肖賢偉

【摘 要】 模型思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛.通過(guò)模型思想的教學(xué)， 使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)模型、探索數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的過(guò)程， 從而使學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和技能解決實(shí)際問(wèn)題，達(dá)到提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)的目的.本文以“籃球比賽問(wèn)題”為例， 從問(wèn)題引入、解決、拓展、延伸等方面入手，就在教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)建模思想談?wù)剛€(gè)人的一些做法.

【關(guān)鍵詞】 教學(xué)實(shí)踐；籃球比賽；建模能力；應(yīng)用意識(shí)

隨著數(shù)學(xué)教學(xué)的不斷深入，重視數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力，已成為數(shù)學(xué)教育發(fā)展的趨勢(shì).因此，在日常數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)課本知識(shí)，將未經(jīng)簡(jiǎn)化抽象的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題帶到課堂上，使學(xué)生能運(yùn)用理解、觀察、比較、分析、綜合、歸納、抽象、概括等基本的數(shù)學(xué)思維方法，將實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后用數(shù)學(xué)方法求解模型，使問(wèn)題得到解答.本文以“籃球比賽問(wèn)題”為例，就其在教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)建模思想談?wù)剛€(gè)人的一些做法.

1 問(wèn)題引動(dòng)、喚起應(yīng)用意識(shí)

師：同學(xué)們喜歡籃球運(yùn)動(dòng)嗎？

眾生：喜歡.

師：本節(jié)課老師將與同學(xué)們一起來(lái)研究“籃球運(yùn)動(dòng)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題”，同學(xué)們加油啊！

問(wèn)題1 如圖1，一場(chǎng)籃球賽中，運(yùn)動(dòng)員小姚在距籃下4米處跳起投籃，籃球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí)，達(dá)最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈（不考慮打板入籃）.已知籃圈中心到地面的距離為3.05米.該運(yùn)動(dòng)員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問(wèn)球出手時(shí)他跳離地面的高度是多少？ 師：請(qǐng)同學(xué)們審題，尋求解決問(wèn)題的方法.

評(píng)析 問(wèn)題1中“距籃下4米處跳起投籃”，“籃圈中心到地面的距離為3.05米”，“球運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí)，達(dá)最大高度3.5米”，“問(wèn)球出手時(shí)他跳離地面的高度是多少”等數(shù)據(jù)貼近生活現(xiàn)實(shí)，源于自然生活的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，這對(duì)喜歡藍(lán)球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生來(lái)說(shuō)感覺相當(dāng)?shù)挠H近，自然，傾注人文關(guān)懷.這種源于自然生活的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題能喚起學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光審視生活，積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，嘗試用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想解決問(wèn)題的應(yīng)用意識(shí)和心理沖動(dòng)，培育了學(xué)生的數(shù)學(xué)敏感性和應(yīng)用意識(shí)，感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值和趣味性.

2 問(wèn)題解決、體驗(yàn)應(yīng)用過(guò)程

師：如圖1，請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合問(wèn)題1中的現(xiàn)實(shí)情境想一想，要解決問(wèn)題1需用什么數(shù)學(xué)知識(shí)？

生1（思考后）回答：籃球在空中運(yùn)行的路線是拋物線，可能會(huì)用到二次函數(shù)的知識(shí).

師：用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的思路是什么？

生2：“問(wèn)題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”.

評(píng)析 “用什么數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題1”，使學(xué)生都處于一種急于求成的興奮之中，由“籃球運(yùn)行的路線是拋物線”，學(xué)生自然而然地想到利用二次函數(shù)的知識(shí)可能會(huì)解決問(wèn)題1，從而確定解決問(wèn)題的思路和方法.

師：用二次函數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題1需要借助什么數(shù)學(xué)工具？

眾生：利用平面直角坐標(biāo)系.

師：同學(xué)們的想法很好！下面就請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)結(jié)合圖1中的關(guān)鍵點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.

師生活動(dòng)：學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)嘗試，教師巡視了解、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)情況（足夠?qū)W習(xí)時(shí)間后），收集、反饋、展示小組合作學(xué)習(xí)成果.

師：請(qǐng)各小組學(xué)生代表匯報(bào)展示本組合作學(xué)習(xí)成果.

生3：如圖2，我們小組交流得到以投籃者站立點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，這點(diǎn)與籃球架和地面接觸點(diǎn)中心的連線為橫軸建立平面直角坐標(biāo)系.

生4：如圖3，我們小組是以籃球在空中經(jīng)過(guò)的最高點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于地面的直線為橫建立平面直角坐標(biāo)系.

生5：如圖4，我們小組選擇的是以籃圈中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，與水平地面平行的直線為橫軸建立平面直角坐標(biāo)系.

師：以上各組在建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，從不同的角度選擇了不同的坐標(biāo)原點(diǎn)，這些想法都很好，接下來(lái)請(qǐng)說(shuō)說(shuō)確定籃球運(yùn)行路線（拋物線）的解析式的思路？

生6：如圖2：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，由題意可知點(diǎn)B（2.5，3.5）和C（4，3.05），點(diǎn)B又是拋物線的頂點(diǎn)，可通過(guò)建立方程組，確定二次函數(shù)的解析式.

生7：如圖3，坐標(biāo)原點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1.5，-3.5），通過(guò)建立方程組，可確定二次函數(shù)的解析式.

生8（其它組的學(xué)生）：點(diǎn)D的坐標(biāo)不正確，應(yīng)該是（1.5，-0.45）

師（對(duì)生8）：你能講一講理由嗎？

生8：點(diǎn)D的縱坐標(biāo)應(yīng)該是籃球的最高點(diǎn)到球圈中心的距離3.5-3.05.

師：很好！這位同學(xué)很細(xì)心，發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題，希望大家向他學(xué)習(xí).雖然前面的同學(xué)在計(jì)算點(diǎn)D的坐標(biāo)時(shí)沒算對(duì)，但他們的這種解題思路是獨(dú)到的.

生9：如圖4，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（-1.5，0.45），可確定二次函數(shù)的解析式.

評(píng)析 學(xué)生在面臨一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)，僅靠模仿、記憶等方式是很難解決的.在函數(shù)學(xué)習(xí)之前，學(xué)生對(duì)數(shù)與形的學(xué)習(xí)基本上是分開進(jìn)行的，只需要對(duì)數(shù)或形進(jìn)行單一的思維，即所謂“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.此時(shí)老師利用“形”的引入給學(xué)生研究問(wèn)題帶來(lái)了直觀的空間感受，讓學(xué)生說(shuō)出在小組合作學(xué)習(xí)中從不同的角度選擇坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系思路，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，不同坐標(biāo)系的建立讓每個(gè)學(xué)生都處于一種驚奇和不斷發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，并形成自已的解決問(wèn)題的基本策略.教師隨堂巡視、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)并收集、整理學(xué)生學(xué)習(xí)情況，展示小組合作學(xué)習(xí)成果，即使學(xué)生的計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤，教師也及時(shí)對(duì)學(xué)生“獨(dú)到的解題思路”給予鼓勵(lì)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心.較好地落實(shí)了《課程標(biāo)準(zhǔn)》“敢于發(fā)表自己的想法、勇于質(zhì)疑、敢于創(chuàng)新，養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度”的課程目標(biāo).

師：接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)說(shuō)怎樣求出“球出手時(shí)他跳離地面的高度”？

生10：根據(jù)前面建立的直角坐標(biāo)系，先確定拋物線的解析式，求點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后用點(diǎn)A的縱坐標(biāo)減去運(yùn)動(dòng)員小姚的身高.

師：說(shuō)得好！請(qǐng)同學(xué)們按照各組構(gòu)建的思路選擇合適的方法獨(dú)立求解.

全班學(xué)生獨(dú)立解題，教師任選三個(gè)學(xué)生分別根據(jù)圖2，圖3，圖4板書解題過(guò)程.

師：對(duì)比以上解法，說(shuō)說(shuō)你的想法.

生14：我認(rèn)為生11的解法比較繁，我的解法是：設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-2.5）2+3.5，解得：a=- 1 5 ，y=- 1 5 （x-2.5）2+3.5，當(dāng)x=0時(shí)，y=2.25，2.25-1.8-0.25=0.2，他跳離地面的高度是0.2米.

師：這位同學(xué)說(shuō)得很好，說(shuō)明他能認(rèn)真分析問(wèn)題，是大家應(yīng)該學(xué)習(xí)的.

生15：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒墒褂?jì)算簡(jiǎn)單.已知拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)為頂點(diǎn)形式，容易求拋物線的解析式.

生16：在建立直角坐標(biāo)系，求二次函數(shù)解析式時(shí)，選擇坐標(biāo)原點(diǎn)要注意，怎樣才能使運(yùn)算簡(jiǎn)便.我認(rèn)為，在這個(gè)問(wèn)題中，將坐標(biāo)系的原點(diǎn)選在拋物線頂點(diǎn)處，最好算.

評(píng)析 數(shù)學(xué)計(jì)算的教學(xué)中最大瓶頸就是怕耽誤教學(xué)時(shí)間，完不成教學(xué)任務(wù)，（特別是一些公開課、示范課、研討課）往往是將題目演算步驟由教師全包全攬，以上過(guò)程中教師順著學(xué)生的思路，恰當(dāng)?shù)靥幚碇v授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、自主計(jì)算、合作交流，同時(shí)在交流中進(jìn)一步理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，提高了學(xué)生的運(yùn)算能力.

3 問(wèn)題拓展、發(fā)展應(yīng)用意識(shí)

問(wèn)題2 這場(chǎng)籃球賽中，另一位運(yùn)動(dòng)員小蔡跳起投籃，如圖5，已知球出手時(shí)離地面高 20 9 米，與籃圈中心的水平距離為8米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時(shí)到達(dá)最大高度4米，問(wèn)此球能否投中？

圖5 師：請(qǐng)同學(xué)們類比問(wèn)題1的解題思路，構(gòu)建自己的解法.

生17（簡(jiǎn)要計(jì)算后）：先建立如圖6所示的平面直角坐標(biāo)系，已知拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A -4，- 16 9 ，判斷點(diǎn)（4，-0.95）是否在籃球運(yùn)行的拋物線上，如果在就能投中，如果不在就不能投中.

師：請(qǐng)你來(lái)寫出你的解題過(guò)程.

學(xué)生17（板書）：設(shè)解析式為y=ax2，于是16a=- 16 9 ，a=- 1 9 ，y=- 1 9 x2，當(dāng)x=4時(shí)，y=- 16 9 ，- 16 9 <-0.95，所以點(diǎn)（4，-0.95）不在拋物線上，因此不能投中.

師：這位同學(xué)的解法很好，還有補(bǔ)充的嗎？

生18：根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)（-4，- 16 9 ）的對(duì)稱點(diǎn)是（4，- 16 9 ）可知（4，-0.95）不在拋物線上，所以不能進(jìn)球（全班掌聲）.

師：假設(shè)出手的角度和力度都不變，則如何才能使此球投中？

生19（舉手）：可以跳高一點(diǎn).

師：對(duì)，可以跳高一點(diǎn)，實(shí)際上就是把拋物線沿著y軸向上平移，并用幻燈片演示（圖略），你能計(jì)算出可以跳高多少嗎？

生19：跳起的高度為 49 225 米.

生20：我覺得可以朝著籃球架的方向走一點(diǎn)，我不知道怎么算.

生21：可先計(jì)算縱坐標(biāo)為3.05-4時(shí)的橫坐標(biāo)，再求4和這個(gè)數(shù)的差就行了.

師：同學(xué)們，你們認(rèn)為這位同學(xué)的計(jì)算方法正確嗎？生眾：正確.

師強(qiáng)調(diào)：朝前走一點(diǎn)，實(shí)際是就是把拋物線向右平移（并用幻燈片演示（圖略）），這一過(guò)程再一次驗(yàn)證了二次函數(shù)y=ax2，y=a（x+m）2，y=a（x+m）2+n的聯(lián)系.

評(píng)析 問(wèn)題2承接問(wèn)題1，又有變化，不是作簡(jiǎn)單的模仿，特別是利用點(diǎn)的坐標(biāo)是否在拋物線上來(lái)檢驗(yàn)進(jìn)球與否，體現(xiàn)了用數(shù)學(xué)的理念，使應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)模型思想得到了進(jìn)一步的拓展.對(duì)投藍(lán)不進(jìn)作進(jìn)一步的探究，看似簡(jiǎn)單自然，卻意味深長(zhǎng)，老師巧妙的設(shè)問(wèn)，讓學(xué)生在不知不覺中復(fù)習(xí)了拋物線是軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，以及圖形的平移，使知識(shí)結(jié)構(gòu)體系渾然一體，從數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4 總結(jié)回顧，升華應(yīng)用意識(shí)

師：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決實(shí)際問(wèn)題方面有什么收獲與感想？

生22：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，知道了在解決現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題求解.

師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合自已解決問(wèn)題1的經(jīng)歷說(shuō)說(shuō)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程.

學(xué)生議論后你一言我一語(yǔ)回答（過(guò)程略）.

師（概括）：從思維層面上講，尋找解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程（思路）有以下幾個(gè)層次：

第一層次：通過(guò)生活現(xiàn)實(shí)關(guān)注來(lái)源于自然、社會(huì)中更為廣泛的現(xiàn)象和具體的“問(wèn)題情境”，感受生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化，明確解決問(wèn)題的基本策略.

第二層次：在“問(wèn)題解決的過(guò)程中”主動(dòng)嘗試用不同的方法“建立模型”，“求解驗(yàn)證”形成解決問(wèn)題的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

第三層次：通過(guò)“問(wèn)題的拓展”和總結(jié)回顧，回歸生活的本來(lái)面目，實(shí)現(xiàn)了由數(shù)學(xué)看現(xiàn)實(shí)，由現(xiàn)實(shí)想數(shù)學(xué)的思維方式的提升.

評(píng)析 從學(xué)生的總結(jié)看，這節(jié)課，學(xué)生獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和應(yīng)用意識(shí).通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)生活化，體會(huì)數(shù)學(xué)方法對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中現(xiàn)象的解釋，意識(shí)到用數(shù)學(xué)的角度看世界，喚起學(xué)生欲發(fā)現(xiàn)、想探究、思創(chuàng)造的愿望.

課后感悟 二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)課程體系中占據(jù)重要的位置，也是數(shù)學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)多、綜合性強(qiáng).讓學(xué)生應(yīng)用二次函數(shù)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題，變抽象為現(xiàn)實(shí)，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的出發(fā)點(diǎn).本節(jié)課用生活中人們司空見慣的藍(lán)球運(yùn)動(dòng)為題材，貼近學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，使生活走向數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)依托于生活，顯得自然而然、水到渠成，沒有突兀之感，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的親和力.它還具有降低學(xué)生心理預(yù)期難度的作用，源于數(shù)學(xué)來(lái)自身邊，自然生成一種諧和的安全心理，使數(shù)學(xué)不再可怕.日本數(shù)學(xué)家米三國(guó)臧說(shuō)過(guò)：“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后，很快就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問(wèn)題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終生受益”.這種數(shù)學(xué)的精神就是我們所說(shuō)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這種回歸數(shù)學(xué)素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，就是我們數(shù)學(xué)教育的理想.