李志廣，康淑瑰

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）

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非線性Black-Scholes模型下幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)

李志廣，康淑瑰

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）

在非線性Black-Scholes模型下，本文研究了幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)問題.首先利用單參數(shù)攝動(dòng)方法，將亞式期權(quán)適合的偏微分方程分解成一系列常系數(shù)拋物方程.其次通過計(jì)算這些常系數(shù)拋物型方程的解，給出了幾何平均亞式期權(quán)的近似定價(jià)公式.最后利用Green函數(shù)分析了近似結(jié)論的誤差估計(jì).

幾何平均亞式期權(quán)；非線性Black-Scholes模型；Green函數(shù)；誤差估計(jì)

§1　引　言

幾何平均亞式期權(quán)是近些年來研究的熱點(diǎn)問題.亞式期權(quán)也在金融市場活動(dòng)當(dāng)中發(fā)揮著重要作用，相比于普通的期權(quán)，亞式期權(quán)有兩個(gè)作用: 1.避免人為炒作股票價(jià)格，2.減少公司員工進(jìn)行內(nèi)幕交易、損害公司利益的行為.

到目前為止，多數(shù)文獻(xiàn)均是線性Black-Scholes模型下的結(jié)論.文獻(xiàn)［1-2］在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的線性Black-Scholes模型下，研究了幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)問題，利用擬條件期望得到了幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)公式.文獻(xiàn)［3］考慮了隨機(jī)利率模型下的幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)問題，利用風(fēng)險(xiǎn)對沖技術(shù)得到了亞式期權(quán)滿足的偏微分方程，得到了看漲和看跌期權(quán)的定價(jià)公式以及相應(yīng)的等價(jià)關(guān)系.文獻(xiàn)［4-5］研究了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)問題.總而言之，上述文獻(xiàn)均是在線性模型下的結(jié)論，其波動(dòng)率和收益率的常數(shù)假設(shè)限制了期權(quán)定價(jià)理論的發(fā)展.到目前為止，有關(guān)非線性Black-Scholes模型下亞式期權(quán)的定價(jià)問題還未見文獻(xiàn).

基于此，本文在非線性Black-Scholes模型下研究幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)問題.假設(shè)金融市場上有兩種資產(chǎn)，一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)例如股票，其價(jià)格St滿足

另一種是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)例如銀行存款、債卷，其價(jià)格滿足

其中S0是已知的，μ（t，St）是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率，σ（t，St；ε）為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率，r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，ε表示攝動(dòng)參數(shù)（0＜ε＜1），μ（t，S）和σ（t，S；ε）為時(shí)間t和股票價(jià)格S的一般函數(shù)，｛wt，t≥0｝為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).定義如下路徑因子

并在上述模型的基礎(chǔ)之上考慮具有固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式看漲期權(quán)，該期權(quán)在交割日T時(shí)刻的損益為，由于該損益是非負(fù)的，使得期權(quán)的持有者可以做到穩(wěn)賺不賠，因此人們?nèi)绻霌碛性撈跈?quán)就必須支付期權(quán)的出售方一定的“期權(quán)金”，這個(gè)金額的多少就是研究的期權(quán)定價(jià)問題.根據(jù)文獻(xiàn)［6］，具有固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式看跌期權(quán)的價(jià)格P（t，S，J）在非線性Black-Scholes模型下的偏微分方程模型為

其中S表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格，J代表路徑因子在t時(shí)刻的取值，f（t，x；ε）=σ2（t，S，J；ε），

作變換

則偏微分方程問題（1）可以轉(zhuǎn)化為

下一節(jié)以公式（2）為研究對象，采用單參數(shù)攝動(dòng)展開的方法研究具有固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式期權(quán)問題，本文提供的方法同樣適用于其它期權(quán)，例如歐式期權(quán)、障礙期權(quán)以及回望期權(quán).

§2　幾何平均亞式期權(quán)

本節(jié)利用單參數(shù)攝動(dòng)方法研究幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)問題.首先將f（t，x；ε）在ε= 0附近展成冪級數(shù)形式

并假設(shè)該冪級數(shù)的首項(xiàng)f0（0，0）是不依賴t和x的非負(fù)常數(shù).進(jìn)一步，將拋物問題（2）的解在ε= 0附近展開成冪級數(shù)

并再將上述級數(shù)代入拋物問題（2）的主方程，容易得到

對ε合并同類項(xiàng)，可得

由x和t的任意性，取ε的同次冪項(xiàng)的系數(shù)為零，則Vn（t，x）滿足

其中

同時(shí)，根據(jù)公式（3），將拋物問題（2）的初值條件進(jìn)行分解

則拋物型方程（2）的求解問題轉(zhuǎn)化為一系列常系數(shù)線性拋物方程的求解問題，其中V0g.f（t，x）為拋物初值問題

的解，Vn（t，x）（n = 1，2，···）是如下拋物問題的解

下面分別求解Vn（t，x）（n = 0，1，2，···）.由文獻(xiàn)［6］可知，拋物初值問題（7）是經(jīng)典Black-Scholes模型下幾何平均亞式看跌期權(quán)的定價(jià)公式，它可以表示為

其中

因此接下來只需求解Vn（t，x）（n = 1，2，···）.注意到V0（t，x）是解析的，并且公式（6）中的gn（t，x）僅僅與有關(guān)，而與無關(guān)，這啟發(fā)采用遞推法完成Vn（t，x）的求解過程.

引理1設(shè)拋物初值問題（2）的解可以表示為

其中V0（t，x）見公式（9），

證考慮變換

則拋物初值問題（8）可以轉(zhuǎn)化為

其中

根據(jù)文獻(xiàn)［7-8］，熱方程（11）的解可以表示為

對變換（10）進(jìn)行逆變換回到Vn（t，x）可得引理結(jié)論.

綜合公式（9）和引理1，可得如下結(jié)論成立.

定理1假定具有固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式看跌期權(quán)Pg.f（t，S，J）滿足如下的近似解析式

則P0（t，S，J）和Pn（t，S，J）分別為，

d1和d2見公式（9），α（t），Γ0（y，ξ，s）和?gn（s，ξ）見引理1.

下面考慮固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式看漲期權(quán)定價(jià)問題，再次利用文獻(xiàn)［6］可知該期權(quán)的

價(jià)格Cg.f（t，S，J）可以表示為如下偏微分方程初值問題的解

容易得到，看漲期權(quán)與看跌期權(quán)類似，它們僅僅是初值不同.類推上述證明有如下結(jié)論成立.

定理2假定具有固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式看漲期權(quán)滿足如下的近似解析式

則C0（t，S，J）和Cn（t，S，J）分別為

其它參量見引理1和公式（9）.

§3　誤差估計(jì)

本節(jié)以幾何平均亞式看跌期權(quán)為例，采用Green函數(shù)方法研究上述結(jié)論的誤差估計(jì)問題.本文所得誤差估計(jì)是在如下假設(shè)條件下進(jìn)行的:

（1）f（t，x；ε）在0，T］×R上關(guān)于變量x滿足一致Lipschtiz條件.

（2）f（t，x；ε）在0，T］×R上一致有界，即對任意的（t，x）∈（0，T）×R以及任意正整數(shù)n，存在不依賴n，t和x的正常數(shù)M0使得

并假定對任意的（t，x）∈（0，T）×R有

上述公式中f0（t，x）= f0（0，0）.下面給出兩個(gè)有關(guān)

的引理.

引理2 R0（t，x）在［0，T］×R上有界，即對任意的（t，x）∈［0，T］×R，存在不依賴x和t的正常數(shù)M1使得

證由公式（9），直接計(jì)算容易得到

進(jìn)一步，利用公式（14）和公式（15）以及公式（9），可知

以及

聯(lián)立公式（16）和公式（17），容易得到

對上式逐步進(jìn)行放大，得到關(guān)于|R0（t，x）|的一個(gè)不等式

下面證明exN′（d1）在［0，T］×R上有界.由公式（15）容易得到，對任意的t0∈［0，T］，有所以= 0.又因?yàn)閑xN′（d1）在［0，T］×R上連續(xù)，所以exN′（d1）在［0，T］×R上有界，即存在常數(shù)M2＞0對任意的（t，x）∈［0，T］×R有（20）

下面證明exN′（d1）在［0，T］×R上有界.當(dāng)x＞M4時(shí)，存在正常數(shù)M4使得d1＜0，此時(shí)

進(jìn)一步，取y = x - ln K - 4-1f0（0，0）T，可得

其中M5為只依賴K，f（0，0）和T的正常數(shù).從而由洛必達(dá)法則，容易得到

故exN（d1）在［0，T］×［M4，+∞）上有界.此外當(dāng)x→-∞時(shí)，顯然有

所以exN（d1）在［0，T］×（-∞，M4］上也有界.因此存在常數(shù)M6＞0，對任意的（t，x）∈［0，T］×R有

將公式（20），（21）代入公式（18）可得定理證明.

引理3當(dāng)T足夠小時(shí)，Rn（x，t）在［0，T］×R+上一致有界，即存在不依賴n，x和t的正常數(shù)M7，使得|Rn（t，x）|≤M7.

證明過程類似文獻(xiàn)［9］之引理2.6，只需用引理2代替文獻(xiàn)［9］的引理2.5，這里不再贅述.

綜合以上引理，有定理3和定理4這兩個(gè)誤差結(jié)論成立.

定理3存在不依賴時(shí)間變量t，S和J的正常數(shù)M，使得

證考慮到

這里只需證明如下不等式成立

令E0（t，x）= V0（t，x）- V（t，x），易得

又因?yàn)?/p>

故聯(lián)立公式（23）和公式（24），E0（t，x）為拋物初值問題

的解，其中

接下來分兩步完成定理證明.

第一步尋找（25）的上下解.

由公式（13）得

利用上式和引理2可得對任意的（t，x）∈［0，T］×R+，h0（t，x）滿足

將公式（26）代入拋物問題（25）的主方程得

其中

由極值原理可知，拋物方程（25）的解E0（t，x）滿足

其中?E0（t，x）和ˉE0（t，x）為下述兩個(gè)方程的解

第二步應(yīng)用Green函數(shù)尋找（25）的上界.

由文獻(xiàn)［7］可知，拋物問題（28）和拋物問題（29）存在Green函數(shù)G（x，y，t，τ）使得

進(jìn)一步由文獻(xiàn)［8］第四章第十六節(jié)可知，存在正常數(shù)M8和M9使得

將公式（30）-公式（32）代入公式（27），可得

進(jìn)行積分換元，容易得到

將上述公式代入公式（33），可知

顯然瑕積分∫T0τ-1/2dτ是收斂的，因此定義

可得公式（22）成立.

證因?yàn)槎ɡ?已經(jīng)證明當(dāng)n = 0時(shí)定理結(jié)論成立，所以在本定理證明過程中，始終假設(shè)n≥1.考慮到

因此只需要證明

到En（T，x）= 0，并且

進(jìn)一步整理化簡，hn（t，x）還可以表示為

因此En（t，x）為如下偏微分方程初值問題的解

下面分兩步完成定理證明.

第一步估計(jì)hn（t，x）.

利用公式（13），可得

將公式（37）代入公式（35）并利用引理2和引理3可得，hn（x，t）滿足如下形式的估計(jì)

并且

第二步運(yùn)用Green函數(shù)尋找|En（t，x）|的上界.

由文獻(xiàn)［7-8］可知，拋物方程（36）存在Green函數(shù)使得

將公式（38）和公式（40）代入公式（39），容易得到

利用分部積分，可以得到

將公式（42）代入公式（41），可得|En（t，x）|的一個(gè)上界

可得定理證明.

§4　數(shù)值算例

為了驗(yàn)證方法的有效性，本節(jié)對具有固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式期權(quán)進(jìn)行數(shù)值分析（其解析定價(jià)結(jié)論見定理2）.根據(jù)文獻(xiàn)［6］的結(jié)果，當(dāng)波動(dòng)率和利率為常數(shù)時(shí)，幾何平均亞式看漲期權(quán)是有精確解的，這里假定波動(dòng)率為常數(shù)σ，并存在小參數(shù)擾動(dòng)使得σ=σ0+ε.接下來將本文所得近似結(jié)論（定理2）和文獻(xiàn)［6］所得精確結(jié)果進(jìn)行比對.

假定購買期權(quán)合約時(shí)間是0時(shí)刻，期權(quán)合約規(guī)定的交割日期是1年（T = 1）.由于幾何平均亞式看漲期權(quán)只規(guī)定了期權(quán)持有者的權(quán)利沒有規(guī)定義務(wù)，因此在0時(shí)刻就必須支付對方一定的期權(quán)金，這個(gè)金額就可以采用定理2來計(jì)算.考慮該組期貨的一個(gè)一年期的幾何平均亞式看漲期權(quán)（T = 1），根據(jù)2015年銀行整存整取的銀行存款利率，這里取r = 0.0495（2015年10月24日公布的六個(gè)月以內(nèi)貸款利率），此外假定期權(quán)合約的交割價(jià)格K = 100，波動(dòng)率σ= 0.5，則Ci的Matlab結(jié)果如下（注意在0時(shí)刻股票價(jià)格S0和路徑因子J0是相等的，因此在表格中路徑因子的數(shù)值就不單獨(dú)列出）

表1　幾何平均亞式看漲期權(quán)（ε= 0.1）

表2　幾何平均亞式看漲期權(quán)（ε= 0.2）

表1和表2描述的精確值為諾貝爾獎(jiǎng)經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者Black和Merton給出的著名結(jié)果，見文獻(xiàn)［6］. Cn為定理2所述級數(shù)解的n階近似，即ˉCn（t，S）= C0（t，S）+εC1（t，S）+···+εnCn（t，S）.觀察上述表格可以看出隨著階數(shù)n的增大，近似解Cn逐步逼近期權(quán)價(jià)格的精確解.同時(shí)對比表格表1和表2也可以看出當(dāng)ε= 0.1時(shí)，C3已經(jīng)比較接近真是價(jià)格，當(dāng)ε= 0.2時(shí)，需要計(jì)算到C5才有比較好的近似結(jié)果，這說明ε越小逼近的速度越快，這恰與定理4所得誤差估計(jì)結(jié)論相符.

［1］沈明軒，何朝林.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境中幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào)理學(xué)版，2013，48（3）: 48-52.

［2］孫玉東，師義民，譚偉.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下亞式期權(quán)定價(jià)的新方法［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012，2（2）: 173-178.

［3］周清，李超.分?jǐn)?shù)Vasicek利率模型下幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)公式［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2014，37（4）: 662-675.

［4］孫玉東，師義民.混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下亞式期權(quán)定價(jià)［J］.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2011，28（1）: 49-51.

［5］董艷，賀興時(shí).屏蔽數(shù)據(jù)情形下幾何平均亞式期權(quán)公式模型［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2012，42（22）: 229-234.

［6］姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法（第二版）［M］.高等教育出版社，2008.

［7］Chen Yazhe. The second order parabolic partial differential equations［M］. Beijing: Peking University Press，2002.

［8］Ladyzenskaja O A，Solonikov V A，Uralceva N N. Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type［M］. New York: American Mathematical Society，1964.

［9］孫玉東.非線性Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型研究［D］.西安:西北工業(yè)大學(xué)，2014.

MR Subject Classification: 60H10；90A06

The pricing of geometric average Asian options under the nonlinear Black-Scholes model

LI Zhi-guang，KANG Shu-gui
（School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong 037009，China）

In this paper，the pricing problems of geometric average Asian options are studied under the nonlinear Black-Scholes model. Firstly，the partial differential equations for the Asian options are transformed into a series of parabolic equations with constant coefficients by the perturbation method of single-parameter. Secondly，the approximate pricing formulae of the geometric average Asian options are given by solving those parabolic equations with constant coefficients. Finally，the error estimates of the approximate solutions are given by using Green function.

geometric average Asian options；nonlinear Black-Scholes model；Green function；error estimates

O211.6；F830.9

A

1000-4424（2016）01-0039-11

2015-01-26

2015-12-09

山西省自然科學(xué)基金（2008011002-1）；山西省高等教育發(fā)展基金（20101109；20111020）