張文淵 郭 濤 夏群利 溫求遒

1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京100081 2. 北京航天自動控制研究所，北京100854

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考慮目標(biāo)機(jī)動及修正動力學(xué)的最優(yōu)制導(dǎo)律研究

張文淵1郭 濤2夏群利1溫求遒1

1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京100081 2. 北京航天自動控制研究所，北京100854

以實現(xiàn)對機(jī)動目標(biāo)的精確打擊為背景，首先基于目標(biāo)常值指令機(jī)動模型，同時考慮目標(biāo)機(jī)動動力學(xué)、導(dǎo)彈制導(dǎo)動力學(xué)及重力影響，采用Schwartz不等式法推導(dǎo)得到了一種貼近工程應(yīng)用的改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律(Improved Optimal Guidance Law)，然后對該制導(dǎo)律的加速度指令特性與制導(dǎo)脫靶量進(jìn)行了分析。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律的加速度指令在大部分末導(dǎo)時間內(nèi)都小于其他制導(dǎo)律，在末端攻擊時刻其加速度指令接近零值。其制導(dǎo)脫靶量不受目標(biāo)機(jī)動和末導(dǎo)時間的影響，始終保持在零值附近，該制導(dǎo)律對機(jī)動目標(biāo)的攻擊具有較好的性能優(yōu)勢。

目標(biāo)機(jī)動；制導(dǎo)動力學(xué)；最優(yōu)制導(dǎo)律

為提高復(fù)雜戰(zhàn)場環(huán)境下的生存概率和突防效率，出現(xiàn)了越來越多具有大機(jī)動性能的目標(biāo)，目標(biāo)的高機(jī)動性會大幅降低導(dǎo)彈攻擊的成功率，因此實現(xiàn)對機(jī)動目標(biāo)的精確打擊已成為當(dāng)前戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)武器發(fā)展的必然要求。

導(dǎo)引律是實現(xiàn)導(dǎo)彈對機(jī)動目標(biāo)精確打擊的重要依據(jù)，比例導(dǎo)引律PNG (Proportional Navigation Guidance Law)是較為傳統(tǒng)和應(yīng)用最廣泛的一種制導(dǎo)律，它被證明是目標(biāo)不機(jī)動以及系統(tǒng)零滯后情況時的最優(yōu)制導(dǎo)律[1-2]。但對大機(jī)動目標(biāo)來說，比例導(dǎo)引律由于末端需用過載過大導(dǎo)致其性能已難以滿足末端攔截的需求[3]。增強比例導(dǎo)引律APN(Augmented Proportional Navigation)引入了對常值機(jī)動目標(biāo)的補償，相比比例導(dǎo)引律PNG，增強比例導(dǎo)引律APN可減小末端需用過載，被證明是在系統(tǒng)理想情況下對付常值機(jī)動目標(biāo)的最優(yōu)制導(dǎo)律[4-5]。而真實的導(dǎo)彈系統(tǒng)存在諸多動力學(xué)，動力學(xué)滯后導(dǎo)致PNG和APN制導(dǎo)律都會有比較大的末端過載需求，并產(chǎn)生較大的脫靶量[6]。考慮目標(biāo)常值機(jī)動的情況下，將導(dǎo)彈制導(dǎo)動力學(xué)簡化為一階滯后模型，可推導(dǎo)出OPN(Optimal Proportional Navigation)最優(yōu)制導(dǎo)律[7-8]，該制導(dǎo)律可較好地消除導(dǎo)彈制導(dǎo)動力學(xué)影響。但事實上目標(biāo)機(jī)動也存在動力學(xué)，更真實的情況是目標(biāo)為有動力學(xué)常值加速度指令的機(jī)動[9-10]，目前很少有制導(dǎo)律關(guān)注這種目標(biāo)機(jī)動形式，這導(dǎo)致當(dāng)前制導(dǎo)律與實際情況不匹配，未能有效減小導(dǎo)彈需用過載能力以實現(xiàn)更有效的攔截。

本文基于目標(biāo)為有動力學(xué)滯后系統(tǒng)，并采用常值加速度指令機(jī)動方式，同時考慮導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)動力學(xué)及重力影響，采用Schwartz不等式法推導(dǎo)得到了一種貼近工程應(yīng)用的改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律(Improved Optimal Guidance Law)，然后對該制導(dǎo)律的加速度指令特性與制導(dǎo)脫靶量進(jìn)行了仿真分析，通過與比例導(dǎo)引律PNG和增強比例導(dǎo)引律APN進(jìn)行對比，驗證了改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律在攻擊機(jī)動目標(biāo)時的有效性和最優(yōu)性。

1 問題描述

改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律在推導(dǎo)之前建立如下假設(shè)條件：1)采用二維平面交戰(zhàn)模型，本文導(dǎo)彈和目標(biāo)均在縱向平面運動；2)導(dǎo)彈和目標(biāo)均為質(zhì)點運動模型；3)導(dǎo)彈和目標(biāo)的末端交戰(zhàn)彈道沿參考線(初始基準(zhǔn)線)是線性的；4)導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)為一階動力學(xué)滯后系統(tǒng)。

1.1 目標(biāo)機(jī)動模型

在實際工程應(yīng)用中，對目標(biāo)機(jī)動狀態(tài)估計的準(zhǔn)確性是影響最優(yōu)制導(dǎo)律最優(yōu)性的主要因素，目標(biāo)機(jī)動估計模型與實際模型越接近，則推導(dǎo)出的最優(yōu)制導(dǎo)律越具有最優(yōu)特性和工程應(yīng)用價值。本文以目標(biāo)為有動力學(xué)滯后系統(tǒng)并采用常值加速度指令機(jī)動方式為模型[10]，假設(shè)目標(biāo)為一階動力學(xué)系統(tǒng)，包含動力學(xué)時間常數(shù)Tt和噪聲，該機(jī)動模型表達(dá)式如下：

(1)

對于常值機(jī)動指令，目標(biāo)機(jī)動模型數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(2)

式中，aT為目標(biāo)機(jī)動實際加速度；aTc為目標(biāo)機(jī)動加速度指令；ω為白噪聲，代表目標(biāo)機(jī)動的不確定性，此處ω取零值。

1.2 系統(tǒng)模型

圖1給出了彈目攔截幾何關(guān)系，LOS為基準(zhǔn)彈目線，XOY為慣性坐標(biāo)系，yM和yT為相對XOY慣性坐標(biāo)系垂直于LOS基準(zhǔn)彈目線方向的導(dǎo)彈和目標(biāo)位置，y為相對位置，aM和aT為導(dǎo)彈和目標(biāo)垂直于基準(zhǔn)線方向的絕對加速度，其中，λ為彈目視線角，vT為目標(biāo)速度，vM為導(dǎo)彈速度。

圖1 攔截幾何關(guān)系

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)模型

圖2給出了系統(tǒng)狀態(tài)模型，其中，Tg為導(dǎo)彈制導(dǎo)動力學(xué)時間常數(shù)，根據(jù)圖2可得系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：

(3)

式中，X(t)為系統(tǒng)狀態(tài)量，A(t)為狀態(tài)矩陣，B(t)為控制矩陣，u(t)為控制量。通過前文的分析可知，該系統(tǒng)狀態(tài)量X(t)應(yīng)包含彈目相對位置和速度，目標(biāo)機(jī)動加速度和加速度指令，導(dǎo)彈過載指令以及重力補償項，控制量u(t)為導(dǎo)彈加速度指令amc。

其中，

(4)

2 改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律推導(dǎo)與應(yīng)用

2.1 制導(dǎo)律推導(dǎo)

在改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律求解時，以末端零脫靶量及最小過程控制能量為約束，可把目標(biāo)函數(shù)寫為：

(5)

式中，下標(biāo)f代表末端狀態(tài)量，考慮本文彈目攔截情況，狀態(tài)矩陣取如下形式：

(6)

上述問題是一個最優(yōu)控制問題，求解該問題時可采用最優(yōu)控制求解方法，也可采用Schwartz不等式求解，本文采用Schwartz不等式法求解最優(yōu)制導(dǎo)律，以保證下式成立，

(7)

狀態(tài)方程式(3)在tf處的解可表示為：

(8)

式(8)中狀態(tài)量的基礎(chǔ)轉(zhuǎn)移矩陣為：

Φ(t)=L-1[(sI-A)-1]

(9)

式中，I為單位矩陣，s為復(fù)頻域的符號，L-1為拉普拉斯反變換。式(8)也可表示為式(10)形式：

(10)

式中,Ti=tf-t。

式(8)中第1個狀態(tài)量y在終端可表示為：

(11)

式中，

(12)

將終端條件y(tf)=0代入式(11)中，可得：

(13)

對式(13)應(yīng)用Schwartz不等式有：

(14)

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪r，所需能量最小，因此可推出改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律表達(dá)式為：

(15)

進(jìn)一步，可以把改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律寫成便于工程應(yīng)用的形式：

(16)

由式(16)可知，改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律的第1項類似于比例導(dǎo)引律PNG，為制導(dǎo)律的主項，第2項是對導(dǎo)彈制導(dǎo)動力學(xué)的修正項，第3項和第4項是對目標(biāo)機(jī)動加速度和加速度指令的修正項，最后一項是對重力加速度的修正項。

2.2 制導(dǎo)律應(yīng)用

在實際應(yīng)用改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律時，以采用雷達(dá)導(dǎo)引頭的導(dǎo)彈為例，制導(dǎo)律所需制導(dǎo)信息獲取方式如下：

2)導(dǎo)彈加速度aM可由彈上加速度計測量獲取；

3)導(dǎo)彈制導(dǎo)動力學(xué)時間常數(shù)Tg為設(shè)計參數(shù)，視為已知量；

4)目標(biāo)機(jī)動動力學(xué)時間常數(shù)Tt可通過對典型機(jī)動目標(biāo)動力學(xué)特性進(jìn)行統(tǒng)計，提前裝訂于彈上計算機(jī)，實際使用時根據(jù)當(dāng)前目標(biāo)特性選取合適的參數(shù)；

5)剩余飛行時間tgo由簡化公式tgo=R/Vr計算得到，其中彈目相對距離R由雷達(dá)導(dǎo)引頭測得；

6)目標(biāo)機(jī)動加速度aT和加速度指令aTc可采用卡爾曼濾波器方程估計得到，具體方法如下。

根據(jù)圖2得到目標(biāo)機(jī)動的卡爾曼濾波器狀態(tài)方程和量測方程為：

(17)

Z=C′X′+v

(18)

(19)

式中,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φk=Φ(Ts)，Ts為離散步長。

利用Ricatti方程遞推解出迭代方程為：

(20)

(21)

3 改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律特性分析

根據(jù)式(16)及文獻(xiàn)[1-5]可給出改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律與比例導(dǎo)引律、增強比例導(dǎo)引律表達(dá)式的區(qū)別，如表1所示。

從表1可以看出，相比于比例導(dǎo)引律和增強比例導(dǎo)引律，改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律受目標(biāo)機(jī)動及目標(biāo)機(jī)動動力學(xué)與導(dǎo)彈制導(dǎo)動力學(xué)的影響，應(yīng)具有更好的制導(dǎo)效果，下面通過仿真來分析改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律的制導(dǎo)特性。表2給出了制導(dǎo)律仿真初始條件。

表1 不同制導(dǎo)律表達(dá)式

表2 仿真初始制導(dǎo)參數(shù)

圖3給出了改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律制導(dǎo)系統(tǒng)框圖，利用圖3仿真得到制導(dǎo)律加速度指令隨末導(dǎo)時間變化曲線，如圖4所示。仿真結(jié)果可以看出，改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律的加速度指令隨著末導(dǎo)時間增加而減小，在彈目交匯處，比例導(dǎo)引律與增強比例導(dǎo)引律存在較大的加速度指令，會造成由于指令飽和而產(chǎn)生脫靶的情況，而改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律指令較小且趨近于零值，此時小指令有利于對目標(biāo)的截獲。

圖3 改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律制導(dǎo)系統(tǒng)框圖

圖4 加速度指令隨末導(dǎo)時間變化曲線

進(jìn)一步為了分析制導(dǎo)脫靶量對于目標(biāo)機(jī)動的敏感性，采用伴隨函數(shù)法將圖3進(jìn)行伴隨變換，得到圖5所示伴隨系統(tǒng)。利用伴隨系統(tǒng)可仿真得到當(dāng)目標(biāo)有3g加速度指令時，引起的3種制導(dǎo)律制導(dǎo)脫靶量隨末導(dǎo)時間的變化曲線，如圖6所示。由于目標(biāo)機(jī)動和導(dǎo)彈制導(dǎo)動力學(xué)的影響，比例導(dǎo)引律與增強比例導(dǎo)引律需要較大的末導(dǎo)時間消除制導(dǎo)脫靶量，當(dāng)制導(dǎo)系統(tǒng)有大于16倍的相對末導(dǎo)時間(T/Tg)時，脫靶量才出現(xiàn)收斂到零值的趨勢。而改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律脫靶量不受末導(dǎo)時間限制，始終保持零值。

圖5 改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律伴隨系統(tǒng)框圖

圖6 目標(biāo)機(jī)動引起的制導(dǎo)脫靶量隨末導(dǎo)時間變化曲線

4 總結(jié)

以實現(xiàn)對機(jī)動目標(biāo)的精確打擊為背景，基于目標(biāo)常值指令機(jī)動模型，同時考慮目標(biāo)機(jī)動動力學(xué)、導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)動力學(xué)及重力影響，推導(dǎo)得到了一種貼近工程應(yīng)用的改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律，相比于比例導(dǎo)引律與增強比例導(dǎo)引律，該制導(dǎo)律具有較小的加速度指令需求和制導(dǎo)脫靶量，其制導(dǎo)脫靶量不受目標(biāo)機(jī)動和末導(dǎo)時間的影響，驗證了改進(jìn)最優(yōu)制導(dǎo)律對機(jī)動目標(biāo)的攻擊具有較好的性能優(yōu)勢。本文研究成果將對機(jī)動目標(biāo)打擊和最優(yōu)制導(dǎo)律研究提供了一定的理論支撐。

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The Study of Optimal Guidance Law Based on Target Maneuver and Modificatory Dynamics

Zhang Wenyuan1, Guo Tao2, Xia Qunli1, Wen Qiuqiu1

1. Beijing Institute of Technology, School of Aerospace Engineering, Beijing 100081, China 2. Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing 100854, China

Aimingattheprecisionattackofmaneuveringtarget,firstly,basedonthetargetstepmaneuveringmode,theSchwartzmethodisusedtoderiveanimprovedoptimalguidancelaw,whichisbasedonthetargetstepmaneuveringmode.Thetargetmaneuverdynamicsandacceleration,guidancesystemdynamicandgravityaccelerationareconsideredanddynamicallycancelledouttheireffectsinguidancelaw.Andthenthestudyofoptimalguidancelaw’saccelerationcommandandguidancemissdistanceisimplemented.Thesimulationresultsshowthelessmissileaccelerationisrequiredinmosttimeofguidanceespeciallyattheendofinterceptbyusingtheoptiamalguidancelawwhichislesssensitivetoerrorscausedbytargetmaneuveringandmissiletime-to-go.Theguidancelawshowssignificantperformancesuperioritywhenmaneuveringtargetisattacked.

Targetmaneuver;Guidancesystemdynamics;Optimalguidancelaw

2013-08-17

張文淵(1987-)，男，陜西蒲城人，博士研究生，主要研究方向為高超聲速飛行器制導(dǎo)與控制技術(shù)；郭 濤(1983-)，男，山東臨朐人，博士，工程師，主要研究方向為飛行器總體設(shè)計；夏群利(1971-)，男，遼寧撫順人，博士，副教授，主要研究方向為飛行器總體設(shè)計，飛行器制導(dǎo)與控制；溫求遒(1982-)，男，桂林人，博士，講師，主要研究方向為飛行器制導(dǎo)與控制技術(shù)。

V448.23

A

1006-3242(2016)03-0008-06