羅蓉

在二次函數(shù)與一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系中，主要講解了兩個(gè)方面的問題：一是用圖像法求方程的近似根；二是用方程的方法研究圖像與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)以及交點(diǎn)求法. 其實(shí)解決這兩個(gè)問題都需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是一條拋物線，這條拋物線與x軸有三種位置關(guān)系：（1）有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）只有一個(gè)交點(diǎn)；（3）沒有交點(diǎn).

當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)大致有下列三種位置關(guān)系：（1）同在原點(diǎn)的右邊；（2）同在原點(diǎn)的左邊；（3）在原點(diǎn)的兩旁.

因?yàn)閤軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是0，所以研究上述問題，就變?yōu)檠芯恳辉畏匠蘟x2+bx+c（a≠0）的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系的問題了.

對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），若Δ=b2-4ac>0，則該函數(shù)的圖像與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)的位置與一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系對應(yīng)如下：

設(shè)一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的兩根為x1、x2則有

1. 若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)同在原點(diǎn)左邊時(shí)：x1+x2<0，且x1x2>0.

2. 若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)同在原點(diǎn)右邊時(shí)：x1+x2>0，且x1x2>0.

3. 若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)位于原點(diǎn)兩旁時(shí)：x1x2<0.

解決有關(guān)二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)的位置問題，一定要同時(shí)考慮一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系. 在這類問題中，我們經(jīng)常會遇到這種類型的題：

通過以上三個(gè)例題的兩種解題方法來看，利用數(shù)形結(jié)合的思想，不失是一種很好的解題途徑，可以使復(fù)雜的計(jì)算簡單化，有利于提高解題效率.