饒顯波,韋煜明

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

Banach空間中一類二階脈沖積分微分方程多點(diǎn)邊值問題*

饒顯波,韋煜明

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

研究Banach空間中二階脈沖積分微分方程多點(diǎn)邊值問題正解的存在性.在給定的條件下，運(yùn)用錐拉伸與錐壓縮不動點(diǎn)定理得出邊值問題正解存在性的充分條件.

脈沖微分方程;邊值問題;正解;不動點(diǎn)定理

0 引言

脈沖微分方程是研究一個(gè)過程突然發(fā)生變化的基本工具,能夠充分體現(xiàn)瞬時(shí)突變現(xiàn)象對系統(tǒng)的影響,能更加真實(shí)的地描述自然界狀態(tài)，脈沖系統(tǒng)在現(xiàn)代科學(xué)領(lǐng)域中是廣泛存在的，它的理論在經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會科學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等有著廣泛的運(yùn)用,因此，對脈沖微分方程的研究已引起了國內(nèi)外同行的廣泛關(guān)注.近十年來，對脈沖微分方程一點(diǎn)、兩點(diǎn)、多點(diǎn)邊值問題的研究已經(jīng)非常多,并且有大量的成果,[1-5]與此同時(shí)，脈沖積分微分方程作為一個(gè)重要的分支也得到了人們的關(guān)注，[6-9]然而，這些文章中很少有討論帶有一階導(dǎo)數(shù)的二階脈沖積分微分方程多點(diǎn)邊值問題，因此，受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，筆者運(yùn)用錐壓縮與錐拉伸不動點(diǎn)定理證明了一類帶有一階導(dǎo)數(shù)的二階脈沖積分微分方程多點(diǎn)邊值問題正解的存在性.

文中，我們討論了如下的一類二階脈沖積分微分方程多點(diǎn)邊值問題正解的存在性：

(1)

其中f∈C(J×P×P×P×P,P)，P是E中的一個(gè)錐，J=[0,1]，Ik∈C[P,P]

0<ε1<ε2<…<ε3<…<εm-2<1.εi≠tk(i=1,2,…,m-2,k=1,2,…,n),

θ為E中的零元素，

其中g(shù)∈C[D,R+]，h∈C[D,R+],D={(t,s)∈J×J:t≥s},R+是正實(shí)數(shù)集，

A0=max‖(Ax)(t)‖，B0=max‖(Bx)(t)‖

其中x(τ+)和x(τ-)分別叫作x(t)在t=tk處的右極限和左極限，

PC[J,P]={x∈PC[J,E]:x(t)≥0} 和PC1[J,P]={x∈PC1[J,E]:x(t)≥0,x′(t)≥0}

顯然PC[J,P]是PC[J,E]中的一個(gè)錐，PC1[J,P]是PC1[J,E]中的一個(gè)錐.

PC1[J,E]在‖x‖1=max{‖x‖pc,‖x′‖pc}下構(gòu)成一個(gè)Banach空間.

J′=J/{t1,t2,…,tk,…,tn}，x∈PC1[J,E]∩C2[J′,E]叫作邊值問題(1)的正解當(dāng)且僅當(dāng)x(t)≥0,x′(t)≥0，x(t)滿足方程(1)

問題(1)是一類帶二階脈沖積分微分方程多點(diǎn)邊值問題,本文運(yùn)用錐拉伸與錐壓縮不動點(diǎn)定理討論了問題(1)存在正解的充分條件,獲得了正解存在性的結(jié)果,在某種程度上改進(jìn)和推廣了前人的結(jié)果.

1 預(yù)備知識

在本節(jié)中，首先給出一些前提和主要引理.

定理1[7]若E為實(shí)Banach空間,P為E中的非空閉凸集，滿足

1)au+bv∈P,u,v∈P.且a≥0,b≥0.

2)u,-u∈P,則u=θ.(θ為E中的零元)

則稱P為E中的一個(gè)錐.

對給定的E中的一個(gè)錐P,可在E中引入半序：對任意的x,y∈E,x≤y當(dāng)且僅當(dāng)y-x∈P.

1)Tx≥x,?x∈P∩?Ω1,且Tx/≤x,?x∈P∩?Ω2,

2)Tx/≤x,?x∈P∩?Ω1,且Tx≥x,?x∈P∩?Ω2,

引理1 假設(shè)條件H1)～H2)全部成立，x∈PC1[J,E]∩C2(J′,E)叫作邊值問題(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)x∈PC1[J,E]是下面脈沖積分方程的解.

(2)

證明：設(shè)x是邊值問題(1)的解，對(1)式兩端積分很容易得到，

(3)

對(3)式積分，有

(4)

令t=1和t=εi，i=1,2,…,m-2，帶入(3)式中，可以得到

(5)

化簡得

(6)

將(6)式帶入(4)式中可以得到

反之，假設(shè)x∈PC1[J,E]是邊值問題(2)的解.顯然

x(0)=0,△x|t=tk=Ik(x(tk)),k=1,2,…,n

對(2)式微分可得，當(dāng)t≠tk時(shí)，

再次微分上式，得到

x″(t)=-f(s,x(s),x′(s),(Ax)(s),(Bx)(s))

很容易可以得出

故，x∈PC1[J,E]∩C2[J′,E]

因此，引理1得證.

引理2 假設(shè)條件(H1～H3)都滿足，則邊值問題(1)的解x(t)滿足x(t)≥0,x′(t)≥0,t∈[0,1].

證明：根據(jù)引理1可以得出，

因此引理2 得證.

引理3[3]假設(shè)(H1～H3)成立，邊值問題(1)有如下Green′的函數(shù)：

根據(jù)上面的Green′很容易可以得出，G(t,s)滿足如下式子，

定義算子T：PC1[J,P]→PC1[J,P]:

由引理1和引理3可以得出：x∈Eθ是算子T的不動點(diǎn)，那么x是邊值問題(1)的一個(gè)正解.

假設(shè)條件(H1～H3)全部成立，由引理2和引理3顯然可以得出算子T

T(PC1[J,P])?PC1[J,P]，

由積分的絕對連續(xù)性和Arzela-Ascoli定理可以得到算子T是一個(gè)全連續(xù)算子.

2 主要結(jié)果

在本段中，將運(yùn)用定理2證明邊值問題(1)正解的存在性.

則邊值問題(1)至少有一個(gè)正解x*(t)∈PC1[J,P]∩C2[J′,E].

證明： 假設(shè)H4)成立，則存在一個(gè)l>0，使得

和‖f(t,u1,u2,u3,u4)‖≤M，?t∈J,ui∈P,‖ui‖≤l,i=1,2,3,4,都成立.

其中M=sup{‖f(t,u1,u2,u3,u4)‖,t∈J,ui∈P,‖ui‖≤l,i=1,2,3,4},

另一方面，假設(shè)條件H5)成立；則存在一個(gè)l1>0，使得

并且ε>0,εk>0，k=1,2,3,…,n,R>r0,t∈J,使得

其中r0=max{l,l1,A0,B0}，

接下來證明：Tx≥ x,x∈P,‖x‖=R>r0.

(7)

事實(shí)上，如果存在一個(gè)x1∈P,‖x1‖=R>r0，使得Tx1≥x1，則有

0≤x1(t)

因此，得到‖x1‖<‖x1‖，這顯然是矛盾的，故(7)式成立.

緊接著證明:存在0

(8)

事實(shí)上，如果存在x2∈P,‖x2‖=r1，使得Tx2≤x2，由條件H6)有，

因此得出，‖x2‖>‖x2‖，這顯然是矛盾的，故(8)式成立.

因此，由定理2，T至少有一個(gè)不動點(diǎn)x*∈Pr1,R，Pr1,R={x|r1≤x≤R},再由引理1有邊值問題(1)至少有一個(gè)正解.

故定理3得證.

[1] Liu B, Yu J S. Existence of solution for m-point boundary value problem of second-order impulsive differential equations[J].Apple Math.comput,2002,125(2-3):155-175.

[2] Zhao Y L, Chen H B. Existence of multiple positive solutions for m-point boundary value problems in Banach spaces[J].Apple Math.comput,2008,215(1):79-90.

[3] Jiang W H, Guo Y P. Multiple positive solutions for second-order m-point boundary value problems[J].Math.Anal.appl. ，2007 (327)：415-424.

[4] Feng M Q, Xie D X. Multiple positive solutions of multi-point boundary value problem for second-order impulsive differential equations[J].Apple Math.，2009 (223)：438-448.

[5] Feng M Q, Ge W G. Positive solutions for a class of m-point singular boundary value problems[J].Math.comput.Modeling ，2007 (46)：375-383.

[6] Feng M Q,Pang H H. A class of three-point boundary-value problems for second-order impulsive integro-differential equations in Banach spaces[J].Nonlinear. Ana.，2009 (70)：64-82.

[7] Zhang X M, Feng M Q, Ge W G. Existence of solutions of boundary value problems with integral boundary conditions for second-order impulsive integro-differential equations in Banach spaces[J].Apple Math.comput, 2010 (233)：1915-1926.

[8] Guo D J. Positive solutions of an infinite boundary value problem for nth-order nonlinear impulsive singular integro-differential equations in Banach spaces[J].Nonlinea Ana.，2009 (70)： 2078-2090.

[9] Guo D J.Lakshmikantham V.Nonlinear Problems in Abstract Cones[M].NewYork:Academic Press,1988.

[10]葛渭高.非線性常微分方程邊值問題[M].北京：科學(xué)出版社，2007：63-64.

[責(zé)任編輯 蘇 琴] [責(zé)任校對 黃招揚(yáng)]

A Class of Multi-point Boundary-value Problems for Second-order Impulsive Integro-differential Equations in Banach Spaces

RAO Xian-bo，WEI Yu-ming

(SchoolofMathematicalScience,GuangxiNormalUniversity,Guilin541004,China)

This paper investigates the existence of solutions for a class of multi-point boundary-value problems for second-order impulsive integro-differential equations in Banach spaces，Under the given conditions, using the cone drawing a fixed point theorem in cone sufficient conditions for the existence of positive solutions are obtained.

Boundary value problem;Impulsive differential equations;Positive solution ;Fixed-point theorem

2016-10-10.

廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(2014GXNSFAA118002)；廣西高等學(xué)校高水平創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)及卓越學(xué)者計(jì)劃資助；廣西高等數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)模型重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金課題研究計(jì)劃資助.

饒顯波(1992-)，男，四川達(dá)州人，廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院碩士研究生，研究方向：微分方程.

O175.8

A

1673-8462(2016)04-0057-07