徐勝男，任學(xué)智，位浩杰，展凱云，陳文娟

(中國(guó)石油大學(xué)(華東)，山東 青島　266580)

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基于MATLAB的載流圓環(huán)磁場(chǎng)分布的動(dòng)態(tài)仿真

徐勝男，任學(xué)智，位浩杰，展凱云，陳文娟*

(中國(guó)石油大學(xué)(華東)，山東 青島266580)

摘 要：根據(jù)畢奧—薩伐爾定律推導(dǎo)出載流圓環(huán)空間磁場(chǎng)分布的積分表達(dá)式，利用MATLAB給出計(jì)算結(jié)果，并對(duì)磁場(chǎng)分布矢量圖、中心軸線上磁場(chǎng)分布圖、與圓環(huán)面平行及垂直的面上磁場(chǎng)分布圖進(jìn)行仿真，研究了磁場(chǎng)在徑向和軸向的三維分布，對(duì)教學(xué)和實(shí)際工程應(yīng)用具有一定的指導(dǎo)作用。

關(guān)鍵詞：畢奧—薩伐爾定律；載流圓環(huán)；MATLAB；磁感應(yīng)強(qiáng)度

關(guān)于載流圓環(huán)的磁場(chǎng)分布，在大學(xué)物理中我們了解的只是部分區(qū)域的磁場(chǎng)分布，而在理論和實(shí)際應(yīng)用中，載流圓環(huán)全空間的磁場(chǎng)分布也非常重要。為了解決此問(wèn)題，很多學(xué)者在畢奧—薩伐爾定律的基礎(chǔ)上，對(duì)完整的載流圓環(huán)磁場(chǎng)分布進(jìn)行了研究。賈瑞皋、薛慶忠在電磁學(xué)書(shū)中分析了軸線上的磁場(chǎng)分布情況[1]；向裕民利用橢圓積分計(jì)算失勢(shì)，再經(jīng)旋度求得磁場(chǎng)表達(dá)式，討論了以圓環(huán)平面、中心軸線和遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)為特例的磁場(chǎng)分布[2]；羅宏超、朱平、王曉穎、陳麗群等人從畢奧—薩伐爾定律出發(fā)討論了中心軸線、圓環(huán)平面、遠(yuǎn)區(qū)及圓心附近的磁場(chǎng)分布[3-6]；劉保義等利用mathematica4.0得到了磁感應(yīng)強(qiáng)度分布矢量圖，討論了中心軸線和圓環(huán)平面的磁場(chǎng)分布[7]；王玉梅等利用MATLAB符號(hào)積分繪制圓環(huán)周?chē)艌?chǎng)分布圖，并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算討論[8]。但是，之前尚未見(jiàn)有人對(duì)與圓環(huán)面平行及垂直的面上磁場(chǎng)分布做過(guò)研究，所以，本文將著重研究磁場(chǎng)在圓環(huán)徑向和軸向的三維分布情況。

本文根據(jù)畢奧—薩伐爾定律推導(dǎo)出載流圓環(huán)在空間的磁場(chǎng)分布的積分表達(dá)式，利用MATLAB軟件編程，結(jié)合分段求和的思想，對(duì)不同情況下的磁場(chǎng)分布進(jìn)行建模仿真，繪制了磁場(chǎng)分布矢量圖、中心軸線上磁場(chǎng)分布圖、與圓環(huán)面平行及垂直的面上磁場(chǎng)分布圖，研究了磁場(chǎng)在圓環(huán)徑向和軸向的三維分布，對(duì)教學(xué)和實(shí)際工程應(yīng)用具有一定的指導(dǎo)作用。

1對(duì)載流圓環(huán)產(chǎn)生的磁場(chǎng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模

設(shè)載流圓環(huán)的半徑為R，其中通有電流為I。如圖1所示，設(shè)載流圓環(huán)位于y-z平面上，圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，載流圓環(huán)中心軸線與x軸重合。

(1)

由磁場(chǎng)的疊加原理，則P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(2)

因?yàn)橹苯忧笕≡摲e分計(jì)算過(guò)程復(fù)雜且易出錯(cuò)，所以為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，我們?cè)诳臻g直角坐標(biāo)系中，首先分別求取在x軸，y軸，z軸的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量，然后求矢量和得P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，最后繪制磁場(chǎng)分布圖，分析載流圓環(huán)在全空間的磁場(chǎng)分布特點(diǎn)。

(3)

(4)

將式(2) (3) 代入式(1)，其中

(5)

所以P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量為：

(6)

(7)

(8)

2基于MATLAB編寫(xiě)載流圓環(huán)產(chǎn)生磁場(chǎng)的仿真程序

在建立了載流圓環(huán)產(chǎn)生的磁場(chǎng)數(shù)學(xué)模型[9]后,根據(jù)上述分析建立的數(shù)學(xué)模型利用MATLAB軟件編寫(xiě)可仿真、可執(zhí)行的仿真程序。仿真程序[10]如下：

2.1初始化

根據(jù)式(6)～(8)，設(shè)置相關(guān)變量參數(shù)：

%用畢奧-薩伐爾定律計(jì)算電流環(huán)產(chǎn)生的磁場(chǎng)

clear all;%初始化，給定圓環(huán)半徑、電流

mu0=4*pi*1e-7;%真空磁導(dǎo)率

I0=10.0；Rh=1;%圓環(huán)半徑、電流

C0=mu0/(4*pi)*I0;%組合常數(shù)

NGx=21;NGy=21;%設(shè)定觀測(cè)點(diǎn)網(wǎng)格數(shù)

x = linspace(-3,3,21);%設(shè)定觀測(cè)點(diǎn)范圍

y=x；z=y;

2.2求P點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度

利用分段求和的思想，求取空間任意一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度：

Nh =20;%電流環(huán)分段數(shù)

theta0=linspace(0,2*pi,Nh+1);%環(huán)的圓周角分段

theta1=theta0(1:Nh);

y1=Rh*cos(theta1);z1=Rh*sin(theta1);%環(huán)各段的向量的起點(diǎn)坐標(biāo)y1,z1

theta2=theta0(2:Nh+1);

y2=Rh*cos(theta2);z2=Rh*sin(theta2);%環(huán)各段的向量的終點(diǎn)坐標(biāo)y2,z2

dlx=0；dly=y2-y1;dlz=z2-z1;%計(jì)算環(huán)各段向量dl的三個(gè)長(zhǎng)度分量

xc=0；yc=(y2+y1)/2；zc=(z2+z1)/2;%計(jì)算環(huán)各段向量中點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)分量

for i=1:NGy%循環(huán)計(jì)算各網(wǎng)格點(diǎn)上的B(x,y)值

for j=1:NGx

rx=x(j)-xc;ry=y(i)-yc;rz=0-zc;%觀測(cè)點(diǎn)在z=0平面上

r3=sqrt(rx.^2+ry.^2+rz.^2).^3;%計(jì)算r3

dlXr_x=dly.*rz-dlz.*ry;%計(jì)算叉乘積

dlXr_y=dlz.*rx-dlx.*rz;

Bx(i,j)=sum(C0*dlXr_x./r3);%把環(huán)各段產(chǎn)生的磁場(chǎng)分量累加

By(i,j)=sum(C0*dlXr_y./r3);

end

end

2.2繪制磁場(chǎng)分布矢量圖：

空間任意一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算出來(lái)后，可以繪制磁場(chǎng)分布矢量圖，利用quiver命令繪出圖形：

%磁場(chǎng)分布矢量圖：

quiver(x,y,Bx,By);xlabel('x軸','FontSize',12')；ylabel('y軸','FontSize',12')；

title('圓環(huán)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)分布矢量圖','FontSize',16);%用quiver畫(huà)磁場(chǎng)矢量圖

text(-0.15,1.2,'fontsize{30}o');text(0,1,'fontsize{30}.');

text(-0.15,-1.1,'fontsize{30}o');text(-0.15,-1.1,'fontsize{22} imes');

2.3繪制軸線上磁場(chǎng)分布圖：

空間任意一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算出來(lái)后，同樣也可以繪制軸線上磁場(chǎng)分布圖，根據(jù)磁場(chǎng)分布的對(duì)稱(chēng)性可以得出軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度僅有Bx分量，By分量矢量和為零。利用plot命令繪出曲線：

%軸線上磁場(chǎng)分布：

plot(x,Bx)；xlabel('x軸','FontSize',12) ；ylabel('磁場(chǎng)x方向分量Bx','FontSize',12);

title('圓環(huán)電流軸線上的磁場(chǎng)分布圖','FontSize',16);%x軸線上Bx分布

2.4繪制與圓環(huán)平行的平面磁場(chǎng)分布圖：

空間任意一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算出來(lái)后，可以繪制與圓環(huán)平行的平面磁場(chǎng)分布圖，分別繪制距離載流圓環(huán)面距離為0,0.2,0.5,0.8,1.2,4(單位：m)處的磁場(chǎng)Bx分量，By分量分布圖。利用surfc命令繪出曲面圖：

%在與圓環(huán)平行的平面x=0,0.2,0.5,0.8,1.2,4上的磁場(chǎng)(包括Bx,By)分布

surfc(y,z,Bx)；xlabel('y軸','FontSize',12')；

ylabel('z軸','FontSize',12');zlabel('磁場(chǎng)x方向分量Bx');

title('圓環(huán)所在平面x=0上磁場(chǎng)x方向分量Bx分布圖','FontSize',16);

%y-z面上Bx分布

surfc(y,z,By)；xlabel('y軸','FontSize',12')；

ylabel('z軸','FontSize',12');zlabel('磁場(chǎng)y方向分量By');

title('圓環(huán)所在平面x=0上磁場(chǎng)y方向分量By分布圖','FontSize',16)；

%y-z面上By分布

2.5繪制與圓環(huán)垂直的平面磁場(chǎng)分布圖：

空間任意一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算出來(lái)后，同時(shí)也可以繪制與圓環(huán)垂直的平面磁場(chǎng)分布圖，即x-y平面上的磁場(chǎng)Bx分量，By分量分布圖。利用surfc命令繪出曲面圖：

subplot(1,2,1);

surfc(x,y,Bx);

xlabel('x軸','FontSize',12')；ylabel('y軸','FontSize',12');zlabel('磁場(chǎng)x方向分量Bx');

title('與圓環(huán)垂直z=0面上磁場(chǎng)x方向分量Bx分布三維圖','FontSize',12);

subplot(1,2,2);

plot(x,Bx);

xlabel('x軸','FontSize',12') ；ylabel('磁場(chǎng)x方向分量Bx');

title('與圓環(huán)垂直z=0面上磁場(chǎng)x方向分量Bx沿x方向分布圖','FontSize',12);

%x-y面上Bx分布

subplot(1,2,1);

surfc(x,y,By);

xlabel('x軸','FontSize',12')；ylabel('y軸','FontSize',12');zlabel('磁場(chǎng)y方向分量By');

title('與圓環(huán)垂直z=0面上磁場(chǎng)y方向分量By分布三維圖','FontSize',12)；

subplot(1,2,2);

plot(x,By);

xlabel('x軸','FontSize',12') ；ylabel('磁場(chǎng)y方向分量By');

title('與圓環(huán)垂直z=0面上磁場(chǎng)y方向分量By沿x方向分布圖','FontSize',12);

%x-y面上By分布

在程序%后面是程序的說(shuō)明部分，仿真程序編寫(xiě)完成后保存為zlyhcc.m。

3圓環(huán)電流產(chǎn)生磁場(chǎng)的仿真結(jié)果和分析

運(yùn)行zlyhcc.m仿真程序不同部分后，得到仿真結(jié)果如下所示。

3.1磁場(chǎng)矢量圖

分析：由圖2看出，圓環(huán)電流磁場(chǎng)分布符合右手螺旋定則，線圈附近磁感線密集，磁感應(yīng)強(qiáng)度大，而離線圈越遠(yuǎn)，磁感線稀疏，磁感應(yīng)強(qiáng)度變小。此外，該圖為過(guò)圓環(huán)中心與圓環(huán)面垂直的平面上磁場(chǎng)分布圖，該圖繞軸線旋轉(zhuǎn)即可得到磁場(chǎng)的空間分布圖形。

3.2圓環(huán)電流中心軸線上磁場(chǎng)分布

分析：由圖3看出，圓環(huán)電流軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度關(guān)于圓環(huán)所在平面對(duì)稱(chēng)，大小、方向均相同；而且軸線上圓環(huán)中心處磁感應(yīng)強(qiáng)度最強(qiáng)，隨距離圓環(huán)中線越遠(yuǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度越弱。

3.3與圓環(huán)平行的平面磁場(chǎng)分布

3.3.1與圓環(huán)平行的平面磁場(chǎng)Bx分布

分析：由圖4看出，圓環(huán)電流在與圓環(huán)面平行的面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bx分量。

與圓環(huán)面平行的面離圓環(huán)面距離很近時(shí)，圓環(huán)周?chē)鸥袘?yīng)強(qiáng)度大，大于中心軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度；而離圓環(huán)面距離稍遠(yuǎn)，大于圓環(huán)半徑時(shí)，與圓環(huán)面平行的面上中心軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，大于該面上其他任意位置處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，且隨著距離增大，磁感應(yīng)強(qiáng)度減小11-14]。

3.3.2與圓環(huán)平行的平面磁場(chǎng)By分布

分析：由圖5看出，圓環(huán)電流在與圓環(huán)面平行的面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度By分量：無(wú)論與圓環(huán)面平行的面距離圓環(huán)面遠(yuǎn)近，中心軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度都為0，其他位置磁感應(yīng)強(qiáng)度關(guān)于中心軸線成中心對(duì)稱(chēng)分布。

3.4與圓環(huán)垂直的平面磁場(chǎng)分布

分析：由圖6、圖7看出，圓環(huán)電流在與圓環(huán)面垂直的面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度：無(wú)論與圓環(huán)面平行的面距離圓環(huán)面遠(yuǎn)近，中心軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度By分量都為0，只有Bx分量，且隨著距離增大，磁感應(yīng)強(qiáng)度減??；越靠近圓環(huán)，磁感應(yīng)強(qiáng)度越大。

4總結(jié)

通過(guò)利用MATLAB軟件分段求和，計(jì)算載流圓環(huán)空間任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，繪制磁場(chǎng)分布矢量圖、中心軸線上磁場(chǎng)分布圖、與圓環(huán)面平行及垂直的面上磁場(chǎng)分布圖，不僅直觀反映了圓環(huán)電流在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)分布規(guī)律，而且可以通過(guò)設(shè)置圓環(huán)線圈匝數(shù)、電流、半徑等參數(shù)，定量計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度具體大小，這在實(shí)際工程應(yīng)用或者物理學(xué)研究教學(xué)方面都有十分重大的意義。

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Dynamic Simulation of Distribution ofMagnetic Filed about a Current-Carrying Coil Based on MATLAB

XU Sheng-nan，REN Xue-zhi，WEI Hao-jie，ZHAN Cai-yun，CHEN Wen-juan

(China University of Petroleum,Shandong Qingdao 266580)

Key words：Biot-Savart law；current-carrying coil；MATLAB；magnetic induction

Abstract：According to Biot-Savart Law,the integral representation of the magnetic field distribution of a current-carrying coil is derived.The computed results are given by using with MATLAB and the simulations of the vector graphy of magnetic field distribution,the graphs of magnetic field distribution on the central axis,in the surface which is parallel to the coli and the surface which is vertical to the coli are carried out.The three-dimensional distribution of the magnetic filed in the radial and axial direction is studied,which plays a guiding role in education and application of practical engineering.

收稿日期：2016-01-30

基金項(xiàng)目：中國(guó)石油大學(xué)(華東)教學(xué)研究與實(shí)踐項(xiàng)目(QN201531)；中國(guó)石油大學(xué)(華東)精品實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目(JS 201415)；中國(guó)石油大學(xué)(華東)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目

文章編號(hào)：1007-2934(2016)03-0096-07

中圖分類(lèi)號(hào)：TP 391.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.003.026