莫玉婷，劉金山

（華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，廣東廣州510642）

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貝葉斯波動(dòng)率模型在中國(guó)基金市場(chǎng)的應(yīng)用

莫玉婷，劉金山*

（華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，廣東廣州510642）

摘要：對(duì)隨機(jī)波動(dòng)率模型的統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，基于貝葉斯定理，推導(dǎo)出模型參數(shù)的后驗(yàn)分布，利用MCMC算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，同時(shí)將FFBS算法引入到波動(dòng)率向量的估計(jì)過程中，對(duì)波動(dòng)率序列進(jìn)行聯(lián)合抽樣，提高Gibbs抽樣算法的效率。對(duì)深圳基金指數(shù)和上證基金指數(shù)進(jìn)行實(shí)證分析，結(jié)果表明：基于FFBS算法的隨機(jī)波動(dòng)率模型能很好地?cái)M合數(shù)據(jù)的波動(dòng)特征。

關(guān)鍵詞：SV模型；貝葉斯推斷；FFBS算法

2015年上半年，金融市場(chǎng)延續(xù)牛市格局，滬深300指數(shù)前4個(gè)月飆升1 200余點(diǎn)，漲幅超過三成，而基礎(chǔ)市場(chǎng)的走牛也推動(dòng)了權(quán)益類基金凈值的水漲船高。但6月末以來，股市進(jìn)入了大跌行情，有數(shù)據(jù)顯示，2015年6月15日至30日，1 554只股票型及偏股型基金中，有1 400只的凈值出現(xiàn)下跌，而凈值跌幅超過30%的就有48只。在股票市場(chǎng)的影響之下，基金市場(chǎng)也出現(xiàn)了異常的大幅度波動(dòng)。

目前研究金融市場(chǎng)波動(dòng)率的模型主要有GARCH模型族以及SV模型族，而SV模型被認(rèn)為是刻畫金融市場(chǎng)波動(dòng)率的最理想模型，它的優(yōu)勢(shì)在于將隨機(jī)過程引入到方差表達(dá)式中。國(guó)內(nèi)外關(guān)于SV模型的研究主要有兩個(gè)方面：一是研究SV模型在擬合金融數(shù)據(jù)波動(dòng)率上的優(yōu)勢(shì)；二是研究SV模型的參數(shù)估計(jì)方法。余素紅等［1］論證了：SV模型在擬合金融數(shù)據(jù)的“高峰厚尾”和“平方序列的自相關(guān)性”兩方面比GARCH模型優(yōu)勢(shì)明顯。關(guān)于SV模型的估計(jì)方法主要有廣義矩估計(jì)（GMM）、偽極大似然估計(jì)（QML）、貝葉斯方法等。周宏山等［2］將文獻(xiàn)［3］提出的非對(duì)稱隨機(jī)波動(dòng)率模型用于研究中國(guó)股票市場(chǎng)波動(dòng)的非對(duì)稱性，采用貝葉斯方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。貝葉斯方法是一種充分利用樣本信息、模型信息以及模型未知參數(shù)先驗(yàn)信息的參數(shù)估計(jì)方法，被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)模型中。但是當(dāng)樣本量較大時(shí)，需要抽取的波動(dòng)率變量較多，且模擬的樣本數(shù)據(jù)之間是相關(guān)的，使得Gibbs抽樣迭代效率較低，收斂速度慢，而向前濾波、后向抽樣（FFBS）算法則可以克服這一困難。Artigas［4］及Tsay［5］等利用FFBS算法和狀態(tài)空間轉(zhuǎn)移方程對(duì)Jacquier等［6］提出的非對(duì)稱SV模型進(jìn)行估計(jì)，證明了FFBS算法比單步Gibbs抽樣算法效率更高。由于大量文獻(xiàn)都是利用SV模型擬合股票市場(chǎng)或匯率市場(chǎng)［7］，本文將選取深圳、上證基金指數(shù)建立SV模型，并創(chuàng)新性地結(jié)合FFBS算法對(duì)波動(dòng)率序列進(jìn)行聯(lián)合抽樣，研究中國(guó)基金市場(chǎng)的波動(dòng)情況。

1　隨機(jī)波動(dòng)率模型的參數(shù)估計(jì)方法

隨機(jī)波動(dòng)率模型為

（1）參數(shù)α的后驗(yàn)分布。給定對(duì)數(shù)波動(dòng)率向量｛z1，z2，…，zT｝、觀測(cè)值序列｛r1，r2，…，rT｝和參數(shù)ση，ρ，σ0，參數(shù)α是AR（1）模型的一個(gè)系數(shù)，若α的先驗(yàn)分布是均值為α0、方差為C0的正態(tài)分布，則α的后驗(yàn)分布也是正態(tài)分布，且均值為α*，方差為C*，其中

表1　pi，μi，ωi的值

其中μi和ωi分別是表1中給出的正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)誤差，Φ（□）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，概率qit是給定rt和zt條件下It的似然函數(shù)，得到It的后驗(yàn)分布為

（5）對(duì)數(shù)波動(dòng)率向量的抽?。‵ F B S算法）。通過對(duì)式（1）進(jìn)行對(duì)數(shù)平方變換，將式（1）變成了線性方程。當(dāng)ρ≠0時(shí)，令，其中與εt是相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量。于是狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程變?yōu)?/p>

上式是關(guān)于zt的非線性轉(zhuǎn)移方程，A rtig a s等［4］建議用時(shí)變的卡爾曼濾波算法對(duì)非線性轉(zhuǎn)移方程進(jìn)行近似，具體有

根據(jù)上面的推導(dǎo)，只要給定初始值z(mì)1 | 0和Σ1 | 0，利用卡爾曼濾波算法將收益率數(shù)據(jù)向前推移，就可以得到狀態(tài)序列｛zt| t｝，｛Σt| t｝，t= 1，…，T和預(yù)測(cè)序列｛zt| t- 1｝，｛Σt| t- 1｝，t= 2，…，T。然后利用遞歸的方法從正態(tài)分布中抽取波動(dòng)率序列｛zt｝，t= 1，…，T。

3　實(shí)證分析

根據(jù)上述方法對(duì)各參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，模型模擬8 0 0 0次，前面3 0 0 0次作為燃燒期舍去，利用后面5 0 0 0次迭代對(duì)參數(shù)進(jìn)行分析，表2給出了模型參數(shù)的后驗(yàn)均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

表2　模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

由模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果可知：

（1）參數(shù)α反映的是對(duì)數(shù)波動(dòng)率的持續(xù)性，兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)率持續(xù)性參數(shù)的估計(jì)值都非常接近于1，說明上期的波動(dòng)對(duì)當(dāng)前波動(dòng)的影響是非常大的。

（2）參數(shù)ση反映的是對(duì)數(shù)波動(dòng)率的波動(dòng)情況，上證基金指數(shù)的參數(shù)ση= 0 .2 9 6，比深圳基金指數(shù)的參數(shù)ση大，說明上證基金指數(shù)的噪音比較多，波動(dòng)較大。

（3）相關(guān)系數(shù)ρ反映的是收益率的杠桿效應(yīng)，深圳基金指數(shù)的相關(guān)系數(shù)ρ= - 0 .0 6 7，上證基金指數(shù)的相關(guān)系數(shù)ρ= - 0 .0 9 4，這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)都比較小，說明對(duì)于基金市場(chǎng)而言，其“杠桿效應(yīng)”并不是很明顯。

下面給出模型估計(jì)的兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)率時(shí)序圖（見圖1）。

圖1　波動(dòng)率時(shí)序圖

由波動(dòng)率時(shí)序圖可知，從2 0 1 3年初至2 0 1 5年初，上證基金指數(shù)的波動(dòng)比深圳基金指數(shù)的波動(dòng)稍微大一些，進(jìn)一步說明參數(shù)估計(jì)結(jié)果的正確性。但是在2 0 1 5年6、7月深圳基金指數(shù)的波動(dòng)較大，這和實(shí)際情況也是相符合的。

4　結(jié)論

本文基于貝葉斯定理，推導(dǎo)出S V模型各個(gè)參數(shù)的后驗(yàn)分布，探討了一種基于線性高斯?fàn)顟B(tài)空間模型的F F B S抽樣算法，用于估計(jì)波動(dòng)率向量，提高G ib b s抽樣的效率。對(duì)深圳基金指數(shù)和上證基金指數(shù)建立隨機(jī)波動(dòng)率模型，分析了中國(guó)基金市場(chǎng)的波動(dòng)情況，實(shí)證結(jié)果表明：基于F F B S算法估計(jì)的S V模型能很好地反映基金市場(chǎng)的波動(dòng)情況。F F B S算法適用于一般的線性高斯?fàn)顟B(tài)空間模型，可以將該方法用于估計(jì)隨機(jī)擴(kuò)散模型。

參考文獻(xiàn)：

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［2］周宏山，冀云.非對(duì)稱隨機(jī)波動(dòng)率模型在中國(guó)股市的應(yīng)用［J］.統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2007，22（4）∶70-73.

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［8］KIM S，SHEPHARD N，CHIB S. Stochastic Volatility∶Likelihood Inference and Comparison with ARCH Models［J］. Review of Economic Studies，1998，65∶1-40.

【責(zé)任編輯：王桂珍foshanwgzh@163.com】

App lication of Bayesian stochastic volatility model in Chinese fund market

MO Yu-ting，LIU Jin-shan
（College of Mathematics and Informatics，South China Agricultural University，Guangzhou 510642，China）

Abstract∶By analyzing the statistical structure of the stochastic volatility model，and using the Bayesian theorem，we derive the posterior distribution of model’s parameter. We use the Markov chain Monte Carlo algorithm to estimate model’s parameter，and the FFBS（forward filtering and backward sampling）algorithm to estimate the volatility. We apply the stochastic volatility model to analyze the Shenzhen and Shanghai fund market，and the result indicated that the model can explore the volatility characteristics of fund market.

Key words∶SV model；Bayesian inference；FFBS algorithm

中圖分類號(hào)：F832.5

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-0171（2016）03-0005-06

收稿日期：2016-01-04

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11171117）

作者簡(jiǎn)介：莫玉婷（1991-），女，廣東韶關(guān)人，華南農(nóng)業(yè)大學(xué)碩士研究生。

*通信作者：劉金山（1958-），男，河南方城人，華南農(nóng)業(yè)大學(xué)教授。