王　鵬，吳玉蓮

(1.中航工業(yè)西安航空計(jì)算技術(shù)研究所 13室，陜西 西安 710065；2.西安醫(yī)學(xué)院 衛(wèi)生管理系，陜西 西安 710021)

基于剪切波的變分圖像放大方法

王鵬1，吳玉蓮2

(1.中航工業(yè)西安航空計(jì)算技術(shù)研究所 13室，陜西 西安 710065；2.西安醫(yī)學(xué)院 衛(wèi)生管理系，陜西 西安 710021)

摘要針對(duì)圖像放大的Chambolle 變分模型會(huì)出現(xiàn)階梯效應(yīng)的現(xiàn)象， 文中提出了一種基于Shearlet光滑分解空間的變分模型。利用有界變差空間和Shearlet分解空間的關(guān)系，特別是Shearlet分解空間的半范與加權(quán)Shearlet系數(shù)之間的等價(jià)關(guān)系,將所求的變分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基于Shearlet域的變分問(wèn)題,其解歸結(jié)于簡(jiǎn)單的Shearlet閾值。實(shí)驗(yàn)仿真表明，該方法放大后的圖像有效地消除了階梯塊效應(yīng)，保持了更多的細(xì)節(jié)，具有更高的峰值信噪比。

關(guān)鍵詞圖像放大；剪切波; 變分模型；分解空間

1基礎(chǔ)知識(shí)

1.1Shearlet變換

剪切波可利用仿射系統(tǒng)理論將幾何和多尺度分析結(jié)合起來(lái)的方法構(gòu)造。當(dāng)維數(shù)n=2時(shí)，具有合成膨脹的仿射系統(tǒng)為

SAB(ψ)={ψj,l,k(x)=|detA|j/2ψ(BlAj-k):

j,l∈Z,k∈Z2}

(1)

其中,ψ∈L2(R2),A和B是2×2可逆矩陣,|detB|=1。若SAB(ψ)具有緊框架,則SAB(ψ)的元素成為合成小波。其中Aj與尺度相關(guān)聯(lián),Bl與保持面積不變的幾何相關(guān)聯(lián)

1.2Chambolle圖像放大模型

若討論的圖像是M×N的二維矩陣,X表示空間CM×N,Z是X的一個(gè)子空間,g∈Z表示一幅粗糙的低分辨圖像。比如,當(dāng)放大2倍數(shù)時(shí),Z表示為

Z={g∈X|g2k,2l=g2k-1,2l=g2k,2l-1=g2k-1,2l-1,

k≤M/2,l≤N/2}

Chambolle[4]的圖像放大模型為

(2)

其中，u是放大后的圖像；A是在空間Z上的正交投影。顯然有Ag=g且

(3)

因此，Chambolle圖像放大模型變?yōu)?/p>

(4)

針對(duì)上述最小值問(wèn)題，Chambolle給出了一種求解的迭代算法,該方法盡管能得到較好的圖像放大效果；但由于此方法是基于TV的方法，所以最后處理結(jié)果有階梯塊效應(yīng)，并不能保持更多的細(xì)節(jié)信息。為克服這些缺點(diǎn)本文提出基于變分Shearlet的圖像放大模型。

2基于剪切波的變分圖像放大算法

(5)

(6)

(7)

該問(wèn)題等價(jià)于最小化下列泛函

(8)

根據(jù)等價(jià)關(guān)系(6)，有

其中，uγ,gγ,wγ分別表示函數(shù)的Sheartlet系數(shù)，從而得到下列Sheartlet域的等價(jià)變分序列

(9)

式中，Λ表示全體的Sheartlet系數(shù)指標(biāo)集。

求解最小化模型(9)相當(dāng)于求解以下兩個(gè)耦合問(wèn)題：

(1)假設(shè)wγ固定 , 求泛函求(9)關(guān)于uγ的最小解相當(dāng)于求解

(10)

的解為

uγ=T2-j/4λ(gγ+wγ)

(11)

其中，T1/λ(β)=sign(β)(|β|-1/λ)為軟閾值算子;

(2)假設(shè)uγ固定 , 求泛函式(11)關(guān)于wγ的最小解相當(dāng)于求解

(12)

的解為wγ=TL(uγ-gγ) ,其中TL表示把函數(shù)的Sheartlet系數(shù)的低頻部分閾值為零。

綜上可知泛函(9)最小化問(wèn)題的解可用以下迭代方法得到，其算法為：

(1) 初始化(wγ)0=0；

(2)迭代 (uγ)n=T2-j/4λ(gγ+(wγ)n-1)，(wγ)n=TL((uγ)n-gγ);

假設(shè)ε是一個(gè)事先給定的小的正數(shù)，若滿(mǎn)足條件max(|un+1-un|)≤ε就停止迭代。

3仿真實(shí)驗(yàn)

下面給出幾種不同方法應(yīng)用于不含噪聲和帶有噪聲圖像的放大比較。先將原圖下采樣縮小一定的倍數(shù)作為實(shí)際獲取的圖像，然后再放大。為比較方便，所有實(shí)驗(yàn)圖都進(jìn)行過(guò)5層Shearlet分解，第1層為低通，第2～3層為帶通，最后一層為高通。經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)可觀察到，當(dāng)λ在各層取統(tǒng)一的常數(shù)值時(shí)實(shí)驗(yàn)效果并不理想。而是當(dāng)在帶通圖像層參數(shù)λ=kj,j=2,3,4,k=0.4,高通圖像層參數(shù)λ=60, 低通圖像層參數(shù)λ=0時(shí)，效果較好。λ當(dāng)圖像不含噪聲時(shí)，文中新算法與Chambolle[2]放大模型和馮[3]小波放大以及仿真軟件Matlab自帶的雙線性插值進(jìn)行比較，圖1是4種算法對(duì)Camera(128×128)圖像進(jìn)行放大兩倍的結(jié)果。可看出Chambolle放大模型得到的圖像邊緣鋸齒現(xiàn)象比較嚴(yán)重，而新模型不僅保持了邊緣的銳度，且邊緣輪廓清晰、光滑，同時(shí)放大視覺(jué)效果比雙線性插值略好。當(dāng)對(duì)含噪圖像(高斯噪聲方差為15)進(jìn)行放大時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。圖2對(duì)Lena(128×128)噪聲圖像放大兩倍的結(jié)果，Chambolle放大模型有明顯階梯塊效應(yīng)，圖像的特征細(xì)節(jié)丟失較多，新方法得到的圖像細(xì)節(jié)豐富，如圖像中帽子上的皺褶及頭發(fā)比較清晰。

下面對(duì)6幅圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，用峰值信噪比(PSNR)和均方誤差(RMSE)來(lái)評(píng)價(jià)圖像放大效果的優(yōu)劣。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示，由這兩個(gè)指標(biāo)來(lái)看，本文方法明顯優(yōu)于其他兩種模型，尤其當(dāng)放大倍數(shù)為2時(shí)，新方法比Chambolle模型的PSNR高1dB以上，且比馮象初[3]的中小波方法高0.5dB以上；因此得到質(zhì)量更好的放大圖像。

圖1　Lena噪聲圖像放大兩倍的結(jié)果比較

圖2　Camera圖像放大兩倍的結(jié)果比較

圖像噪聲方差放大倍數(shù)Chambolle模型PSNRRMSE文獻(xiàn)[3]算法PSNRRMSE本文算法PSNRRMSECamera128×128σ=0222.43619.26323.29917.44223.93316.214Lena256×256σ=0229.5968.44729.7188.32931.3766.882Lena128×128σ=0424.61514.75325.44213.61725.78313.103Plane128×128σ=0225.52313.50326.84411.59627.55510.685Lena128×128σ=15224.36415.49224.54215.11625.25113.929Peppers128×128σ=15222.74318.59522.79318.49223.86316.345

4結(jié)束語(yǔ)

與傳統(tǒng)插值放大圖像不同，本文從變分的角度提出一種新的圖像放大算法。該算法用Shearlet空間半范刻畫(huà)圖像的正則性構(gòu)造了一個(gè)變分泛函，然后通過(guò)最小化變分泛函得到放大圖像。根據(jù)Shearlet空間半范與Shearlet加權(quán)系數(shù)之間的等價(jià)關(guān)系，可將該泛函的最小化問(wèn)題轉(zhuǎn)化到Shearlet域中用迭代(迭代次數(shù)最多2次)的方法求解。新方法的視覺(jué)效果比其他兩種方法更好,有明顯的優(yōu)越性。

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Combining Variation and Shearlet Transform for Image Zooming

WANG Peng1，WU Yulian2

(1.No.13 Room, AVIC Xi'an Aeronautical Engineering Institute of Computing Technology, Xi'an 710065, China;2. Department of Health ,Xi’an Medical College, Xi’an 710021，China)

AbstractAs the Chambolle variational model of image magnification results in the staircase effect. a new algorithm for image zooming based on shearlet smoothness decomposition spaces is proposed. The new algorithm translates the variational problem that is solved into a sequence based shearlet field through the equivalent relationship between semi-norm of shearlet-type decomposition spaces and the weighted shearlet coefficients, solution of the proposed model approximately equals to different shearlet shrinkages. Experimental results have verified that the new algorithm can effectively eliminate the staircase effect of zoomed images and keep more details with a higher peak signal to noise ratio.

Keywordsimage zooming; Shearlet; variational model; decomposition spaces

收稿日期:2015-11-07

基金項(xiàng)目:陜西省教育廳基金資助項(xiàng)目(15JK1371)；西安醫(yī)學(xué)院博士科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(2015DOC25)

作者簡(jiǎn)介:王鵬(1978-)，男，工程師。研究方向：圖像處理。

doi:10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.06.042

中圖分類(lèi)號(hào)TP391.41

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

文章編號(hào)1007-7820(2016)06-146-04