楊國亮，譚立輝，史曉霞

（廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510520）

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基于有理正交系對有理解析信號的分解算法研究

楊國亮，譚立輝，史曉霞

（廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510520）

摘要：對LPSD算法進(jìn)行改進(jìn)，引入有理正交基來替換原來的三角函數(shù)基。與三角函數(shù)基相比，有理正交基的優(yōu)勢是能自適應(yīng)地選取基函數(shù)的系數(shù)。采用能量下降最快的思想和最小均方誤差思想逐步求得基函數(shù)的系數(shù)，然后分解出極小相位信號與全相位信號。與LPSD算法相比，改進(jìn)后算法比之前在耗時與算法迭代步數(shù)上有很大改進(jìn)，信號擬合效果更好。

關(guān)鍵詞：有理解析信號；極小相位；全相位；有理正交系

文獻(xiàn)［3-4］指出，任意一個周期解析信號s（t）∈Lp［-π，π］（1≤p≤∞）都可以分解為極小相位信號（MinP）與全相位信號（AllP）的乘積，其中極小相位信號能在一個常數(shù)誤差范圍內(nèi)由其幅度或者相位完全重構(gòu)出來，而全相位信號的瞬時頻率是非負(fù)的。對于具有有限帶寬的多項(xiàng)式周期解析信號可表示為

其中N0為非負(fù)整數(shù)，a0≠0和aN≠0。將其分解為極小相位和全相位信號的算法有很多種，第1種方法是求根法，即求出s（pz）=zN（0a0+a1z+…+aNzN）所有的根，然后將其分解出極小和極大相位；第2種方法是先計算信號s（pt）的對數(shù)幅度，然后通過周期Hilbert變換計算出其極小信號的相位，并用s（pt）的相位減去，獲得相應(yīng)的全相位信號的相位。

R Kumaresan等用一種新的LPSD算法［5-6］來提取周期解析信號的極小相位信號（MinP）和全相位信號（AllP），其算法流程圖如圖1所示。

圖1　LPSD算法

在圖1中，包含一個相乘器或調(diào)制器，一個逆信號發(fā)生器（ISG），還有一個誤差最小模塊。該算法的主要思想是周期多項(xiàng)式解析信號sp（t）與逆信號h（t）相乘，得到誤差信號e（t），通過選擇合適的系數(shù)hk，使得e（t）的能量最小，即

1　有理解析信號的分解及算法實(shí)現(xiàn)

1.1有理周期解析信號的分解

作為解析信號的一種特殊情況，有理周期解析信號也可以分解為極小相位信號與全相位信號的乘積。為了更清楚地描述出其結(jié)構(gòu)特征，下面給出更具體的分析?？紤]一個周期為2π且在單位圓周上沒有零點(diǎn)的有理解析信號為

1.2算法過程

首先給出推廣的LPSD算法在計算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的具體過程，即如何實(shí)現(xiàn)下面的誤差能量最小化

1.3算法實(shí)驗(yàn)

筆者運(yùn)用推廣的LPSD算法再來分解有理解析信號，本實(shí)驗(yàn)是在MATLAB7.0［11-12］上完成的，取有理解析信號為

比如說，在算法中取所有的ak=0，k=1，2…，H，則此方法就退化到R Kumaresan等［5］于1998年給出的LPSD算法。在LPSD算法下，取h（t）的系數(shù)H=60，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2、3所示。

圖2　原信號與LPSD算法的極小相位信號的幅度對數(shù)及誤差信號的幅度

圖3　LPSD算法的全相位信號正的瞬時頻率與原信號瞬時頻率

圖2中，“重構(gòu)”對應(yīng)的線條是用LPSD算法重構(gòu)得到的極小相位信號的幅度對數(shù)，“原來”對應(yīng)的線條為原信號的幅度對數(shù)，“誤差”對應(yīng)的線條為誤差信號的幅度，從圖2中可以看出，用LPSD算法重構(gòu)得到的曲線和原來的曲線基本上重合了，兩者的誤差很小。圖3中，“PIF”對應(yīng)的線條為全相位信號的瞬時頻率，“IF”對應(yīng)的線條為原信號的瞬時頻率。

雖然LPSD算法也能將有理解析信號很好地分解為極小相位信號和全相位信號的乘積，但此方法有一個缺陷，就是｛a1，a2，…，aH｝?D必須事先給定，不能自適應(yīng)地選取。針對這種不足，有兩種解決辦法，一種是全局最優(yōu)地選取｛a1，a2，…，aH｝?D，即

但這種方法的缺點(diǎn)是：在耗時方面和算法迭代步數(shù)上，需花費(fèi)更多，主要是因?yàn)樵谇笙禂?shù)a1，…，aH時，需要嵌套H個循環(huán)求出所有的能量值。為了改進(jìn)這種缺陷，筆者用逐步選取最優(yōu)的思路來解決，即第2種解決方法，分步思想為：

〈H〉當(dāng)為H時，基為：B1（t）、…、BH（t），把上H-1步求得的，這時只有一個未知數(shù)aH，最后利用最小均方誤差方法求最小能量，即

從而得到aHmin。把每一步求得的系數(shù)am1in、…、aHmin代入B（1t）、…、B（Ht），即可求出有理正交基。使得誤差信號e（t）=h（t）/s（rt）的能量達(dá)到最小，滿足表達(dá)式（7），即可得到解向量，再把代入h［n］中，就可以得到。所以，s（t）極小相位信號sMinP［n］等于h［n］，全相位信號e［n］則等于h［n］/sr［n］。

取h（t）的系數(shù)H=3，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4、5所示。

圖4　原信號與改進(jìn)LPSD算法的極小相位信號的幅度對數(shù)及誤差信號的幅度

圖5　改進(jìn)LPSD算法的全相位信號正的瞬時頻率與原信號瞬時頻率

圖4中，“重構(gòu)”對應(yīng)的線條為基于改進(jìn)LPSD算法重構(gòu)得到的極小相位信號的幅度對數(shù)，“原來”對應(yīng)的線條為原信號的幅度對數(shù)，“誤差”對應(yīng)的線條為誤差信號的幅度，從圖4中可以看出，用基于改進(jìn)LPSD算法重構(gòu)得到的曲線與“原來”的曲線相比，LPSD算法擬合得更好，兩者的誤差也更小。圖5中，“PIF”對應(yīng)的線條為基于改進(jìn)LPSD算法的全相位的頻率，“IF”對應(yīng)的線條為原信號的頻率，用基于改進(jìn)LPSD算法得到的曲線相比LPSD算法更光滑。

2　結(jié)語

本文利用R Kumaresan等提出的LPSD算法，對有理解析信號進(jìn)行分解，從而得到極小相位信號和全相位信號。為了改進(jìn)和推廣LPSD算法，筆者引入有理正交基來替換原來的三角函數(shù)基，并采用分步最優(yōu)思想求有理正交基的系數(shù)a1，…，aH。與LPSD算法相比，改進(jìn)后算法比之前在耗時與算法迭代步數(shù)上有很大改進(jìn)，信號擬合效果更好。

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【責(zé)任編輯：王桂珍foshanwgzh@163.com】

Research on the decomposition algorithm of rational analytic signal based on rational orthogonal system

YANG Guo-liang，TAN Li-hui，SHI Xiao-xia
（School of Applied Mathematics，Guangdong University of Technology，Guangzhou 510520，China）

Abstract∶We improve the LPSD algorithm by introducing the rational orthogonal basis to replace the trigonometric series. Compared with trigonometric series，the advantage of the rational orthogonal basis is that the coefficients of basis function can adaptively be chosen. In this paper，based on the energy decrease fastest method and the least mean square error method，we can choose the coefficients of basis function step by step. Compared with the LPSD algorithm，the improved algorithm has greatly improved the time consuming and the number of iteration steps. Moreover，the fitting effect is better than that of LPSD algorithm.

Key words∶rational analytical signal；minimal phase；all phase；rational orthogonal system

中圖分類號：TN911.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1008-0171（2016）03-0011-07

收稿日期：2015-11-16

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61471132）；廣東省優(yōu)秀青年教師項(xiàng)目（Yq2014060）

作者簡介：楊國亮（1989-），男，江西井岡山人，廣東工業(yè)大學(xué)碩士研究生。