舒登科

最近在立體幾何教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)對(duì)立體幾何中的點(diǎn)線面的關(guān)系處理起來(lái)很困難，教師講得津津有味，但學(xué)生聽著是天花亂墜，一頭霧水。認(rèn)真分析一下原因，是因?yàn)榻處熀蛯W(xué)生對(duì)幾何體的感知出現(xiàn)了差異，教師在講課時(shí)他的腦子里面是有這個(gè)幾何體的，而學(xué)生在教師講課時(shí)，腦子里面什么都沒有，這必然造成學(xué)生認(rèn)識(shí)上的偏差。

怎樣解決以上問題？我思考了很長(zhǎng)時(shí)間，我認(rèn)為最重要的是要讓學(xué)生和教師建立在同一個(gè)思維空間，讓學(xué)生也能想到這個(gè)幾何體，要讓學(xué)生有能觸摸到的感覺，教師若能長(zhǎng)期這樣開展立體幾何教學(xué)，我相信一定會(huì)培養(yǎng)好學(xué)生的空間想象能力。

幾何畫板作為一款非常優(yōu)秀的教學(xué)輔助軟件，可以很好地解決上面的問題。教師如果能靈活運(yùn)用，不僅可以降低學(xué)生的思維維度，提高課堂的效率，而且還能把抽象的空間想象問題轉(zhuǎn)化為具體的實(shí)際問題，讓學(xué)生感受到生活中的變化的無(wú)規(guī)律性和規(guī)律的統(tǒng)一性。下面我用球的內(nèi)接問題來(lái)闡述我的觀點(diǎn)。

一、直棱柱外接球問題

1.正方體外接球

問題提出：知道正方體的邊長(zhǎng)為a，求它的外接球的半徑。

問題分析：易知正方體和球都是對(duì)稱的圖形，那么正方體的體的中心就應(yīng)該是球的球心，正方體的體對(duì)角線AC′就是球的直徑，用幾何畫板作出圖形如圖1。通過圖形讓學(xué)生感知了這個(gè)事實(shí)，學(xué)生也更會(huì)接受這個(gè)事實(shí)，從而使學(xué)生在掌握知識(shí)的牢固性和提高數(shù)學(xué)的興趣性上面都有了很大的提高。

2.長(zhǎng)方體外接球問題

有了剛才的球的內(nèi)接正方體知識(shí)的鋪墊，我們很容易解決球的內(nèi)接正方體問題。如：已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為a，寬為b，高為c，求它的外接球的半徑。

問題分析：長(zhǎng)方體也具有對(duì)稱性，它的體對(duì)稱中心也是球的球心，那么要求出球的直徑，就只要求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度，所以有2R=，作出圖2幫助學(xué)生更容易理解。

3.底面是直角三角形的直棱柱外接球問題

這個(gè)問題可以變式地看成是在長(zhǎng)方體中沿著面A′C切去一半得到的圖形（圖3），解法等同長(zhǎng)方體外接球的解法。

4.底面是正三角形的直棱柱外接球問題

問題提出：已知底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，高為h的直三棱柱ABC-A′B′C′，求它的外接球的半徑。

問題分析：底面是正三角形的直棱柱也是一個(gè)高度對(duì)稱的幾何體，它的體對(duì)稱中心也必然和球心重合。

解決問題：∵O′是正三角形A′B′C′的中心，

∴O′C′=a×sin60°，又∵OO′=h，∴OC′。

二、正四面體的外接球問題

正四面體可以看成是正方體切割而成，所以能解決正方體外接球問題就一定能解決正四面體外接球問題，圖形的演變過程與下：

這類問題都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是具有對(duì)稱性，我們教師若能在教學(xué)時(shí)抓住這點(diǎn)，把正方體的外接球問題解決好，后面幾個(gè)問題只要能夠借助信息技術(shù)畫出圖形，降低學(xué)生的思維維度，把學(xué)生認(rèn)為比較“虛”的幾何體“實(shí)”體化，這樣的數(shù)學(xué)課堂不僅有趣，而且還會(huì)讓學(xué)生觸類旁通地理解了問題的本質(zhì)。

（作者單位：福建省沙縣金沙高級(jí)中學(xué)）