何國亮， 張永三

(1.鄭州輕工業(yè)學院 數(shù)學與信息科學學院 河南 鄭州 450002；2.河南機電職業(yè)學院 人文與藝術設計系 河南 鄭州 451191)

Mikhauilov-Novikov-Wang方程族及其bi-Hamilton結(jié)構與守恒律

何國亮1， 張永三2

(1.鄭州輕工業(yè)學院 數(shù)學與信息科學學院 河南 鄭州 450002；2.河南機電職業(yè)學院 人文與藝術設計系 河南 鄭州 451191)

借助于零曲率方程得到了與3×3矩陣譜問題相聯(lián)系的Mikhauilov-Novikov-Wang方程族. 利用跡恒等式和兩個斜對稱算子, 建立了該族方程的bi-Hamilton結(jié)構. 從兩個線性譜問題出發(fā)給出了Mikhauilov-Novikov-Wang方程的無窮多守恒律.

Mikhauilov-Novikov-Wang方程族； bi-Hamilton結(jié)構； 守恒律

0 引言

五階偏微分方程[1-3]

ut=-uxxxxx+10uuxxx+25uxuxx-20u2ux

(1)

在物理和數(shù)學學科中發(fā)揮著重要作用. 方程(1)可以從如下的 Mikhauilov-Novikov-Wang (MNW) 方程得到(令v=0)[4]

ut=-uxxxxx+10uuxxx+25uxuxx-20u2ux+9vx,vt=3vuxxx-4u2vx+vxuxx-24uvux.

(2)

因此, MNW 方程的研究可以進一步加深對方程(1)的認識. MNW 方程最初由Mikhauilov、Novikov 和 Wang 通過對稱的方法給出，并且他們證明了該方程具有 bi-Hamilton 結(jié)構和遞歸算子. 通過考慮一個 3×3 的矩陣譜問題, 文獻[5] 給出了方程 (2) 的一個零曲率表示, 但并未考慮其相應的方程族與守恒率等可積系統(tǒng)的相關問題. 文獻[6]考慮了 MNW 方程的相應 Lie 代數(shù)，得到了 Lie 代數(shù)結(jié)構下的方程族及 bi-Hamilton 結(jié)構, 但是沒有給出方程的無窮守恒律. 本文從零曲率方程出發(fā), 得到了顯式的 V 的表示、局部遞歸算子和方程的無窮多守恒律. 這些性質(zhì)的取得為考慮方程的顯式解提供了思路和工具[7-8].

本文通過探討與 3×3 矩陣譜問題相聯(lián)系的零曲率方程，推導出 MNW 方程族，然后借助于該 3×3 矩陣譜問題, 給出該方程族的 bi-Hamilton 結(jié)構和方程 (2) 的無窮多守恒律. 本文通過引入Lenard遞歸方程, 得到了零曲率方程的解的表示,并借助于跡恒等式給出了 MNW 方程族的廣義 bi-Hamilton 結(jié)構. 通過考慮與方程 (2) 相關的兩個線性譜問題，得到了 (2) 式的無窮多守恒律.

1 Mikhauilov-Novikov-Wang方程族

推導與如下 3×3 矩陣譜問題相聯(lián)系的 MNW方程族

(3)

其中：u,v為位勢；λ為常值譜參數(shù). 為了推導相應的非線性演化方程族, 引入兩個Lenard遞歸方程:

(4)

(5)

(6)

現(xiàn)在來求解駐定零曲率方程

(7)

該方程等價于

V11,x-V21+uV12+(λ+λ-1v)V13=0；V12,x+V11-V22+uV13=0；V13,x+V12-V23=0；

V21,x+u(V22-V11)-V31+(λ+λ-1v)V23=0；V22,x+V21+uV23-uV12-V32=0；

V23,x-uV13-V33+V22=0；V31,x+(λ+λ-1v)(V33-V11)+u(V32-V21)=0；

V32,x-(λ+λ-1v)V12+u(V33-V22)+V31=0；V33,x-(λ+λ-1v)V13+V32-uV23=0.

(8)

其中:

(9)

KSj-1=JSj,j≥0,JS-1=0,

(10)

其中Sj=(aj,bj)T. 因方程JS-1=0的通解為

(11)

則由

(12)

定義的函數(shù)Sj滿足遞歸方程(10), 其中:α0、β0為任意常數(shù).

假設ψ滿足譜問題式(3) 和如下的輔助譜問題

(13)

(14)

該族非線性演化方程中第一個非平凡的方程為

(15)

如果令α0=9，β0=0，t0=t, 式(15)恰為要研究的方程 (2).

2 廣義bi-Hamilton結(jié)構

本節(jié)將通過跡恒等式來獲得式 (14) 的廣義bi-Hamilton結(jié)構[9-10]，其中跡恒等式為

先計算以下量

(16)

跡恒等式

(17)

其中γ為待定常數(shù), 比較(17)式中λ同次冪的系數(shù)可以得到

(18)

(19)

(20)

3 無窮多守恒律

Φxx+3ΦΦx+Φ3-2uΦ=λ+λ-1v+ux.

(21)

(22)

從輔助譜問題(13)式可得

(23)

(24)

如果同時把θ展開成λ的級數(shù)形式

(25)

從而可得θj的如下表示

(26)

具有多Hamilton結(jié)構或無窮多守恒量都是孤子方程可積的重要特征，利用依賴于譜參數(shù)的守恒密度的積分在約束條件下求泛函導數(shù)的方法可知，無窮多Hamilton泛函與無窮多守恒量之間具有一一對應的關系[11].

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[11]王燕. 一類孤立子系統(tǒng)的無窮守恒率及Hamilton結(jié)構[D]. 鄭州：鄭州大學，2006．

(責任編輯：方惠敏)

The Mikhauilov-Novikov-Wang Hierarchy,the bi-Hamiltonian Structures and the Conservation Laws

HE Guoliang1， ZHANG Yongsan2

(1.SchoolofMathematicsandInformationScience,ZhengzhouUniversityofLightIndustry,Zhengzhou450002,China; 2.DepartmentofHumanitiesandArtDesign,HenanMechanicalandElectricalVocationalCollege,Zhengzhou451191,China)

The Mikhauilov-Novikov-Wang hierarchy which associated with a 3×3 matrix spectral problem was proposed with the help of the zero-curvature equation. By using the trace identity and two skew-symmetric operators, the bi-Hamiltonian structures of the hierarchy were established. The infinite many conservation laws of the Mikhauilov-Novikov-Wang equation were obtained from two linear spectral problems.

Mikhauilov-Novikov-Wang hierarchy；bi-Hamiltonian structure；conservation laws

2015-11-16

國家自然科學基金資助項目(11501526)；鄭州輕工業(yè)學院博士基金資助項目(2013BSJJ051)．

何國亮(1983—)，男，河南鄭州人，副教授，博士，主要從事孤立子與可積系統(tǒng)研究，E-mail：glhemath@163.com；通訊作者：張永三(1982—)，男，河南平頂山人，講師，碩士，主要從事孤立子與可積系統(tǒng)研究，E-mail：zyslcczzy@126.com．

何國亮，張永三．Mikhauilov-Novikov-Wang方程族及其bi-Hamilton結(jié)構與守恒律[J]．鄭州大學學報(理學版)，2016，48(2)：1-4.

O175

A

1671-6841(2016)02-0001-04

10.13705/j.issn.1671-6841.2015263