張晉芳， 楊　晉， 任艷萍

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

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關(guān)于四元數(shù)體上某類矩陣方程的極小范數(shù)最小二乘解

張晉芳， 楊晉， 任艷萍

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

摘要:對(duì)四元數(shù)體上某類自共軛矩陣方程， 在兩兩可交換的前提下， 研究了矩陣方程的極小 Frobenius 范數(shù)最小二乘解. 同時(shí)， 在有解條件下給出了通解的表達(dá)形式．利用四元數(shù)體上自共軛矩陣奇異值分解的充分必要條件， 運(yùn)用四元數(shù)體上 Frobenius 范數(shù)正交矩陣乘積不變性， 討論了某類矩陣方程的最小二乘解， 給出了極小 Frobenius 范數(shù)最小二乘解及其通解的表達(dá)形式， 進(jìn)而推廣到了更為一般的矩陣方程.

關(guān)鍵詞:四元數(shù)體； 矩陣方程； 奇異值分解； 最小二乘解； 極小范數(shù)

0引言

近 40 多年來， 矩陣方程的研究方興未艾， 對(duì)它們的研究除了在理論上有重要意義外， 還對(duì)力學(xué)、 控制論、 理論物理、 理論電工技術(shù)、 遙感技術(shù)等各種領(lǐng)域有重要作用．考慮到四元數(shù)和四元數(shù)矩陣的廣泛應(yīng)用， 對(duì)四元數(shù)矩陣方程理論及數(shù)值計(jì)算的研究就顯得尤為重要， 其中四元數(shù)矩陣的奇異值分解是核心內(nèi)容. 如文獻(xiàn)[1]給出了四元數(shù)矩陣上的奇異值分解. 文獻(xiàn)[2-6]利用四元數(shù)矩陣的奇異值分解得到了一些結(jié)論.

1預(yù)備知識(shí)

用 Ω 表示四元數(shù)體； Ωm×n表示全體m×n四元數(shù)矩陣的集合； Sn(Ω) 表示四元數(shù)體 Ω 上全體 n×n 自共軛矩陣的集合； SSn(Ω) 表示四元數(shù)體 Ω 上全體 n×n 反自共軛矩陣的集合； UΩn×n表示四元數(shù)酉矩陣的集合； ‖·‖ 表示矩陣的 Frobenius 范數(shù)， 且這里的“范數(shù)”指的是矩陣 Frobenius 范數(shù).

文獻(xiàn)[7-9] 研究了各類矩陣方程的極小范數(shù)最小二乘解， 文獻(xiàn)[6]利用四元數(shù)矩陣的奇異值分解得到了 AX+XB+CXD=F 的極小范數(shù)最小二乘解， 及其有解條件下的 Hermite 最小二乘解與其通解的表達(dá)形式. 作為對(duì)該方程形式的拓廣旨在解決下面問題.

問題 1

問題 2

求 X0為矩陣方程

AXB+CXD+FX=H

的極小 Frobenius 范數(shù)最小二乘解.

問題 3

2引理及其主要結(jié)論

引理[10]Ai∈SCn(Ω)(i=1,2,…,t)， 則存在 U∈UΩn×n將 UAiU*同時(shí)化為實(shí)對(duì)角矩陣的充分必要條件為 ApAq=AqAp(p,q=1,2,…,t).

證明由引理可知， 存在 U∈UΩn×n， 使得

式中： ai， bi， ci， di, ei(i=1,2,…,n) 分別是 A， B， C， D， E 的全部特征值. 于是

‖AXB+CXD+XE-H‖2=

證明由于 ‖AH‖=‖A‖， 本質(zhì)上問題2 和問題1是一樣的， 所以由定理 1 直接可以得出定理2的結(jié)果.

證明由引理可知， 存在 U∈UΩn×n， 使得

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The Minimum Norm and Least Square Solution to a Class of Matrix Equations in the Quaternion Field

ZHANG Jin-fang, YANG Jin， REN Yan-ping

(School of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

Key words:quaternion field; matrix equation; singular value decomposition; the least square solution; the minimum norm

Abstract:For certain types self-conjugate matrix equation on quaternion field, we studied the minimal Frobenius norm least square solution of matrix equation under the premise of exchangeable, and gave the solution of general solution form under the condition of the solvability. By using sufficient and necessary conditions of the self-conjugate matrix singular value decomposition on quaternions, and invariance of Frobenius norm of orthogonal matrix product on quaternion, we discussed the least-square solutions of a kind of matrix equation, and give the expression of general solution form of the minimal Frobenius norm least squares solution, and extend to the more general matix equation in further.

文章編號(hào):1673-3193(2016)03-0225-04

收稿日期:2015-10-30

作者簡(jiǎn)介：張晉芳(1989-)， 女， 碩士生， 主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)等研究.

中圖分類號(hào):O151.21

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2016.03.004