韓　穎,楊夕涵,沈蘭雅,錢(qián)家昌,張曉斌

(中國(guó)民航大學(xué)　理學(xué)院,天津　300300)

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不確定收益的最優(yōu)投資組合模型

韓穎,楊夕涵,沈蘭雅,錢(qián)家昌,張曉斌

(中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院,天津300300)

[摘要]投資組合理論是金融學(xué)乃至整個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域一個(gè)非常激動(dòng)人心的部分,涌現(xiàn)出了大量的投資模型和理論,這些模型大多采用概率論或者模糊理論方法處理投資中的不確定性,對(duì)于缺乏樣本數(shù)據(jù)這種情形(如購(gòu)買(mǎi)的是新出現(xiàn)的證券)建立的模型甚少。針對(duì)這種投資情況,利用不確定理論考慮了馬科維茨的均值——方差投資組合模型的變形形式,建立了不確定收益的最優(yōu)投資組合選擇模型,進(jìn)一步豐富了證券投資理論。

[關(guān)鍵詞]不確定理論；不確定規(guī)劃；風(fēng)險(xiǎn)分析；投資組合

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2016.24.234

1952年,Markowitz[1]提出了著名的均值方差模型(MV)。均值-方差投資組合理論在研究方法上建立了衡量效用與風(fēng)險(xiǎn)程度指標(biāo),確定了資產(chǎn)組合的基本原則。Markowitz在其出版的《證券組合選擇》一書(shū)中,詳細(xì)論述了證券組合的基本原理,從而為現(xiàn)代西方證券投資理論奠定了基礎(chǔ)。Markowitz資產(chǎn)組合理論研究的是多種資產(chǎn)的組合問(wèn)題,根據(jù)這個(gè)理論,我們可以在方差一定的情況下,研究預(yù)期收益最大的投資組合問(wèn)題；也可以研究預(yù)期收益一定情況下,方差最小的投資組合問(wèn)題。

以往諸多投資分析的模型,往往以概率論方法處理投資中的不確定性,[2]而忽視了另一種不確定性—模糊性。事實(shí)上,金融市場(chǎng)有許多不確定性,例如受?chē)?guó)家政策、突發(fā)事件,以及眾多投資人的行為相互作用的影響。假設(shè)投資者欲購(gòu)買(mǎi)新出現(xiàn)的證券(如股票),則沒(méi)有或者有很少的樣本數(shù)據(jù)可供統(tǒng)計(jì)分析,這時(shí)若用概率論方法及模糊理論方法處理該問(wèn)題就顯得力不從心。而劉寶碇于2007年建立的不確定理論[3]是處理此類(lèi)問(wèn)題的強(qiáng)有力工具,本文利用不確定理論給出了馬科維茨均值方差模型的變形形式,即證券收益是不確定變量的情況。不確定理論是一個(gè)公理化的數(shù)學(xué)系統(tǒng),假設(shè)讀者已經(jīng)熟悉了不確定理論的相關(guān)定義,如信度、不確定測(cè)度、不確定空間、不確定變量、(正則)不確定分布及相應(yīng)的逆分布、期望、方差等,參考文獻(xiàn)第一章和第二章。[4]

1相關(guān)引理

1.1引理一[4]

1.2引理二[5]

假設(shè)ξ1,ξ2,…,ξn是n個(gè)獨(dú)立的不確定變量,且有正則的不確定分布分別是Φ1,Φ2,…,Φn,如果函數(shù)f(x1,x2,…,xn)相對(duì)于x1,x2,…,xm嚴(yán)格遞增,相對(duì)于xm+1,xm+2,…,xn嚴(yán)格遞減,那么不確定變量ξ=f(ξ1,ξ2,…,ξn)的期望。

1.3引理三[6]

假設(shè)ξ是一個(gè)獨(dú)立的不確定變量,且有正則的不確定分布分別是Φ,和有限的期望e,則：

2期望收益一定下的最小風(fēng)險(xiǎn)投資組合模型

假設(shè)投資者欲購(gòu)買(mǎi)n種新證券A1,A2,…,An,用xi(≥0)表示投資者在第i種證券上的投資額所占投資總額的比例,ξi表示第i種股票的收益率(i=1,2,…,n),由于所投資的n種新證券的收益沒(méi)有樣本數(shù)據(jù)可供統(tǒng)計(jì)分析,因此ξi服從不確定分布(分布函數(shù)由專(zhuān)家給出建議),投資者要在期望收益一定的情況下,要是投資風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小,應(yīng)如何選擇投資比例？馬科維茨的均值方差模型可轉(zhuǎn)化為下面的形式：

(1)

式中，E表示期望值算子,V表示方差算子,b是投資者可以接受的最小期望收益率。

假設(shè)ξ1,ξ2,…,ξn是n個(gè)獨(dú)立的不確定變量,且有正則的不確定分布分別是Φ1,Φ2,…,Φn,由引理一至引理三,上面的數(shù)學(xué)模型可以轉(zhuǎn)化為下面的數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題

(2)

3數(shù)值算例分析

假設(shè)投資者購(gòu)買(mǎi)四種新出現(xiàn)的證券A1,A2,A3,A4；b=0.2。他向三位專(zhuān)家咨詢(xún)每種證券的收益率,假設(shè)三位專(zhuān)家給出各種證券的收益率(假設(shè)權(quán)重相同)所滿(mǎn)足的不確定分布如表1所示。

表1　證券收益率分布

由引理二和引理三,根據(jù)模型(2)得：

由Matlab7.0軟件計(jì)算得出模型的最優(yōu)解：(0.6667,0.3333,0,0),目標(biāo)函數(shù)值為0.4778,即投資者在可以接受的最低收益率為0.1的前提下,按照上面的最優(yōu)策略安排其投資比例,可達(dá)到最低風(fēng)險(xiǎn)0.4778。

4靈敏度分析

通過(guò)表2,我們看到,隨著投資者可接受的最低收益率的逐步增大,他所要承擔(dān)的最低風(fēng)險(xiǎn)也在逐步增大,符合“高回報(bào),高風(fēng)險(xiǎn)”的規(guī)律。

表2　最低風(fēng)險(xiǎn)與可接受最低收益率期望關(guān)系

5結(jié)論

針對(duì)投資者購(gòu)買(mǎi)新出現(xiàn)的證券,缺乏歷史數(shù)據(jù)可對(duì)證券收益率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)這種情況,本文利用不確定理論建立了不確定收益下的最優(yōu)投資組合選擇模型,得到了一個(gè)二次規(guī)劃模型(2),并通過(guò)算例進(jìn)行了投資模擬。通過(guò)采納多位專(zhuān)家的意見(jiàn),對(duì)專(zhuān)家給出的證券收益率所滿(mǎn)足的不確定分布進(jìn)行加權(quán)處理,使得投資風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)一步降低。下一步我們將研究投資者同時(shí)購(gòu)買(mǎi)新出現(xiàn)的證券和已出現(xiàn)時(shí)間較長(zhǎng)的證券的情況,即證券的收益率既有隨機(jī)變量,也有不確定變量的情況。

參考文獻(xiàn)：

[1]Markowitz H..Portfolio Selection[J].Journal of Finance,1952(7)：77-91,

[2]Konno H.,Yamazaki H..Mean-variance Deviation Portfolio Optimization Model and its Applications to Tokyo Stock Market[J].Management Science,1991,37(5):519-531.

[3]Liu B.D..Uncertainty Theory[M].2nd ed.,Berlin：Springer-Verlag,2007.

[4]Liu B.D..Uncertainty Theory[M].5nd ed.,Uncertainty Theory Laboratory,2015.

[5]Liu Y.H.,Ha M.H..Expected Value of Function of Uncertain Variables[J].Journal of Uncertain Systems,2010,4(3)：181-186.

[6]Yao K..A Formula to Calculate the Variance of Uncertain Variable[J].Soft Computing,2015,19(10)：2947-2953.

[基金項(xiàng)目]本文系(天津市級(jí))大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：201510059044)相關(guān)研究成果。

[作者簡(jiǎn)介]韓穎(1994—),女,山西臨汾人,中國(guó)民航大學(xué)本科生。研究方向:統(tǒng)計(jì)學(xué)；楊夕涵(1995—),女,陜西寶雞人,中國(guó)民航大學(xué)本科生。研究方向：統(tǒng)計(jì)學(xué)；沈蘭雅(1992—),女,天津人,中國(guó)民航大學(xué)本科生。研究方向：統(tǒng)計(jì)學(xué)；錢(qián)家昌(1994—),男,江蘇南京人,中國(guó)民航大學(xué)本科生。研究方向：電子信息工程。通訊作者：張曉斌(1983—),男,山東蓬萊人,博士,中國(guó)民航大學(xué)講師。研究方向：復(fù)分析,運(yùn)籌與優(yōu)化。