包志強(qiáng), 馬　艷, 盧光躍

(西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710121)

基于施密特正交變換的快速盲頻譜感知算法

包志強(qiáng), 馬艷, 盧光躍

(西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710121)

摘要:為了解決噪聲不確定環(huán)境下的盲頻譜感知問題，提出一種基于接收信號格拉姆-施密特正交變換的快速盲頻譜感知算法(Blind sensing method based on the Gram-Schmidt Orthogonalization, BS-GSO)。先通過多天線接收獲得的采樣矩陣來構(gòu)造統(tǒng)計協(xié)方差矩陣，利用似然比準(zhǔn)則和施密特正交變換構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量并獲得判決表達(dá)式，再應(yīng)用中心極限定理和泰勒展開式推導(dǎo)出非漸進(jìn)的判決門限。蒙特卡洛實驗仿真結(jié)果表明，BS-GSO算法有效、穩(wěn)健，且計算復(fù)雜度較低。

關(guān)鍵詞:認(rèn)知無線電；盲頻譜感知；格拉姆-施密特正交變換

無線通信中的認(rèn)知無線電(Cognitiveradio,CR)[1]已經(jīng)成為提高頻譜利用率的一種新興技術(shù)。在CR網(wǎng)絡(luò)中，次級用戶(secondaryusers,SUs)不斷感知頻譜環(huán)境，在目標(biāo)頻帶中可靠地檢測出微弱的主用戶信號，并調(diào)整傳輸參數(shù)(例如發(fā)射功率，調(diào)制和編碼方案，載波頻率等)伺機(jī)使用可用的頻譜資源。非盲頻譜感知方法一般要求知道噪聲功率，主用戶(PrimaryUser,PU)信號波形或者特征等知識。通常的頻譜感知方法需要預(yù)先設(shè)定一個門限，門限的選取會影響算法的有效性和穩(wěn)健性。

實際系統(tǒng)很難預(yù)先獲得關(guān)于信號或噪聲的知識，學(xué)者們提出了基于接收信號協(xié)方差矩陣特征值分解(Eigen-ValueDecomposition,EVD)[2]的盲頻譜感知方法，例如：最大最小特征值算法(maximumminimumeigen-value,MME)[3]，最大特征值之跡法(maximumeigen-valuetrace,MET)[4]，信息論法[5]，最大最小特征值差分法(differenceofmaximumminimumeigen-value,DMM)[6]等。當(dāng)檢測信號高度相關(guān)時，這類算法可以在盲檢測條件下達(dá)到較好的檢測性能。但是，基于EVD的算法卻有兩個缺點：這類算法應(yīng)用隨機(jī)矩陣?yán)碚?randommatrixtheory,RMT)[7]來近似統(tǒng)計量的實際累積分布函數(shù)(cumulativedistributionfunction,CDF)，使得判決門限為漸進(jìn)表達(dá)式，當(dāng)樣本數(shù)較少時，算法的性能會受到一定的影響；這類算法需要進(jìn)行特征分解，具有較大的計算復(fù)雜度。

為了解決這些問題，學(xué)者們又提出了基于協(xié)方差矩陣的盲頻譜感知算法。其中，協(xié)方差絕對值法(covarianceabsolutevalue,CAV)[8]只采用協(xié)方差矩陣元素建立檢驗統(tǒng)計量。它雖然降低了計算復(fù)雜度但其判決門限仍然為為漸進(jìn)表達(dá)式，與基于EVD的算法具有相同的問題；而對于協(xié)方差Clolesky分解法(Cloleskydecompositionofcovariance,CDC)[9]雖然給出了準(zhǔn)確的非漸進(jìn)判決門限，但是它需要進(jìn)行樣本協(xié)方差矩陣的Clolesky因式分解，增加了計算復(fù)雜度。

文獻(xiàn)[10]是利用多級維納分解得到特征值的估計，然后基于所估計的特征值建立檢驗統(tǒng)計量，在一定程度上降低了運算的復(fù)雜度，但是判決門限仍是漸進(jìn)的。文獻(xiàn)[11]提出過一種基于線性空間頻譜(spatialspectrum,SS)的頻譜感知算法，通過分析接收信號的空間頻譜，將峰值與平均振幅的比值(peaktoaverageamplituderatio,PAAR)作為檢驗統(tǒng)計量來進(jìn)行頻譜感知，檢驗門限僅僅通過統(tǒng)計的方法來得到。仿真和分析的結(jié)果均顯示，以上兩種算法都具有良好的感知性能并且可以有效的克服噪聲不確定性的影響。

本文擬提出一種基于格拉姆-施密特正交變換的快速盲頻譜感知算法，在認(rèn)知用戶接收端采用多天線接收的，利用中心極限定理和泰勒展開式來推導(dǎo)得到一個非漸進(jìn)的判決門限，并使用仿真實驗來驗證算法是有效的和穩(wěn)健的。

1信號模型

多天線技術(shù)因其能夠提高系統(tǒng)性能而廣泛應(yīng)用于無線通信。本文也采用多天線來感知PU信號。

假設(shè)在CR接收端采用M維均勻線陣來采樣接收信號，陣列輸出為

X(k)=[x1(k),x2(k),…,xM(k)]T=

A(θ)S(k)+N(k)=

其中,p表示PU信號數(shù)量，A(θ)是方向向量矩陣且

A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θp)],

矩陣內(nèi)的元素可展開為

式中θl表示PU信號的方向，d表示陣列間距，λ表示信號波長。信號向量

S(k)=[s1(k),s2(k),…,sp(k)]T,

噪聲向量

N(k)=n1(k),n2(k),…,nM(k)]T。

N表示快拍點數(shù)。

假設(shè)檢驗問題可以表示為

(1)

其中，H0代表PU信號不存在，H1代表PU信號存在。

輸出協(xié)方差矩陣為

RXX=E[X(k)XH(k)]=

A(θ)RSSAH(θ)+RNN。

式中

RSS=E[S(k)SH(k)],

RNN=E[N(k)NH(k)],

2BS-GSO算法

在單變量統(tǒng)計分析中，假設(shè)隨機(jī)變量是相互獨立的且方差相同。BS-GSO算法則將協(xié)方差矩陣RXX作為樣本檢驗矩陣，需要使用多元統(tǒng)計分析方法，則式(1)可重寫為

式中，Σ可表示為

無主用戶存在時，對于協(xié)方差矩陣Σ存在兩種假設(shè)。假設(shè)H1：接收信號X中的元素相互獨立，即Σ為對角矩陣；假設(shè)H2：接收信號X中的元素相互獨立且方差相同，即Σ為對角元素相同的對角矩陣。實際對于Σ的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)H應(yīng)為假設(shè)H1和假設(shè)H2的組合。

在假設(shè)H0下,向量x1(k),x2(k),…,xM(k)的分布是相互獨立的，即X的概率密度函數(shù)由x1(k),x2(k),…,xM(k)的概率密度函數(shù)聯(lián)合構(gòu)成，為

(2)

而對于Σ，當(dāng)x1(k),x2(k),…,xM(k)是獨立變量時，則有

Σij=0 (i≠j)。

反之，如果Σij=0(i≠j)成立,則式(2)成立。因此，假設(shè)H0相當(dāng)于假設(shè)H1：Σij=0(i≠j)。換言之，假設(shè)H1可以重改成Σ1的形式：

給定X的N個樣本觀測值，似然比準(zhǔn)則為[12]

式中，L(μ,Σ)為

并且當(dāng)Σij=0(i≠j)時，L(μ,Σ0)=L(μ,Σ)。由文獻(xiàn)[12]的引理3.2.2推出，似然函數(shù)的最大值為

其中

顯然可得

因此，似然比準(zhǔn)則為

根據(jù)假設(shè)H1的似然比準(zhǔn)則分析，很容易得到假設(shè)H2的似然比準(zhǔn)則為

式中Σ2是對角矩陣且對角元素相等。

根據(jù)文獻(xiàn)[12]的引理10.3.1, 對于假設(shè)H的似然比準(zhǔn)則為

為表述方便，令

(3)

λ≤λ(p) ? T≤T(p)。

僅僅采用了正交化的樣本向量，可以避免協(xié)方差矩陣及其行列式的計算，算法的計算復(fù)雜度會明顯降低。

M維樣本向量[x1(k),x2(k),…,xM(k)]通過施密特正交化變?yōu)镸維正交向量[v1(k),v2(k),…,vM(k)]，對樣本向量做正交化處理是為了去除樣本向量的相干性。當(dāng)PU存在并且所有的SUs已經(jīng)接收到了PU信號，則SUs的樣本向量是相關(guān)的；否則，SUs的樣本向量是相互獨立的。

令v1=x1，則第i個正交向量可以表示成

(4)

通過施密特正交變換可得到協(xié)方差矩陣的行列式

協(xié)方差矩陣的跡為

其中 ‖·‖是向量的二范數(shù)。應(yīng)用這兩個參量，式(3)的檢驗統(tǒng)計量可以表示為

(5)

其中γ是算法的判決門限。

在信號與噪聲都存在的情況下(H1), 假設(shè)只有一個主用戶信號(p=1)并且次級用戶接收到的信號含有加性高斯白噪聲。根據(jù)信號模型可以得到

并且

因此Tg可重寫為

從Tg的表達(dá)式可見,BS-GSO算法的主要思想是找到SUs的接收信號之間的相關(guān)性。當(dāng)主用戶信號不存在時，BS-GSO算法的檢驗統(tǒng)計量的值接近于0；當(dāng)主用戶信號存在時，BS-GSO算法的檢驗統(tǒng)計量的值為正數(shù),其值的變化取決于信噪比。

3理論分析和門限設(shè)定

BS-GSO算法只采用接收信號的樣本向量來推導(dǎo)設(shè)計檢驗統(tǒng)計量，并不需要任何信號和噪聲功率的信息。在SNR較低的情況下，BS-GSO算法的感知性能比較容易受判決門限的影響。在完全盲感知的條件下，無法由檢測概率(Pd)來設(shè)置判決門限。因此，通常通過虛警概率(Pfα)來設(shè)置判決門限。為了推導(dǎo)判決門限,必須首先知道H0情況下檢驗統(tǒng)計量的分布情況。

根據(jù)引理1，給定

(6)

式(6)中，若干卡方分布連乘的分布很難確定，但利用邏輯運算和中心極限定理，可以得到檢驗統(tǒng)計量Tg近似服從M維的高斯分布。則有

lnui的分布可以通過在x=μ=E[x]處的二階泰勒展開式得到。令h(x)=lnx，則有

h(x)=lnμ +h′(μ)(x-μ)+

(7)

則lnx的均值和方差分別為

E[lnx]=E[h(x)]≈

(8)

D[lnx]≈E[lnμ +h′(μ)(x-μ)+

[h′(μ)]2E[(x-μ)2]+

h′(μ)h″(μ)E[(x-μ)3]+

(9)

E[ui]=N-i+1,

D[ui]=2(N-i+1),

(E[ui]+2(k-2))×…×E[ui]。

(10)

將式(10)代入式(9)，可以得到lnui的均值和方差。因此檢驗統(tǒng)計量Tg的均值和方差可以確定為

E[Tg]≈MlnN -

式中β是修正因子，統(tǒng)計實驗中通常將β值選定為2。β參量為定值，它與采樣點數(shù)、信道、噪聲功率和SNR無關(guān)。

根據(jù)以上分析，可以通過預(yù)先設(shè)定的虛警概率推導(dǎo)出BS-GSO算法的判決門限

Pfα=Pr(Tg>γ)=Q(γ),

γ=Q-1(Pfα)。

(11)

其中

(12)

是正態(tài)高斯分布的右尾概率，其參數(shù)為μ=E[Tg]和σ2=D[Tg]。

由式(7),式(8),式(11)和式(12)可見，判決門限與噪聲功率和信號的信息無關(guān)，因此，BS-GSO算法屬于盲頻譜感知算法并且對于噪聲不確定性而言是穩(wěn)健的。

BS-GSO算法的計算復(fù)雜度主要取決于施密特正交變換的計算，相當(dāng)于計算N2M(M+1)/2點協(xié)方差矩陣。CDC方法需要計算M3/3點Clolesky分解和N2M(M+1)/2點協(xié)方差矩陣。然而，基于EVD的算法卻需要進(jìn)行4M3點的運算(僅計算特征值)。例如，給定M=8，與CAV和BS-GSO算法相比，基于EVD的算法需要2048點額外的計算復(fù)雜度，CDC算法需要512/3點額外的計算復(fù)雜度。因此，BS-GSO算法的計算復(fù)雜度明顯較低。表1給出了這些算法對應(yīng)的計算復(fù)雜度。

表1　計算復(fù)雜度的對比

4仿真結(jié)果

BS-GSO算法的性能仿真圖通過基于QPSK信號的100 000次蒙特卡洛模擬實驗得到。仿真采用均勻線陣，間距為半波長。仿真中，SNR定義為

(a) N=40，M=8

(b) N=1 024，M=16

圖2為BS-GSO算法，CAV算法,CDC算法和MME算法的性能對比圖。實驗設(shè)定Pfα=10-2。圖2(a)選取N=1 000, M=16，圖2(b)選取N=40, M=16，圖2(c)選取N=40, M=8。

圖2中實線代表檢測概率，虛線代表虛警概率。圖2(a)和圖2(b)反映的是在樣本數(shù)不同時算法的性能對比情況。顯然，樣本數(shù)較多時，在低信噪比下，BS-GSO,CDC和MME算法的性能較好且MME算法的檢測性能最好。但是，MME算法由于其判決門限對于樣本點數(shù)和維數(shù)是漸進(jìn)的，因此在樣本數(shù)較小時，其檢測性能會降低。由于判決門限不精確，CAV算法的性能是最差的。綜合樣本數(shù)較大和樣本數(shù)較小的兩種情況，BS-GSO算法的性能比CDC算法稍好。

CAV算法的實際Pfα太小,沒有在圖2中顯示出來。在虛警概率方面，MME算法的實際Pfα?xí)S快拍數(shù)和陣列數(shù)改變，而BS-GSO算法和CDC算法的實際Pfα在不同參數(shù)下幾乎不變。BS-GSO算法的實際Pfα比預(yù)定的Pfα略大，但是階數(shù)仍為10-2。通過以上分析可知，BS-GSO算法和CDC算法的判決門限是穩(wěn)健的且檢測結(jié)果是有效的。

(a) Pfα=10-2, N=1 000, M=16

(b) Pfα=10-2, N=40, M=16

(c) Pfα=10-2, N=40, M=8

為了評估BS-GSO算法的穩(wěn)健性，圖3給出了不同噪聲不確定性參數(shù)下的檢測概率，其中a分別取0dB和2dB。假設(shè)估計噪聲功率在一段時間間隔[σ2/A,Aσ2]內(nèi)是均勻分布的，即噪聲不確定性為α=10log10AdB。仿真設(shè)定

Pfα=10-2, N=40，M=8。

圖3　噪聲不確定條件下BS-GSO檢測性能的穩(wěn)健性

從圖3可見，BS-GSO算法的Pd不受噪聲不確定性的影響。由此可知，BS-GSO算法對于噪聲不確定性是穩(wěn)健的。

5結(jié)語

在認(rèn)知用戶接收端采用多天線接收的方式下，基于接收信號格拉姆-施密特正交變換的快速盲頻譜感知算法(BS-GSO)通過施密特正交化以及似然比檢驗給出了檢驗統(tǒng)計量的判決表達(dá)式，并根據(jù)中心極限定理和泰勒展開式得到了非漸進(jìn)的判決門限。通過理論分析和仿真實驗充分證明了BS-GSO算法在噪聲不確定感知條件下具有穩(wěn)健性和有效性。

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[責(zé)任編輯:陳文學(xué)]

FastandblindspectrumsensingmethodbasedonGram-Schmidtorthogonalization

BAOZhiqiang,MAYan,LUGuangyue

(SchoolofCommunicationandInformationEngineering,Xi’anUniversityofPostsandTelecommunications,Xi’an710121,China)

Abstract:In order to solve the problem of blind spectrum sensing under noise uncertainty environment, a fast and blind sensing method based on the Gram-Schmidt orthogonalization (BS-GSO) of the received signals is proposed. Firstly, get the sample matrix from the multiple antennas at the receiver, and construct the statistical covariance matrix. Secondly, on the basis of likelihood ratio criterion and Schmidt orthogonalization, try to construct test statistics and obtain non-asymptotic expression. Thirdly, derive the decision threshold according to the central-limit theorem and Taylor expansion. The results of a Monte Carlo simulation experiment show that, the proposed method is of effectiveness, robustness, and low computational complexity.

Keywords:cognitive radio, blind spectrum sensing, Gram-Schmidt orthogonalization

doi:10.13682/j.issn.2095-6533.2016.02.004

收稿日期：2016-01-13

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(61271276)；陜西省自然科學(xué)基金資助項目(2012JQ8011)

作者簡介：包志強(qiáng)(1978-)，男，博士，副教授，從數(shù)字信號處理，陣列信號處理研究。E-mail：baozhiqiang@xupt.edu.cn 馬艷(1990-),女，碩士研究生，研究方向為信息處理技術(shù)及應(yīng)用。E-mail:785657854@qq.com

中圖分類號：TN92

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2095-6533(2016)02-0020-07