洪 磊 趙素芳 聶麗青南京工程學院汽車與軌道交通學院 江蘇南京 211167

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軌道車輛垂向振動的Matlab建模與仿真教學研究

洪 磊 趙素芳 聶麗青
南京工程學院汽車與軌道交通學院 江蘇南京 211167

摘 要：在城市軌道車輛工程課程的教學中，城軌車輛垂向振動問題的分析需建立并求解復雜的微分方程，給學生理解帶來較大困難，應用Matlab的可視化仿真工具Simulink建立二系簧車輪荷重系統(tǒng)垂向振動的仿真模型，在此基礎上對車體和轉向架的垂向自由振動規(guī)律進行了較詳細的仿真分析。結果表明，仿真結果與理論分析方法具有一致性，驗證了Matlab仿真方法在城軌車輛垂向振動教學中具有較好的應用價值。

關鍵詞：軌道車輛；垂向振動；Matlab/Simulink；二系簧；車輪荷重系統(tǒng)

隨著我國城市軌道交通的不斷興建，社會對城市軌道交通車輛專業(yè)人才的需求也在不斷增加。近年來，南京工程學院以培養(yǎng)高素質工程技術應用型人才為導向，在車輛工程學科下開設了城市軌道車輛專業(yè)，教學內容緊密結合城市軌道車輛產業(yè)現(xiàn)狀，形成了具有一定特色的專業(yè)發(fā)展方向。城市軌道車輛工程課程是城市軌道車輛專業(yè)方向的一門專業(yè)必修課，開設于大三上學期，教學目標是使學生掌握城市軌道車輛的基本特征、結構原理和總體設計方法，為學生學習本專業(yè)后續(xù)課程打下基礎。由于該課程貼合實際，因而學生在學習中表現(xiàn)出濃厚的興趣。然而，學生普遍反映該課程中數(shù)學推導公式較多，而教材的分析過程過于抽象，理解困難，其中尤以城軌車輛垂向振動分析一章為最。

城軌車輛的垂向振動分析是城市軌道車輛工程課程教學的一個重點[1]，然而城軌車輛垂向振動問題的分析需建立并求解復雜的微分方程，給教學帶來了諸多不便。教學中涉及微分方程的解算，不僅枯燥且耗費大量的時間，其結果的分析較為抽象，學生理解也比較困難，因此，形象直觀地進行教學，激發(fā)學生的學習興趣和學習的主動性，提高教學質量，將計算機仿真技術引入教學中是一種比較理想的方法。以二系簧車輪荷重系統(tǒng)的垂向振動規(guī)律為教學研究對象，應用Matlab的可視化仿真工具Simulink建立二系簧車輪荷重系統(tǒng)的仿真模型，并且對仿真結果進行分析，使學生更易于理解和掌握。

1 Matlab/Simulink簡介

Matlab/Simulink是由美國Mathworks公司推出的基于框圖的動態(tài)系統(tǒng)建模與仿真平臺，Simulink是Matlab最重要的組件之一，它以Matlab的強大計算功能為基礎，以直觀的模塊框圖進行仿真和計算[2]。Simulink提供了各種仿真工具，尤其是其內容豐富的模塊庫，為復雜系統(tǒng)的構造與仿真分析帶來了極大的便利。在Simulink環(huán)境下可利用基本模塊庫和數(shù)學模塊庫對城軌車輛振動系統(tǒng)進行仿真[3,4]，從而為振動規(guī)律的教學和研究提供強有力的仿真環(huán)境。

2 二系簧車輪荷重系統(tǒng)的垂向振動仿真

為了揭示城軌車輛垂向振動的規(guī)律，可以將整個城軌車輛系統(tǒng)簡化為由若干質量和彈簧減振元件等組成、由無質量的輪對(或車輪)支承著沿軌道運行的振動系統(tǒng)，即車輪荷重系統(tǒng)[1]。其中，只有2個質量(車體和轉向架)和2個彈簧減振元件(一系彈簧和二系彈簧)構成的振動模型稱為二系簧車輪荷重系統(tǒng)，它的振動形態(tài)能在很大程度上反映城軌車輛振動的一般性規(guī)律。對二系簧問題的深入講解，既便于學生入門和理解，也為后續(xù)整個車輛系統(tǒng)振動規(guī)律的教學奠定了基礎。

2.1 二系簧車輪荷重系統(tǒng)動力學模型

軌道車輛二系簧車輪荷重系統(tǒng)垂向振動的動力學模型如圖1所示，該模型用一個無質量的輪對代表城軌車輛各輪對在軌道上的運行特點，轉向架和車體各簡化為一個質量塊，轉向架和車體的總質量分別為M1和M2。輪對與轉向架之間、轉向架與車體之間分別簡化為一系彈簧和二系彈簧，一系與二系彈簧的剛度分別為k1和k2，本文著重討論轉向架與車體的固有振動特性，故模型不考慮減振元件。

圖1 二系簧車輪荷重系統(tǒng)垂向動力學模型

在圖1中，z1和z2分別表示轉向架和車體偏離各自平衡位置的位移，z1′′和z2′′分別為各自的運動加速度。根據(jù)牛頓第二定律，可以得到車體與轉向架的運動方程分別為：

由式(1)和(2)可得系統(tǒng)特征方程為：

對特征方程進行求解，可以得到兩個特征解：

式中，w1和w2分別表示系統(tǒng)的低頻振動頻率和高頻振動的頻率。

設第1系彈簧的靜撓度為f1，第2系彈簧的靜撓度為f2，這兩系彈簧總的靜撓度為f。由于車體質量M2遠遠大于轉向架質量M1，故可近似得到：

車體和轉向架在垂直方向上的沉浮自由振動形式均是由低頻振動、高頻振動這兩種振動形式所組成的，所以，它們的沉浮自由振動也是由高低兩種不同的振動頻率的振動形式所疊加而成，有：

式中，A1,A2分別表示轉向架垂向自由振動低頻振動波和高頻振動波的振幅；B1,B2分別表示車體垂向自由振動低頻振動波和高頻振動波的振幅。

轉向架和車體之間的振幅比分別為A1/B1和A2/B2，兩者都是常數(shù)，是由系統(tǒng)原本參數(shù)來確定的，與系統(tǒng)振幅的絕對值沒有關系。

2.2 Simulink仿真模型

2.1節(jié)通過理論分析方法得出了軌道車輛二系簧車輪荷重系統(tǒng)垂向振動的一般規(guī)律，給出了車體和轉向架運動方程、系統(tǒng)二階固有頻率、振動形式和振幅比特性的理論描述。但上述分析涉及微積分和線性代數(shù)理論，解算過程復雜，特別是振幅比特性描述更為抽象，給學生的理解造成很大困難，為此，由系統(tǒng)運動方程式(1)和(2)出發(fā),利用Matlab/ Simulink建立二系簧車輪荷重系統(tǒng)的垂向振動的仿真模型，如圖2所示，示波器Scope1和2分別顯示轉向架和車體振動位移波形，由此可直觀地對系統(tǒng)振動特性進行分析。

圖2 二系簧車輪荷重系統(tǒng)垂向振動Simulink仿真模型

2.3 參數(shù)設置與仿真分析

根據(jù)我國鐵路客車運行的實際情況[5,6]，在圖2振動仿真模型中，設置各項參數(shù)如下：轉向架質量M1=4.5t ，車體質量M2=45t，兩系彈簧總的靜撓度為f =170mm，取第2系彈簧懸掛和第1系彈簧懸掛兩者靜撓度的比值為f2/ f1=64/36，由此算得第一系彈簧和第二系彈簧的靜撓度分別為f1=61.2mm 、f2=108.8mm ，進一步算得k1=7.935× 103N/ mm ，k2=4.057× 103N/ mm 。由公式(5)可算得系統(tǒng)的固有頻率分別為w1=7.59rad/s,w2=52.49rad/s。

將系統(tǒng)仿真的時間設為2s，仿真步長設為0.02。設轉向架與車體初始速度和加速度均為0。并按如下三種方式設置位移初始條件，分別為：

(a)轉向架z1= 30 mm ，車體z2=? 1.5 mm ；

(b)轉向架z1= 20 mm ，車體z2=? 1 mm ；

(c)轉向架z1=? 10 mm ，車體z2= 0.5 mm 。

圖3 轉向架與車體三組仿真實驗垂向振動位移波形圖

三種初始條件下的轉向架與車體振動波形圖如圖3所示，將上述波形對應的數(shù)據(jù)分別導入Matlab的cftool擬合工具箱進行曲線擬合[7]，擬合曲線類型設為式(6)所示的正弦函數(shù)和形式，擬合方法采用默認的Trust-Region算法[8]，由此可得到三組仿真實驗的擬合結果，見表1。

根據(jù)表1的擬合結果，可以得出如下分析結論：

(1)轉向架和車體的振動由低頻和高頻兩種振型組成，固有振動頻率相同且不受初始條件影響，低頻頻率w1=7.557 rad/s，高頻頻率w2=52.77 rad/s，與理論計算結果基本相同。

(2)轉向架和車體之間的振幅比近似為常數(shù)，與系統(tǒng)振幅無關，三組實驗的結果非常接近，求其均值可得本系統(tǒng)的低頻振幅比為0.6765，高頻振幅比為14.7876，與理論分析相符。

(3)由相位關系可見，低頻振動時轉向架和車體的位移方向相同，高頻振動時轉向架和車體的位移方向相反，且不隨初始條件而改變，這也與理論分析結果相一致。

3 結束語

在城市軌道車輛工程課程的教學過程中，為了深入講解車體和轉向架的垂向振動分析問題，應用Matlab/Simulink建立了二系簧車輪荷重系統(tǒng)的垂向振動仿真模型，通過波形顯示和擬合分析，使學生直觀快捷地理解了軌道車輛二系簧系統(tǒng)的固有振動規(guī)律。經過教學實踐得出如下幾點體會：第一， Malab/ Simulink突破了微分方程推導和求解的困難，仿真框圖簡單直觀，其結果與理論分析結論完全相符，提高了課程教學的生動性，增強了學生的學習興趣；第二，讓學生掌握了Matlab/Simulink仿真工具的使用，認識到它在實際應用中的作用，有利于舉一反三，進一步應用于課程其他內容的分析；第三，專業(yè)知識和軟件技術的結合，很大程度上提高了教師和學生的綜合專業(yè)能力。綜上所述，Matlab/Simulink作為現(xiàn)代教育技術的一種手段具有較好的推廣價值。

參考文獻

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[8] 王國強.機械優(yōu)化設計[M].北京:機械工業(yè)出版社,2009.

The Teaching Research on Matlab Modeling and Simulation of Vertical Vibration for Rail Vehicle

Hong Lei, Zhao Sufang, Nie Liqing
School of Automotive and Rail Transit, Nanjing Institute of Technology, Nanjing, 211167, China

Abstract:In the course of urban rail vehicle engineering teaching, it is needed to establish and resolve complex differential equation to analysis on urban rail vehicle vertical vibration, which brings much difficulties to students’ understanding, In this paper, it is used of Matlab and its visualization and simulation tools Simulink to establish the wheel load system simulation model with two series springs, and the vertical vibration rules of rail vehicle body and bogie are carried out on the basis of the detailed simulation analysis. The results show that the simulation waveforms are consistent with the results of the theoretical analysis method, verify that the Matlab simulation method has good application value on teaching of urban rail vehicle engineering.

Key words:rail vehicle; vertical vibration; Matlab/Simulink; two series springs; wheel load system

收稿日期：2015-10-23

作者簡介：洪磊 ，博士，講師。

基金項目：南京工程學院科研基金項目“城市軌道車輛重要部件安全性分析與故障診斷”(編號：YKJ201333)。