huán)，且

則R是半單環(huán)．

證明 由于R是交換完全環(huán)，則由文獻(xiàn)［7］定理5．7．6知FPD(R)=0．又FFD(R)≤FPD(R)=0，則FFD(R)=0，從而R是st－VN正則環(huán)，即每個(gè)R－模都是強(qiáng)無(wú)撓模．又由于w．gl．dim(R)＜∞，由文獻(xiàn)［6］命題2．7知每個(gè)強(qiáng)無(wú)撓模都是平坦模．再由R是完全環(huán)，則由文獻(xiàn)［7］的定理5．7．4知每一平坦模是投射模，故每個(gè)R－模是投射模，因此R是半單環(huán)．

2 STH環(huán)

環(huán)R稱(chēng)為右遺傳環(huán)，是指每個(gè)右R－投射模的子模是投射模，即等價(jià)于r．gl．dim(R)≤1．相應(yīng)的，引入右STH環(huán)的概念來(lái)對(duì)環(huán)進(jìn)行刻畫(huà)．

定義2．1 環(huán)R稱(chēng)為右STH環(huán)，是指每個(gè)強(qiáng)無(wú)撓右R－模的子模是強(qiáng)無(wú)撓模，即r．stf．dim(R)≤1．

例2．2 1)顯然，右遺傳環(huán)是右STH環(huán)．

2)右st－VN正則環(huán)仍是右STH環(huán)．

3)若w．gl．dim(R)≤1，則R是右STH環(huán)，因此半遺傳環(huán)也是STH環(huán)．特別地，Prüfer整環(huán)也是STH環(huán)．

定理2．3 對(duì)環(huán)R，則以下各條等價(jià):

1)R是右STH環(huán);

2)平坦右R－模的子模是強(qiáng)無(wú)撓模;

3)自由右R－模的子模是強(qiáng)無(wú)撓模;

4)l．FFD(R)≤1;

5)R的每個(gè)右理想是強(qiáng)無(wú)撓模．

證明 1)?2)?3)顯然．

1)?4)設(shè)任何M∈F∞，X是任意右R－模，則存在一個(gè)正合列0→K→F→X→0，其中F是平坦模．于是K是強(qiáng)無(wú)撓模，因而有正合列

4)?2)對(duì)于平坦右R－模F的任一子模K，有正合列0→K→F→X→0．對(duì)任何M∈F∞，由假設(shè)有l(wèi)．fdRM≤1．因此有正合列

3)?5)顯然．

5)?4)設(shè)I是R的任意右理想，M∈F∞，則0→I→R→R/I→0是正合列．由條件，I是強(qiáng)無(wú)撓模．于是由同構(gòu)關(guān)系，故l．fdRM≤1，即l．FFD(R)≤1．

推論2．4 設(shè)交換環(huán)R是STH環(huán)，S是R的乘法封閉集，則RS也是STH環(huán)．

證明 設(shè)M是RS－模且fdRSM＜∞，則fdRM= fdRSM＜∞．引用定理2．3命題4)，得fdRM≤1，故fdRSM≤1，因此RS也是STH環(huán)．

定理2．5 設(shè)R是環(huán)，則以下各條等價(jià):

1)l．FFD(R)=0;

2)l．FFD(R)≤1，且每一內(nèi)射模是強(qiáng)無(wú)撓模．

證明 1)?2)由定理1．10即得證．

2)?1)設(shè)X是任意右R－模，則存在一個(gè)正合列0→X→E→C→0，其中E是內(nèi)射模．由條件，E是強(qiáng)無(wú)撓模．又由定理2．3，知X是強(qiáng)無(wú)撓模．再由定理1．10，得到l．FFD(R)=0．

引理2．6 設(shè)R是交換環(huán)，a∈R既不是零因子也不是單位．若FFD(R)≤n，其中n≥1，則

證明 令珔R=R/aR，設(shè)M是任意珔R－模且fd珔RM＜∞，由文獻(xiàn)［7］的定理4．9．7，有fdRM=fd珔RM+1＜∞．由條件有fdRM≤n，從而fd珔RM≤n－1，故得證．

定理2．7 設(shè)R是dim(R)=1的交換Noether環(huán)，則R是STH環(huán)．

證明 由于R是Noether環(huán)，則由文獻(xiàn)［7］的定理6．3．4知dim(R)=FPD(R)=1．再由于FFD (R)≤FPD(R)，則FFD(R)≤1，故R是STH環(huán)．

定理2．8 設(shè)R是環(huán)，則以下各條等價(jià):

1)w．gl．dim(R)≤1;

2)R是右STH環(huán)，且w．gl．dim(R)＜∞;

3)R是右STH環(huán)，且每一強(qiáng)無(wú)撓模是平坦模．

證明 1)?2)對(duì)任何右R－模N，則r．stf．dRN≤r．fdRN，故r．stf．dim(R)≤w．gl．dim(R)≤1，故得證．

2)?3)由文獻(xiàn)［6］的命題2．7即得證．

3)?1)設(shè)X是任意右R－模，則存在一個(gè)正合列0→K→F→X→0，其中F是平坦模．由于R是右STH環(huán)，故K是強(qiáng)無(wú)撓模，從而K是平坦模，因此w．gl．dim(R)≤1．

推論2．9 設(shè)R是交換凝聚環(huán)，則以下各條等價(jià):

1)w．gl．dim(R)≤1;

2)R是STH環(huán)，且w．gl．dim(R)＜∞;

3)R是STH環(huán)，且每一強(qiáng)無(wú)撓模是平坦模;

4)R是半遺傳環(huán)．

證明 1)?2)?3)由定理2．8得證．

1)?4)設(shè)I是R的任意有限生成理想，由于R是凝聚環(huán)，則I是有限表現(xiàn)的．又由于w．gl．dim(R)≤1，則由文獻(xiàn)［7］的定理5．5．10有I是平坦模．再由文獻(xiàn)［7］的定理3．4．7有I是投射模，故R是半遺傳環(huán)．

4)?1)顯然．

推論2．10 設(shè)R是Noether整環(huán)，則以下各條等價(jià):

1)w．gl．dim(R)≤1;

2)R是STH環(huán)，且w．gl．dim(R)＜∞;

3)R是STH環(huán)，且每一強(qiáng)無(wú)撓模是平坦模;

4)R是Prüfer整環(huán)，即R是半遺傳整環(huán);

5)R是Dedekind整環(huán)，即R是遺傳整環(huán)．

證明 1)?2)?3)由定理2．8得證．

1)?4)參見(jiàn)文獻(xiàn)［7］的定理5．5．11．

4)?5)顯然．

推論 2．11 設(shè) R是 w．gl．dim(R)＜∞的Noether整環(huán)，則R是STH環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)dim(R)= FPD(R)≤1．

證明 若R是STH環(huán)，由推論2．10知R是遺傳整環(huán)．于是gl．dim(R)≤1，故FPD(R)≤gl．dim(R)≤1．再由文獻(xiàn)［11］知dim(R)=FPD(R)，故得證．

反之，設(shè)dim(R)=FPD(R)≤1，由于FFD(R)≤FPD(R)，則FFD(R)≤1．再由定理2．3，故R是STH環(huán)．

例2．12 STH環(huán)未必是半遺傳環(huán)．例如:設(shè)D是w．gl．dim(D)=1的Prüfer整環(huán)，則

其中X是未定元．令R=D［X］/(X2)，由引理2．6知FFD(R)≤1，從而R凝聚STH環(huán)．用x表示是X在R中的像，而x≠0且x2=0，故x是R的冪零元，因此R不是約化環(huán)．又由文獻(xiàn)［12］命題1知，w．gl．dim(R)=∞，故R不是半遺傳環(huán)．

例2．13 STH整環(huán)未必是Prüfer整環(huán)，Noether的STH整環(huán)未必是Dedekind整環(huán)．例如:設(shè)Q是有理數(shù)域，X，Y是未定元，則X2+2Y2是不可約多項(xiàng)式．因此R=Q［X，Y］/(X2+2Y2)是Noether整環(huán)，且其Krull維數(shù)dim(R)=1．由文獻(xiàn)［11］知dim(R) =FPD(R)．再由于FFD(R)≤FPD(R)，則FFD(R)≤1，故R是Noether的STH整環(huán)．由文獻(xiàn)［13］的例2．11知，R不是整閉整環(huán)，且R是Gorenstein－Dedekind整環(huán)，因此R不是Dedekind整環(huán)．

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Global Strongly Torsion-free Dimensions of Rings and STH Rings

CHEN Yongjun，WANG Fanggui，CHEN Youhua

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be a ring and D a right R-module．If TorR1(D，M)=0 for all left R-modules M with finite flat dimension，then D is called a strongly torsion-free．We make use of the strongly torsion-free dimension of a module and global strongly torsion-free dimension of a ring to charaterize rings．Then we introduce the concept of st-VN regular rings and STH rings．

strongly torsion-free modules;strongly torsion-free dimensions;global strongly torsion-free dimensions;st-VN regular rings;STH rings

O154

A

1001－8395(2016)04－0503－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．007

(編輯 周 俊)

2015－05－21

國(guó)家自然科學(xué)基金(11171240)、教育部博士點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金(20125134110002)和四川省教育廳自然科學(xué)青年基金(15ZB0030)

*通信作者簡(jiǎn)介:陳幼華(1979—)，男，副教授，主要從事交換環(huán)與星型算子理論的研究，E－mail:yhchen2006@163．com

2010 MSC:16E10;16E60