周翔宇,李艷玲

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710119)

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一類帶Michaelis-Menten收獲項(xiàng)的改進(jìn)的Holling-Ⅳ型捕食-食餌模型的共存解

周翔宇,李艷玲

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710119)

摘要:討論一類帶Michaelis-Menten收獲項(xiàng)的捕食-食餌模型平衡態(tài)正解的存在性,其功能函數(shù)為改進(jìn)的Holling-Ⅳ型.首先利用最大值原理和Harnack不等式給出平衡態(tài)方程正解的先驗(yàn)估計(jì);其次借助Pioncare不等式分析非常數(shù)正平衡解不存在的條件;最后由L-S度理論得到平衡態(tài)系統(tǒng)非常數(shù)正解的存在性,從而給出捕食者與食餌在一定條件下可以共存的結(jié)果.

關(guān)鍵詞:捕食-食餌模型;先驗(yàn)估計(jì);L-S度理論；共存解

0引言

捕食-食餌模型是種群動力學(xué)的重要研究內(nèi)容,吸引了國內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注.最早由Volterra在1926年提出了Lotka-Volterra模型[1],但此模型假設(shè)功能反應(yīng)與食餌數(shù)量成正比,這與實(shí)際情況不完全相符.隨后Holling在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對不同物種提出了3種不同的功能反應(yīng)函數(shù).在食餌與捕食者的相互作用中,很多食餌是具有防衛(wèi)能力的,特別是隨著食餌數(shù)量的增加,食餌的防御、匿藏能力也會提高,對捕食者會起到抑制作用.基于此,Andrews提出了Holling Ⅳ型[2]功能反應(yīng)函數(shù)P(x)=mx/a+bx+x2.在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中,考慮到經(jīng)濟(jì)利益,往往會對食餌進(jìn)行收獲以出售,因此對捕食-食餌模型考慮進(jìn)收獲項(xiàng)是很有必要的,而Michaelis-Menten收獲項(xiàng)從生態(tài)和經(jīng)濟(jì)的角度都更加符合實(shí)際[3-5].

目前已有許多學(xué)者對帶收獲項(xiàng)的捕食-食餌模型進(jìn)行了研究,并取得大量成果.其中,文獻(xiàn)[6]研究了帶常數(shù)收獲項(xiàng)的Holling-Ⅳ型捕食-食餌模型,證明了模型的多種分歧情況;文獻(xiàn)[7]中提出了帶有Michaelis-Menten收獲項(xiàng)的改進(jìn)的HollingⅡ型捕食-食餌模型,并研究了解的穩(wěn)定性和分歧;文獻(xiàn)[8]通過對文獻(xiàn)[7]中的模型添加擴(kuò)散項(xiàng)和擴(kuò)散系數(shù),研究了解的漸近穩(wěn)定性,周期解的性態(tài)和非常數(shù)正解的存在性等.結(jié)合文獻(xiàn)[6-8],本文考慮如下一類在齊次Neumann邊界條件下帶Michaelis-Menten收獲項(xiàng)的改進(jìn)的Holling-Ⅳ型捕食-食餌模型

(1)

其中u,v分別代表食餌和捕食者的種群密度,Δ為Lapalce算子,?v表示單位外法向量的方向?qū)?shù),Ω為RN(N≥1)中具有光滑邊界的有界開區(qū)域,d1>0和d2>0分別是食餌和捕食者的擴(kuò)散系數(shù),α,β,γ,ρ,h,m,c均為正常數(shù).

本文主要借助L-S度理論等,研究系統(tǒng)(1)的共存解,因此考慮對應(yīng)的平衡態(tài)方程

(2)

1預(yù)備知識

對于系統(tǒng)(2)非負(fù)常數(shù)解的情況有如下定理.

定理1對于系統(tǒng)(2),令s=1-c-α/β,Δ0=(α/β-c-1)2-4h,則有

(1) (0,0)為其平凡解,(0,m/β)為其一個(gè)非負(fù)半平凡解.

(2) 當(dāng)h>c,c<1且(1+c)2>4h時(shí),有兩個(gè)半平凡解

當(dāng)h

當(dāng)α/β<1-h/c時(shí),僅有U2=(u2,v2)存在.

由最大值原理[9]可以得到如下定理.

證明令

對于系統(tǒng)(1),由最大值原理可得

因此有u(x1)≤1,v(y2)≥m/β.

定理3設(shè)α/β≠1-h/c,d是固定的正常數(shù),則存在一個(gè)正常數(shù)C=C(Λ,d),使得對所有的d1,d2≥d,系統(tǒng)(2)的任意正解(u,v)滿足u(x)≥C,v(x)≥m/β.

則由Harnack不等式可知,存在一個(gè)正常數(shù)C*=C*(N,Ω,Λ,d),使得當(dāng)d1,d2≥d時(shí),有

(3)

(4)

2非常數(shù)正平衡解的不存在性

定理4存在一個(gè)正常數(shù)D1,使得當(dāng)d1,d2≥D1時(shí),系統(tǒng)(1)沒有非常數(shù)正平衡解.

(5)

令

3非常數(shù)正平衡解的全局存在性

本節(jié)固定其他參數(shù),以d1,d2為參數(shù)討論系統(tǒng)(1)的非常數(shù)正平衡解的全局存在性.

首先,記U=(u,v),Ur=(ur,vr)，且r=1,2.令

經(jīng)計(jì)算可得

則系統(tǒng)(2)可以寫成

(6)

并且U是系統(tǒng)(2)的解當(dāng)且僅當(dāng)U滿足

G(d1,d2;U)=U-(I-Δ)-1(D-1F(U)+U)=0,U∈X.

其中(I-Δ)-1是I-Δ在齊次Neumann邊界條件下的逆算子.通過計(jì)算得

DUG(d1,d2;Ur)=I-(I-Δ)-1(D-1Jr(U)+I),r=1,2.

(7)

易知,對于每個(gè)Xi,μ是DUG(d1,d2;Ur)在Xi上的特征值,當(dāng)且僅當(dāng)μ(1+λi)是矩陣

的特征值.記detRr(λi)為Rr(λi)的行列式.令

Mr(d1,d2;λi)=d1d2detRr(λi),r=1,2,

所以有

(8)

關(guān)于λ的一元二次方程(8)的判別式記為Δr,其中

令

引理1[15]假設(shè)?λi∈Sp,Mr(d1,d2;λi)≠0且r=1,2,則

index(G(d1,d2;·),Ur)=(-1)σ,

其中

特別地,若?λi≥0,有Mr(d1,d2;λi)>0,則σ=0.

接下來令

?s∈[0,1],定義

下面考慮如下問題

(9)

則U是方程(9)的非常數(shù)正解，當(dāng)且僅當(dāng)U是

W(U,s)=U-(I-Δ)-1(D-1(s)F(U)+U)

(10)

的解.其中

DUG(d1,d2;Ur)=I-(I-Δ)-1(D(1)-1Jr(U)+I),r=1,2,

因此,?s∈[0,1],W(U,s)=0在U∈?Σ上無解.根據(jù)度的同倫不變性[12]可得

deg(W(U,1),Σ,0)=deg(W(U,0),Σ,0).

(11)

indexW(U1,1)=indexG(d1,d2;U1)=(-1)dimE(λ0)+σq=1,

(12)

indexW(U2,1)=indexG(d1,d2;U2)=(-1)0=1.

(13)

(14)

(15)

結(jié)合式(12)～(15)可得

deg(W(U,1),Σ,0)=indexW(U1,1)+indexW(U2,1)=2,

deg(W(U,0),Σ,0)=indexW(U1,0)+indexW(U2,0)=0,

這與式(11)矛盾,故假設(shè)不成立,定理5得證.

參考文獻(xiàn)(References):

[1]陳蘭蓀.數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)建模與研究方法[M].北京:科學(xué)出版社,1988:1-126.

CHENLansun.Mathematicalecologymodelingandresearchmethod[M].Beijing:SciencePress,1988:1-126.

[2]ANDREWSJF.Amathematicalmodelforthecontinuouscultureofmicroorganismsutilizinginhibitorysubstrates[J].BiotechnolBioeng,1968，10(6):707-723.

[3]CLARKCW.Mathematicalmodelsintheeconomicsofrenewableresources[J].SIAMRev,1979,21(1):81-99.

[4]KRISHNASV,SRINIVASUPDN,KAYMACKALANB.Conservationofanecosystemthroughoptimaltaxation[J].BullMathBiol,1998,60(3):569-584.

[5]DAST,MUKHERJEERN,CHAUDHURIKS.Bioeconomicharvestingofaprey-predatorfishery[J].BiolDyn,2009,3(5):447-462.

[6]ZHANG J H,YANG C H,ZHANG X G,et al.Bifurcation analysis in a predator-prey system with Holling-Ⅳ functional response and prey constant harvesting[J].Int J Inf Syst Sci,2012,3(8):382-395.

[7]GUPTA R P,CHANDRA P.Bifurcation analysis of modified Leslie-Gower predator-prey model with Michaelis-Menten type prey harvesting[J].J Math Anal Appl,2013,398(1):278-295.

[8]LI Yan,WANG Mingxin.Dynamics of a diffusive predator-prey model with modified Leslie-Gower term and Michaelis-Menten type prey harvesting[J].Acta Appl Math,2015,140(1):147-172.

[9]LOU Yuan,NI Weiming.Diffusion vs cross-diffusion:An elliptic approach[J].J Differential Equations,1999,154(1):157-190.

[10]LIN Chuangsheng,NI Weiming,TAKAGI I.Large amplitude stationary solutions to a chemotaxis system[J].J Differential Equations,1988,72(1):1-27.

[11]GILBARG D,TRUDINGER N S.Elliptic partial differential equations of second order[M].New York:Springer Verlag,1983:20-71.

[12]YE Qixiao,LI Zhengyuan.Introduction to reaction diffusion equations[M].Beijing:Science Press,1990:1-48.

[13]徐娟,李艷玲.一類捕食-食餌模型正平衡解的存在性[J].紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2012,25(2):149-153.

XU Juan,LI Yanling.The existence of positive steady-state solutions for a predator-prey model[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2012,25(2):149-153.

[14]張?jiān)?李艷玲.帶有交叉擴(kuò)散項(xiàng)的 Holling-Ⅱ捕食-食餌模型的共存[J].紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2010,23(4):439-444.

ZHANG Yue,LI Yanling.Stationary patterns for a prey-predator model with Holling type II functional response and density-dependent diffusion term[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2010,23(4):439-444.

[15]PANG P Y H,WANG Mingxin.Non-constant positive steady states of a predator-prey system with non-monotonic functional response and diffusion[J].Proc London Math Soc,2004,1(1):135-157.

編輯、校對：師瑯

文章編號:1006-8341(2016)02-0141-07

DOI：10.13338/j.issn.1006-8341.2016.02.002

收稿日期：2015-10-16

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(663369)

通訊作者:李艷玲(1963—),女,陜西省西安市人,陜西師范大學(xué)教授,研究方向?yàn)榉磻?yīng)擴(kuò)散方程理論及其應(yīng)用.

中圖分類號：O 175.26

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

The coexistence of a modified Holling-Ⅳ type predator-prey model with Michaelis-Menten type prey harvesting

ZHOUXiangyu,LIYanling

(College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi′an 710119,China)

Abstract:The existence of positive solution of the steady-state system for a modified Holling-Ⅳ type predator-prey model with Michaelis-Menten type prey harvesting is studied. Firstly, by the maximum principle and Harnack inequality, a priori estimates of the steady-state system is given. Secondly, the non-existence of the nontrivial nonnegative steady-state solution is given by using Poincare inequality. Finally, by the L-S degree theory, the existence of the nontrivial nonnegative solution of the steady-state system is obtained. The results show that the predator and prey can coexist under the certain conditions.

Key words:predator-prey model; priori estimates; L-S degree theory;coexistence

E-mail:yanlingl@snnu.edu.cn

引文格式：周翔宇,李艷玲.一類帶Michaelis-Menten收獲項(xiàng)的改進(jìn)的Holling-Ⅳ型捕食-食餌模型的共存解[J].紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2016,29(2)：141-147.

ZHOU Xiangyu,LI Yanling.The coexistence of a modified Holling-Ⅳ type predator-prey model with Michaelis-Menten type prey harvesting[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(2):141-147.