許偉維 廖新浩 周永宏 許雪晴

(1中國科學(xué)院上海天文臺 上海 200030) (2上?？萍即髮W(xué)物質(zhì)學(xué)院 上海 201210) (3中國科學(xué)院行星科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 上海 200030) (4中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

天體測量法探測系外行星?

許偉維1,2,3,4?廖新浩1,3?周永宏1,3許雪晴1,3

(1中國科學(xué)院上海天文臺 上海 200030) (2上?？萍即髮W(xué)物質(zhì)學(xué)院 上海 201210) (3中國科學(xué)院行星科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 上海 200030) (4中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

在目前已發(fā)現(xiàn)的系外行星中,絕大多數(shù)是由視向速度法和凌星法探測得到的,天體測量法僅發(fā)現(xiàn)了1顆.gaia衛(wèi)星數(shù)據(jù)即將發(fā)布,天體測量法將逐步成為系外行星探測的重要方法之一.基于天體測量法給出的恒星位置參數(shù)序列,討論了在求解行星質(zhì)量和軌道參數(shù)時涉及的動力學(xué)條件方程計算問題,給出了具體微分改正公式,同時也進(jìn)行了必要的仿真模擬計算.建立的方法可以較容易地推廣到多行星系統(tǒng).

系外行星,天體測量學(xué),天體力學(xué):軌道計算與定軌,方法:數(shù)據(jù)分析

1 引言

系外行星探測和研究是當(dāng)今國際天文學(xué)研究的熱點(diǎn).1995年,M ayor和Queloz采用視向速度法在飛馬座51附近發(fā)現(xiàn)了第1顆圍繞著主序恒星運(yùn)動的木星質(zhì)量量級的系外行星飛馬座51 b[1].近年來,隨著天文探測技術(shù)的進(jìn)步,特別是Kep ler空間望遠(yuǎn)鏡的成功發(fā)射和觀測,新的系外行星不斷被發(fā)現(xiàn),其數(shù)量明顯增多.根據(jù)系外行星網(wǎng)站(exop lanets.eu)統(tǒng)計,截止2015年12月1日,已確認(rèn)發(fā)現(xiàn)2004顆系外行星,隸屬于1269個行星系統(tǒng),包括498個多行星系統(tǒng);此外,400多顆系外行星候選體需進(jìn)一步認(rèn)證.在這些已發(fā)現(xiàn)的系外行星中,絕大多數(shù)為氣態(tài)巨行星和熱木星(約占70%),部分為超級地球(20%)和地球質(zhì)量大小的行星(2%),但尚未確認(rèn)存在生命的類地行星系統(tǒng).

系外行星的探測方法分為間接探測和直接成像,間接探測有視向速度法、天體測量法、脈沖星計時法、凌星法、微引力透鏡法等[2],目前實(shí)際觀測中采用最多的是視向速度法和凌星法.天體測量法至今只發(fā)現(xiàn)了一顆系外行星—HD 176051 b[3].2009年以前,由于HARPS(High Accuracy Radial velocity Planet Searcher)的應(yīng)用[4],視向速度法為主要的探測方法;2009年美國國家航空航天局(National Aeronautics and Space Adm inistration,NASA)建造的開普勒太空望遠(yuǎn)鏡發(fā)射升空,凌星法逐漸成為主流方法,目前該方法已發(fā)現(xiàn)超過1200顆系外行星(exop lanets.eu).2013年12月19日,歐洲空間局(European Space Agency,ESA)研制的gaia空間望遠(yuǎn)鏡升空,其目的是以前所未有的精度對銀河系內(nèi)數(shù)以十億計的恒星進(jìn)行觀測,測量他們的位置、距離和運(yùn)動,其觀測效率將比同樣由ESA發(fā)射的依巴谷衛(wèi)星高出數(shù)百萬倍[5].因此,人們對于利用gaia開展太陽系與系外行星的探測寄予厚望.

天體測量法是通過測量恒星空間位置變化來反演其附近行星的質(zhì)量和軌道參數(shù)的,相比于目前通常采用的視向速度法和凌星法,天體測量法有其獨(dú)特的優(yōu)勢:(1)直接確定行星質(zhì)量.視向速度法也是通過測量恒星空間位置變化來反演其附近行星的軌道參數(shù)的,但因其觀測方程中僅包含了行星質(zhì)量m與行星軌道傾角的正弦sin i的乘積項(xiàng),所以只能推算出m sin i,不能直接確定行星的質(zhì)量.天體測量法對應(yīng)的觀測方程不僅包含了m cos i項(xiàng),而且包含m項(xiàng),故可以通過觀測資料同時直接推算出行星的質(zhì)量與軌道傾角[6].(2)尋找長周期行星.根據(jù)開普勒第三定律可知,行星繞恒星運(yùn)動的軌道半長徑3次冪與行星軌道周期的平方成正比;同樣質(zhì)量的行星,行星軌道半長徑越長,對于恒星繞系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動的擾動就越大,因此越容易被天體測量法分辨出來.所以天體測量法對長周期行星探測較為敏感.(3)檢測多星系統(tǒng)是否共面.在已知的系外行星中,大多數(shù)具有較大的軌道偏心率,其原因可能是由于受到一顆或多顆大質(zhì)量天體的引力作用[7],該作用力使得行星的軌道面不與恒星的赤道面共面,若在多星系統(tǒng)中,該作用力將使得各行星軌道不共面[8].研究行星質(zhì)量和相互夾角對于多星系統(tǒng)的動力學(xué)模型、動力學(xué)穩(wěn)定以及軌道共振具有重要意義.(4)太陽系附近尋找類地行星.利用空間干涉的天體測量能達(dá)到亞微角秒級的精度,對于造成恒星擾動的行星質(zhì)量檢測可達(dá)到m⊕(地球質(zhì)量)量級,滿足在太陽系附近尋找類地行星的要求[9].

對于由1顆恒星和1顆行星組成的二體系外行星系統(tǒng),W right和Howard于2009年建立了基于軌道根數(shù)的天體測量法對應(yīng)的觀測方程[10],其在赤道坐標(biāo)系下,包含了視差、自行以及行星質(zhì)量和軌道根數(shù)等參數(shù).通過分析二體運(yùn)動的解和參數(shù)估計理論,可以給出這些參數(shù)的最優(yōu)解.稍加分析即可發(fā)現(xiàn),基于軌道根數(shù)的天體測量方法,當(dāng)行星軌道偏心率e=0時,因狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣奇異而失效,特別是對于多行星系統(tǒng),基于軌道根數(shù)的狀態(tài)方程和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計算都非常復(fù)雜,不便于實(shí)際應(yīng)用,因此需要建立簡潔可行的確定系外行星軌道的天體測量方法.本文針對多體系統(tǒng)動力學(xué)特性,提出采用坐標(biāo)速度描述,不僅可以避免e=0對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣奇異問題,而且可以顯著降低整個計算的復(fù)雜性.本文第2節(jié)對gaia測量數(shù)據(jù)用于系外行星的確定進(jìn)行了必要的精度分析;第3節(jié)較全面地總結(jié)了基于軌道根數(shù)的天體測量方法涉及的理論基礎(chǔ);第4節(jié)給出了基于坐標(biāo)速度的天體測量方法對應(yīng)的觀測方程、運(yùn)動方程和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程;第5節(jié)列出了仿真模擬計算結(jié)果并作了一些分析;第6節(jié)推導(dǎo)了行星軌道確定時初始估計滿足的約束條件,由此可以顯著提高軌道確定微分改正的收斂效率;第7節(jié)推導(dǎo)了三體問題(1顆恒星2顆行星)的計算公式;最后1節(jié)給出本文的結(jié)論,同時也討論存在的問題及其解決途徑.

2 天體測量觀測精度分析

當(dāng)恒星附近存在行星時,由于引力作用,使得恒星與行星繞著它們的質(zhì)心以相同的角速度作橢圓運(yùn)動.假設(shè)恒星和行星圍繞系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動軌道半長徑分別為as和ap,則在地面上觀察恒星軌道半長徑時,可產(chǎn)生一個角度2θ[11](如圖1).

其中,Ms和mp分別為恒星和行星的質(zhì)量,G為萬有引力常數(shù),D為恒星與觀測者之間的距離,p為二體運(yùn)動的軌道周期.角半徑θ也稱作恒星的天體測量特征角,表征了行星對恒星的擾動大小,除行星質(zhì)量外,還與恒星的質(zhì)量、軌道周期及觀測距離有關(guān).根據(jù)目前已發(fā)現(xiàn)的系外行星,表1列出了它們的質(zhì)量與軌道周期分布范圍,以及所繞恒星的質(zhì)量和與觀測距離的分布范圍(參見網(wǎng)站exop lanets.eu),其中行星質(zhì)量單位為MJ(木星質(zhì)量),恒星質(zhì)量單位為M⊙(太陽質(zhì)量).針對上述參數(shù)分布范圍,本文選取了5種模型,模型中恒星質(zhì)量皆取為1 M⊙,行星質(zhì)量、軌道周期以及觀測距離不等,計算5種模型中恒星的天體測量特征角,見表2.

圖1 二體運(yùn)動的軌道示意圖Fig.1 The orbita l sketch of the tw o-body m otion

表1 已知系外行星的部分參數(shù)范圍Tab le 1 The partial param eters’range of the know n exop lanets

表2 幾種模型下恒星天體測量特征角Tab le 2 The astrom etric signatu re of the star in d ifferen t m odels

由于gaia對于不同星等的恒星觀測精度不同,所以還需分析gaia對于系外行星的可觀測性.表3給出了對于太陽質(zhì)量級的恒星,當(dāng)其觀測距離在1000 pc內(nèi)時的星等及gaia對應(yīng)的位置測量精度,由表可知:在1000 pc內(nèi),恒星的視星等mV=14.75mag,gaia的觀測精度高于10μas,其值均小于表2中各模型的天體測量特征角,因此gaia可進(jìn)行有效觀測.

表3 太陽質(zhì)量級恒星在不同距離的視星等及gaia對其的觀測精度Tab le 3 The ap paren t m agn itude of the sun like stars at d ifferen t d istances and the accu racies of the gaia

3 基于軌道根數(shù)的觀測方程

利用天體測量法間接探測系外行星時,通過觀測恒星的周期性位置變化來判斷其是否存在.對于1顆孤立的恒星,可通過5個天體測量觀測值來描述其在天球上的角位置,分別是赤道坐標(biāo)系下的赤經(jīng)α0、赤緯δ0(在某一特定的坐標(biāo)系下某一歷元時的值,現(xiàn)在一般都取在國際天球參考系下J2000.0的值),恒星自行相應(yīng)的正交分量μα、μδ,以及視差?;繞著恒星作橢圓運(yùn)動的行星軌道可由6個軌道根數(shù)描述,即軌道半長徑a、傾角i、升交點(diǎn)經(jīng)度?、近星點(diǎn)經(jīng)度ω、偏心率e及平近點(diǎn)角M;行星質(zhì)量m可由p和a通過Kep ler第三定律確定.因此,對一個含有n顆行星的系統(tǒng)進(jìn)行軌道擬合時,需要5+7n個參數(shù).

建立如圖2所示觀測示意圖,恒星的運(yùn)動軌道處于O-X YZ坐標(biāo)系內(nèi),O-xyz系為觀測面所在坐標(biāo)系,z軸表示觀測者視線方向,x軸指向北極,y方向由右手法則確定,i、?、ω為3個方位角.

圖2 二體運(yùn)動的觀測示意圖Fig.2 T he sketch of the observation of the tw o-body m otion

恒星在空間位置的變化反映了其橢圓軌道運(yùn)動在觀測面上的投影,由赤經(jīng)和赤緯兩個位置參數(shù)決定,分別用?η(t)、?ξ(t)表示,對應(yīng)的觀測方程為

等式左邊為觀測值,右邊各項(xiàng)依次為初始值、視差改正、自行改正以及天體擾動項(xiàng),其中,?α、?δ表示視差改正參數(shù);?xs、?ys表示恒星運(yùn)動在觀測面上兩個方向的投影,單位為角度;為了計算和公式表達(dá)的方便,選取適當(dāng)?shù)挠嬎銌挝皇潜匾?本文分別采取太陽質(zhì)量M⊙、太陽赤道半徑A⊙作為基本質(zhì)量和長度單位,取引力常數(shù)G=1,則相應(yīng)的時間單位為

故可通過觀測距離D將?xs、?ys歸算到系統(tǒng)長度單位下,分別用xs、ys表示

考慮恒星附近僅存在1顆行星情況,即n=1,由天體力學(xué)二體問題分析解可將xs、ys表示為

其中,

A、B、F、G稱為Thiele-Innes常數(shù)[13],可由軌道根數(shù)描述,

恒星視差與自行改正可通過一定量天體測量數(shù)據(jù)計算出來,故在后面的計算中將視差與自行視為已知量.至此,我們可將觀測方程改寫為

這里,η′(t)和ξ′(t)包含了自行和視差改正項(xiàng),已歸算為系統(tǒng)長度單位.假設(shè)初始時刻恒星軌道根數(shù)和行星質(zhì)量的估計值為a?、i?、??、ω?、e?、M?及m?,為方便起見,用矢量將其表示為σ=(σ1,σ2,σ3,σ4,σ5,σ6,σ7).對上式在恒星初始運(yùn)動位置處展開,有:

其中,Pi(t)、Qi(t)依次表示對7個參數(shù)的微分結(jié)果.如果有k次觀測,那么2k個觀測方程可以寫成矩陣形式

其中,

上述方程(10)包含7個未知量,因此問題可解至少需要觀測4次.

將由估計理論首次解得的?σ(0)疊加到初始時刻近似軌道上,進(jìn)行迭代計算,當(dāng)?shù)趌次迭代給出的|?σ(l)|小于設(shè)定的收斂標(biāo)準(zhǔn)ε時,求解完成.本文統(tǒng)一設(shè)定誤差限ε= 10?6.

由上述獲得的恒星軌道根數(shù)與行星質(zhì)量的估計值,可以求出恒星初始時刻的坐標(biāo)→rs與速度˙→rs,由此根據(jù)二體關(guān)系式,可以求出行星此時對應(yīng)的坐標(biāo)→rp與速度˙→rp,

對于多行星系統(tǒng),即n≥2,對應(yīng)的運(yùn)動沒有分析解,故上述方法不再適用.

4 基于坐標(biāo)速度的觀測方程

觀測方程與軌道根數(shù)法對應(yīng)的恒星觀測方程相同,即(2)式.假定t=t0時刻恒星位置與速度和行星質(zhì)量的估計值分別為(t0)、(t0)、mp,其近似值(即初始估計)為、、m?,兩者相差為?、?、?m,將觀測方程在、、m?處展開有

當(dāng)t=t0時,狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程涉及的初始條件為

這里,H為3階單位矩陣.

5 軌道特征分析與仿真計算

目前,gaia的巡天數(shù)據(jù)仍未釋放,因此為了驗(yàn)證上述方法的有效性,只能進(jìn)行仿真模擬計算.假定t0時刻1組恒星的軌道根數(shù)和行星質(zhì)量σ(t0),由該組參數(shù)可模擬出1組恒星位置的觀測數(shù)據(jù),然后用其反解σ(t0),由此可以驗(yàn)證和分析評估軌道確定的方法和精度.

5.1 軌道特征的影響

5.1.1 小偏心率

對于小偏心率軌道,軌道根數(shù)法不能進(jìn)行軌道確定,但坐標(biāo)速度法仍有效,其原因是e=0時近星點(diǎn)經(jīng)度不能確定所致.具體體現(xiàn)在當(dāng)e=0時,xs、ys可表示為:

由上式可以看出

即狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中有關(guān)ω和M的兩列相關(guān),導(dǎo)致狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣奇異,故對于小偏心率的情況,軌道根數(shù)法失效.

5.1.2 軌道傾角

對于傾角i=0°或180°的軌道,兩種方法都不適用.

軌道根數(shù)法中,由于xs、ys中包含的i項(xiàng)都以cos i出現(xiàn),故當(dāng)i=0°或180°時,xs、ys對i的偏導(dǎo)數(shù)都為0,具體體現(xiàn)在

坐標(biāo)速度法中,當(dāng)i=0°時,中不顯含z分量,即z?和分量.故有

兩種情況都導(dǎo)致線性方程組的系數(shù)矩陣奇異,無唯一解.

此外,天體測量法描述的是恒星X、Y方向的運(yùn)動在觀測面上的投影,對于Z方向沒有直接約束,這就造成了當(dāng)i?π?i時,σ(t0)一樣能滿足觀測方程.但此時除傾角項(xiàng)外,升交點(diǎn)的經(jīng)度?和近地點(diǎn)的經(jīng)度ω也存在相應(yīng)的變化,這一點(diǎn)我們可從Thiele-Innes常數(shù)來理解.我們將其對應(yīng)關(guān)系整理如下:

5.2 觀測誤差的影響

觀測即有誤差,因此不同的仿真模型應(yīng)增加相應(yīng)的觀測誤差.以第2節(jié)中模型A為例,mV=5.63mag＜10mag,此時gaia的觀測精度?θ=4μas,若將其視為天體測量觀測誤差,對于觀測距離D=15 pc,該誤差s的大小為

將其歸算到系統(tǒng)長度單位A⊙,即得該模型的觀測誤差?s為

通過M atlab軟件可計算出任意兩組滿足均值為0、方差為0.013的高斯白噪聲,將其分別增加到恒星的x和y方向的觀測數(shù)據(jù)上,則可獲得含有觀測誤差的模擬觀測數(shù)據(jù).

由含有誤差觀測數(shù)據(jù)可確定初始根數(shù)σ(t0)的估計值ˉσ(t0),兩者之差為?σ.表4列出了幾種模型對于不同觀測誤差和不同觀測次數(shù)時確定的初始軌道估計值誤差情況.模型A表示一個軌道周期為2 yr的木星繞一個距離地球15 pc的太陽作橢圓運(yùn)動(見表2),此太陽在天球上位置變化最大角度(特征角)為100μas,考慮不同觀測誤差與觀測次數(shù)的組合,形成了3組模擬觀測數(shù)據(jù):A-1、A-2和A-3.模型A的初始軌道根數(shù)取為:a=1.587 au,e=0.4000,i=40.00°,?=80.00°,ω=50.00°,M=50.00°, m=9.552×10?4Ms;軌道確定誤差統(tǒng)計分為x、y方向的殘差及軌道根數(shù)的相對誤差.以A模型為例,對于特征角為100μas的系外行星系統(tǒng),考慮觀測隨機(jī)誤差分別為2μas和4μas以及觀測點(diǎn)數(shù)分別為20和40的情況.模型A-1對應(yīng)觀測誤差2μas,觀測點(diǎn)數(shù)20,由坐標(biāo)速度法確定的軌道殘差的x和y分量分別為23.75μas和24.20μas,由軌道根數(shù)法確定的軌道半長徑和軌道偏心率的相對誤差分別為1.65%和0.92%,其他根數(shù)的誤差均小于10%,質(zhì)量確定的精度較高,可好于千分之一;模型A-2對應(yīng)觀測誤差2μas,觀測點(diǎn)數(shù)40,相較于A-1各根數(shù)的相對誤差均顯著減小,即擬合結(jié)果更優(yōu);模型A-3對應(yīng)觀測誤差4μas,觀測點(diǎn)數(shù)40,相較于A-2大部分根數(shù)的相對誤差有所增大.通過比較不同模型對應(yīng)的計算結(jié)果表明,觀測數(shù)據(jù)越多,相對誤差越小,軌道確定的擬合結(jié)果越可靠.

表4 模型A-1、A-2和A-3的計算結(jié)果Tab le 4 T he ca lcu lation s of the m od els A-1,A-2,an d A-3

5.3 初值的選取

由于觀測方程(2)中關(guān)于恒星初始軌道根數(shù)或恒星初始坐標(biāo)速度函數(shù)的表示均是非線性的,故在軌道確定中需要采用微分迭代方法求解軌道估計值,因此需要選定恰當(dāng)?shù)牡踔?以使求解過程收斂.對于軌道初值的選取,最簡單的方法是在一定區(qū)間內(nèi)對每個待解參數(shù)進(jìn)行掃描計算,當(dāng)?shù)踔当贿x取在參數(shù)收斂區(qū)間時,便可給出估計值.本文討論的問題涉及的參數(shù)收斂區(qū)間是7維的,因此要獲得收斂的估計值,需要較大的掃描計算量.為了方便計算,采用固定?、ω、M、m進(jìn)行a、i、e 3維檢索,再固定a、i、e、m進(jìn)行?、ω、M 3維檢索.計算結(jié)果列于表5,表中列出的是相對誤差百分比值,需要說明的是其中角度量的誤差相對量取180,偏心率的誤差相對量取為1,主要是為了避免小偏心率作為相對量導(dǎo)致相對誤差失真.模型A-1和A-3的軌道半長徑收斂區(qū)間約為5%,其他根數(shù)的收斂區(qū)間相對較大,一般大于10%,有些甚至可達(dá)20%.從初步的掃描計算結(jié)果看,軌道半長徑a的迭代初值選取是影響計算收斂與否的關(guān)鍵因素,需要盡量靠近估計值.

表5 模型A-1和A-3的收斂區(qū)間Tab le 5 The convergen ce in terval of the m od els A-1 and A-3

6 關(guān)于初始估計取值的約束

在上節(jié)討論中,為減少計算時間,對7維參數(shù)空間僅進(jìn)行了兩個3維參數(shù)空間掃描,且行星質(zhì)量均是固定的,沒有參與掃描計算.事實(shí)上,可通過恒星空間位置觀測資料時間序列對上述7維參數(shù)空間進(jìn)行適當(dāng)?shù)募s束,降低參數(shù)空間的維數(shù).具體做法如下:已知由天體測量方法給出的某顆恒星的位置時間序列xs(tj),ys(tj),j=1,2,···,k,其包含了運(yùn)動周期信息,通過對其傅里葉譜分析(FFT)可獲得軌道周期p,再根據(jù)開普勒第三定律可以給出恒星軌道半長徑a和行星質(zhì)量mp之間的關(guān)系式,

一般認(rèn)為Ms的值可由天體物理方法獲得.

傅里葉譜分析通常針對等間距數(shù)據(jù)(均勻采樣)進(jìn)行,故需要先對恒星的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行插值,再利用插值數(shù)據(jù)進(jìn)行譜分析.此外,還采用了另一種方法——LSQ(最小二乘擬合),將插值后的數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘,擬合成一條正弦曲線,該正弦曲線的周期即為恒星運(yùn)動周期.

已知gaia的觀測年限為5 yr,故進(jìn)行傅里葉譜分析所選取的模型周期不應(yīng)該大于5 yr,否則無法觀測到一個完整周期的數(shù)據(jù);又根據(jù)奈奎斯特取樣定理,所選模型周期應(yīng)限制在2.5 yr內(nèi).此處,我們選取5.2節(jié)中所建立的模型進(jìn)行計算,圖3給出了A-3模型(任意選取)x、y方向誤差數(shù)據(jù)的分布及進(jìn)行傅里葉分析的結(jié)果,并將計算結(jié)果列于表6中.

表6 模型A-1、A-2、A-3進(jìn)行最小二乘擬合和傅里葉分析的結(jié)果Tab le 6 T he LSQ an d FFT resu lts of the m od els A-1,A-2,and A-3

圖3 模型A-3的x、y方向數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉分析的結(jié)果Fig.3 T he resu lts of x and y com p onen ts of the m odel A-3 with FFT

根據(jù)統(tǒng)計,LSQ和FFT均能實(shí)現(xiàn)觀測數(shù)據(jù)的周期分析.模型A的精確周期為730 d,3個子模型進(jìn)行FFT的結(jié)果分別為720 d、716.67 d和716.67 d,明顯要好于LSQ的結(jié)果.

對序列{xs(tj),ys(tj),j=1,2,···,k}在時間域上作平均,可以獲得如下關(guān)系式,假定已知行星質(zhì)量mp、恒星的平近點(diǎn)角M、恒星的升交點(diǎn)經(jīng)度?和恒星的近星點(diǎn)經(jīng)度ω,可以由上述3個約束關(guān)系式(21)–(23)式,近似給出恒星的軌道半長徑、偏心率和軌道傾角,這樣將對7維參數(shù)空間掃描問題降低到4維參數(shù)空間掃描,可以顯著提高計算效率.當(dāng)然,在由觀測時間序列計算上述平均值時,會產(chǎn)生計算誤差,將會直接影響到上述約束條件的精度.

7 多行星系統(tǒng)的計算

坐標(biāo)速度法可以作為天體測量法探測系外行星的基本方法,不僅是因?yàn)樗梢杂糜谛∑穆受壍烙嬎?而且較容易將其推廣到多行星系統(tǒng),求解各個行星的參數(shù)(位置、速度及質(zhì)量).下面僅推導(dǎo)由1顆恒星和2顆行星組成的三體系統(tǒng)中恒星觀測方程計算具體關(guān)系式,n體問題的推導(dǎo)思路類似.

建立如圖4所示慣性坐標(biāo)系,恒星與兩顆行星質(zhì)量分別為Ms、m1和m2,O為系統(tǒng)的質(zhì)量中心,空間位置矢量如圖所示.

圖4 三體運(yùn)動坐標(biāo)示意圖Fig.4 T he coord inate’s sketch of the th ree-body m otion

3個天體對應(yīng)的運(yùn)動方程為

因系統(tǒng)質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn),由質(zhì)心運(yùn)動定理知:

方程(25)左邊分別用η′(t)、ξ′(t)表示,可將其改寫為

由(24)–(25)式可求出行星運(yùn)動方程為

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程涉及到的初始條件為:當(dāng)t=t0時,

這里,H為3階單位矩陣.

8 結(jié)論與討論

本文基于天體測量法給出的恒星空間位置參數(shù)序列,討論了在求解行星質(zhì)量和軌道參數(shù)時涉及的動力學(xué)條件方程計算問題;對于采用Kepler軌道根數(shù)和采用坐標(biāo)速度描述形式分別給出了具體微分改正公式,同時也進(jìn)行了初步必要的仿真模擬計算;通過天體力學(xué)二體問題運(yùn)動關(guān)系式,對恒星空間位置時間序列做平均分析,推導(dǎo)出了待估參數(shù)間存在的3個約束條件關(guān)系式,可以顯著提升計算效率.

本文沒有對恒星自行和視差等天體測量參數(shù)做解算研究,以后若有實(shí)測數(shù)據(jù),可根據(jù)實(shí)際情況作具體處理:或單獨(dú)求解,或與行星軌道和質(zhì)量一起求解.

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(1 Shanghai A stronom ica l O bserva to ry,Chinese A cadem y of Scien ces,Shanghai 200030) (2 Schoo l of Physica l Scien ce an d Techno logy,ShanghaiTech Un iversity,Shanghai 201210) (3 K ey Labo ra to ry of P laneta ry Scien ces,Chinese A cadem y of Scien ces,Shanghai 200030) (4 Un iversity of Chinese A cadem y of Scien ces,Beijing 100049)

Aswe known,the exoplanetsaremostly detected by themethodsof radial velocity and transit,only one is found by the astrometric method.As the data of the gaia to be released,astrom etry w ill becom e one of themost im portantmethod for detecting exoplanets gradually.Based on the position sequence of stars,this paper discusses the calculation of the equations of dynam ics conditions involved in solving themass and the orbit parameters of the planet.Due to the deficiency of the available theory(orbital elem ent m ethod),we put forward a new m ethod(coordinate velocity method).The differential correction formulae of the twomethodsare presented,aswell as the necessary simulation.In addition,themethod established in this paper can be app lied to themulti-planet system easily.

exoplanet,astrometry,celestialmechanics:orbit calculation and determ ination,m ethods:data analysis

P135;

A

10.15940/j.cnki.0001-5245.2016.04.004

2015-12-08收到原稿,2016-03-04收到修改稿

?國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11133004)和中國科學(xué)院先導(dǎo)B項(xiàng)目(XDBO9000000)資助

?1143880832@qq.com

?xhliao@shao.ac.cn