馬少花，李欣欣，2，鄭偉學(xué)，毛漢領(lǐng)，2

（1.廣西大學(xué)廣西制造系統(tǒng)與先進制造技術(shù)重點實驗室，廣西 南寧530004；2.廣西大學(xué)機械工程學(xué)院，廣西 南寧530004）

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試驗與研究

多自由度模型NOFRFs估計及損傷檢測的數(shù)值模擬

馬少花1，李欣欣1，2，鄭偉學(xué)1，毛漢領(lǐng)1，2

（1.廣西大學(xué)廣西制造系統(tǒng)與先進制造技術(shù)重點實驗室，廣西 南寧530004；2.廣西大學(xué)機械工程學(xué)院，廣西 南寧530004）

摘要：基于Volterra級數(shù)理論定義的NOFRFs相當(dāng)于非線性系統(tǒng)中的“傳遞函數(shù)”，可很好的表征非線性系統(tǒng)的本質(zhì)特性，是非線性檢測的重要工具。結(jié)合NOFRFs的一般估算理論，考察了脈沖錘擊信號的特點，進而推導(dǎo)了脈沖錘擊激勵下NOFRFs的估算方法。對一維八自由度模型的數(shù)值模擬分析，驗證了該估算方法的有效性，此外，還利用前人構(gòu)建的NOFRFs指標(biāo)實現(xiàn)了對該模型系統(tǒng)非線性特性的檢測。

關(guān)鍵詞：脈沖錘擊激勵；NOFRFs；非線性檢測；模擬仿真

隨著非線性理論的發(fā)展，非線性檢測問題已得到了各領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注，結(jié)構(gòu)損傷、時間序列的混沌特性等均屬于非線性問題。程長明等［1，2］基于NARMAX模型和系統(tǒng)NOFRF提取結(jié)構(gòu)的非線性特性，進而實現(xiàn)了對橋梁模型等結(jié)構(gòu)的損傷檢測。姜可宇等［3］針對時間序列的非線性問題，基于非線性AR模型，提出以該模型的非線性檢測量來檢測時間序列混沌特性的非線性檢測方法。鑒于非線性現(xiàn)象在實際工程中普遍存在，因此有必要建立一種方便、快速的檢測系統(tǒng)非線性的方法。

眾所周知，系統(tǒng)傳遞函數(shù)是一種很好的直接表征系統(tǒng)本質(zhì)特性的方式?；赩olterra級數(shù)理論定義的NOFRFs，相當(dāng)于非線性系統(tǒng)的“傳遞函數(shù)”，可很好的刻畫系統(tǒng)的內(nèi)在本質(zhì)特性。Peng和Lang等［4］提出了NOFRFs的一般估算方法，使得NOFRFs在檢測系統(tǒng)非線性方面得到了廣泛應(yīng)用。Peng等［5-7］利用各階NOFRFs之間的關(guān)系實現(xiàn)了對一維循環(huán)結(jié)構(gòu)非線性的檢測；此外，他們還基于系統(tǒng)各階NOFRFs值實現(xiàn)了對損傷梁非線性特性的檢測［8］。韓清凱等［9］基于NOFRFs值實現(xiàn)了對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)內(nèi)部非線性特性的識別。員險峰、李志農(nóng)等［10，11］利用各階NOFRFs值實現(xiàn)了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性程度分有效辨識。

利用NOFRFs實現(xiàn)對系統(tǒng)非線性特性有效檢測的前提是準(zhǔn)確、快速的估算系統(tǒng)的NOFRFs。考慮到非線性檢測的實用性，本文針對實際工程中易獲取的脈沖錘擊信號，結(jié)合NOFRFs的一般估算理論，提出并推導(dǎo)了脈沖錘擊激勵下NOFRFs的算法。基于該算法，結(jié)合Lang等［12］提出的NOFRFs指標(biāo)，實現(xiàn)了對一維八自由度彈簧質(zhì)量塊模型系統(tǒng)的非線性檢測和分析。

1　NOFRFs理論

若系統(tǒng)輸入信號能量有限，則可用Volterra級數(shù)表示連續(xù)時不變非線性系統(tǒng)，其輸出頻譜可以如下表示［13］：

其中：Y（jω）和U（jω）分別是系統(tǒng)輸入和輸出頻譜，Hn（ω1，…，ωn）是n階Volterra頻域核，即廣義頻率響應(yīng)函數(shù) （General frequency response function，GFRF）.對任意結(jié)構(gòu)，其動態(tài)特性都可由GFRF來描述，然而由于GFRF Hn（n=1，…，N）是多維的，在實際中很難測量、表示和解釋。

在非線性系統(tǒng)的Volterra級數(shù)理論基礎(chǔ)上，Lang等人［14］提出了非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)（Non-linear Output Frequency Response Function，NOFRF）。若

從上式（2）看出，Gn（jω）是Hn（jω1，…，jωn）在頻域ω1+ωn=ω上的加權(quán)和，其權(quán)數(shù)由輸入信號決定，故而Gn（jω）也可像Hn（jω1，…，jωn）一樣，表征系統(tǒng)的動態(tài)特性。

結(jié)合公式（1）和（2），系統(tǒng)的輸出譜表示為：

圖1　線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)的輸入/輸出譜之間的關(guān)系

2　脈沖錘擊激勵下NOFRFs的估算

2.1脈沖激勵下NOFRFs的估算方法

錘擊法具有設(shè)備簡單、操作方便、獲取數(shù)據(jù)快速高效等特點，在實際工程中應(yīng)用廣泛。眾所周知，基于錘擊法得到的脈沖錘擊信號并沒有確定的數(shù)學(xué)表達式，這就給估算系統(tǒng)NOFRFs造成了困難。幸運的是，許多研究表明［15-17］，當(dāng)選定力錘參數(shù)（包括力錘質(zhì)量、錘頭材質(zhì)等）及錘擊對象后，僅通過控制錘擊速度的大小便可獲得波形相似、脈沖寬度相同、僅力幅不同的脈沖錘擊信號?；趯崪y脈沖信號的這些特性，實際應(yīng)用中可通過合理的選取力錘參數(shù)及控制錘擊速度獲取滿足NOFRFs估算條件的脈沖錘擊信號，進而可實現(xiàn)對系統(tǒng)各階NOFRFs的估算。

假設(shè)力錘質(zhì)量、錘頭材質(zhì)、錘擊對象均已確定，下面介紹實際工程應(yīng)用中脈沖錘擊激勵下NOFRFs的估算過程：

首先，用力錘以不同錘擊速度敲擊被測結(jié)構(gòu)次，分別以力傳感器和加速度傳感器收集相應(yīng)的激勵信號、響應(yīng)信號；

其次，按圖1（b）所示方法對個脈沖錘擊信號進行重構(gòu)，并對重構(gòu)信號和響應(yīng)信號進行傅里葉變換，分別得到

最后，利用最小二乘法解上述方程組，即可得到錘擊激勵下系統(tǒng)的前N階NOFRFs.

2.2基于NOFRFs構(gòu)造檢測指標(biāo)

NOFRFs是一維函數(shù)，方便表達和解釋，易從輸入/輸出中辨識得到，它可很好的表征系統(tǒng)本質(zhì)特性的變化，然而直接對比各階NOFRFs值來實現(xiàn)對系統(tǒng)非線性特性的檢測并不夠簡便明了。為方便分析，Peng和Lang等人基于NOFRFs提出了一種簡潔的指標(biāo)：

3　數(shù)值仿真分析

以圖2所示的是一維八自由度彈簧質(zhì)量塊為仿真模型［13］，以半正弦信號模擬實測的脈沖錘擊信號，對該激勵下該模型系統(tǒng)的NOFRFs進行估算，并利用上節(jié)介紹的NOFRFs指標(biāo)Fe的對該模型的非線性特性進行檢測。

圖2　一維八自由度彈簧質(zhì)量塊模型

該模型的非線性系統(tǒng)運動方程為：

其中：x（t）＝［x1（t），…，x8（t）］'是位移向量，M、C、K分別是該模型的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，相應(yīng)模型參數(shù)為m1=… =m8=1 kg，k1=… =k8=3.5531×104 N/m，C=μK，非線性力NF（t）設(shè)置在第3個和第4個質(zhì)量塊之間，即

輸入激勵為半正弦脈沖激勵，作用在第6個質(zhì)量塊上，即

其中，An為脈沖幅值，Tc為脈沖持續(xù)時間。考慮計算該一維八自由度質(zhì)量塊模型的前四階NOFRFs，故只需用四組幅值不同、脈沖寬度相同的半正弦脈沖信號激勵該系統(tǒng)即可。

3.1NOFRFs的估算

由于該估算過程是基于仿真模型進行的，不存在環(huán)境因素、人為因素等方面的干擾問題，故估算該模型的前4階NOFRFs，無需其他信號處理方式，只需以不同幅值的半正弦信號激勵系統(tǒng)4次即可。下面詳細(xì)介紹正常狀態(tài)（NF（t）＝［0］）和損傷狀態(tài)（NF（t）≠［0］）下一維八自由度彈簧質(zhì)量塊仿真模型的前4 階NOFRFs的估算過程。

（1）以幅值不同的四組半正弦脈沖信號ui（t），i＝1，2，3，4分別激勵正常情況下的一維八自由度彈簧質(zhì)量快系統(tǒng)，分別獲取四組半正弦脈沖及其響應(yīng)信號，如圖3所示。

圖3　四組激勵及其響應(yīng)信號時域圖

（2）對四組半正弦脈沖信號進行重構(gòu)，并通過福利也變換獲取各重構(gòu)信號的傅里葉譜，獲取四組響應(yīng)信號的傅里葉譜；

（3）根據(jù)（2）中計算的輸入、輸出信號的傅里葉譜，構(gòu)建4元方程組如下：

（4）用最小二乘法解上述4元方程組，即可得到正常情況下的前4階NOFRFs，其頻譜圖如圖4所示。

圖4　正常情況下系統(tǒng)的前4階NOFRFs

（5）以（1）中的四組半正弦脈沖信號激勵損傷情況下的一維八自由度彈簧質(zhì)量塊系統(tǒng)，并按（2）～（4）步，計算出損傷情況下的前4階NOFRFs，響應(yīng)頻譜如圖5所示

圖5　損傷情況下系統(tǒng)的前4階NOFRFs

3.2基于NOFRFs指標(biāo)的非線性檢測

根據(jù)公式（5）分別計算正常和損傷情況下，該仿真系統(tǒng)的NOFRFs指標(biāo)，如表1所示。

表1　不同狀態(tài)下的NOFRFs指標(biāo)Fe（n）的值

由表1可知，正常情況下系統(tǒng)的Fe（1）＝1，其他各階NOFRFs指標(biāo)均很?。欢鴵p傷情況下，系統(tǒng)的Fe （1）＜1，且其他高階NOFRFs指標(biāo)相對正常情況下的同階NOFRFs指標(biāo)而言，均有大幅增加。為方便比較正常和損傷情況下各階NOFRFs指標(biāo)的變化量，作相應(yīng)指標(biāo)值的直方圖如圖6所示。

圖6　不同狀態(tài)下NOFRFs指標(biāo)Fe的對比直方圖

從上述NOFRFs指標(biāo)Fe（n）值及其直方圖的分析可知，正常和損傷情況下系統(tǒng)各階NOFRFs在整個NOFRFs中所占的比例不同，換句話說，即系統(tǒng)損傷前后相應(yīng)的NOFRFs指標(biāo)Fe（n）值會有所變化。故可通過比較和分析NOFRFs指標(biāo)Fe（n）值的變化，判別被測系統(tǒng)是否損傷，即是否呈現(xiàn)出非線性狀態(tài)。

4　結(jié)束語

（1）錘擊法在工程實際中應(yīng)用廣泛，且具有簡便、經(jīng)濟、高效等優(yōu)點，通過錘擊法獲取脈沖錘擊信號及其響應(yīng)信號，進而估算相應(yīng)的NOFRFs，具有很好的實際應(yīng)用性。

（2）相比以往利用振動信號間接獲取系統(tǒng)非線性特性的方法而言，利用非線性系統(tǒng)“傳遞函數(shù)”——NOFRFs可直接提取系統(tǒng)的本質(zhì)特性，因而基于NOFRFs的方法在系統(tǒng)非線性檢測方面更有效。

（3）NOFRFs可很好的表征系統(tǒng)內(nèi)部特性的變化，更好的提取脈沖錘擊激勵下NOFRFs的敏感非線性特征量，實現(xiàn)對系統(tǒng)微弱非線性的檢測，有待于進一步研究。

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Damage Detection Simulation and Estimation of NOFRFs on Multi-Degree Freedom Model

MA Shao-hua1，LI Xin-xin1，2，ZHENG Wei-xue1，MAO Han-ling1，2
（1.Guangxi Key Laboratory of Manufacturing System&Advanced Manufacturing Technology，Guangxi University，Nanning 530004，China；2.College of Mechanical Engineering，Guangxi University，Nanning 530004，China）

Abstract：The NOFRFs defined by the Volterra series behave as the transfer function of nonlinear systems and can represent the nature of nonlinear systems.The NOFRFs theory provides an important tool for nonlinear detection. Based on the general estimation theory of NOFRFs and the characteristics of impulse hammer excitation，a new estimation method of NOFRFs under impulse hammer excitation came up.The numerical simulation analysis on the eight-degree freedom model demonstrates the effectiveness of the new estimation method.Besides，the nonlinear detection for the foregoing model is realized using the NOFRFs index put forward by the predecessors'.

Key words：impulse hammer excitation；NOFRFs；nonlinear detection；simulation

中圖分類號：TH17

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1672-545X（2016）03-0001-04

收稿日期：2015-12-04

基金項目：國家自然科學(xué)基金（51365006，51445013）及廣西制造系統(tǒng)與先進制造技術(shù)重點實驗室課題（14-045-15S05）項目。

作者簡介：馬少花（1990-），女，山東新泰人，碩士研究生，研究方向為狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷。