苗恩銘　劉　義　高增漢　劉　輝

合肥工業(yè)大學(xué)，合肥，230009

數(shù)控機(jī)床溫度敏感點變動性及其影響

苗恩銘劉義高增漢劉輝

合肥工業(yè)大學(xué)，合肥，230009

摘要：數(shù)控機(jī)床熱誤差補償技術(shù)中的核心問題是建立能夠反映機(jī)床溫升與熱誤差之間的數(shù)學(xué)模型，其精度和穩(wěn)健性則取決于模型自變量能否準(zhǔn)確地反映機(jī)床溫度場分布特性，即溫度敏感點選擇結(jié)果是否準(zhǔn)確和穩(wěn)定。通過對Leaderway-V450型數(shù)控加工中心主軸Z向的多批次空轉(zhuǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，溫度敏感點存在變動性特征，導(dǎo)致自變量間多重共線性程度發(fā)生變化，進(jìn)而對模型的預(yù)測精度和穩(wěn)健性產(chǎn)生嚴(yán)重影響。由于主成分回歸算法具有消除自變量共線性影響作用，故提出采用該算法進(jìn)行建模，并通過實際機(jī)床進(jìn)行實踐檢驗。結(jié)果表明，采用主成分回歸算法建模，顯著降低了溫度敏感點變動性對模型預(yù)測精度的影響，能保證模型具有很好的預(yù)測精度和穩(wěn)健性。

關(guān)鍵詞：數(shù)控機(jī)床；溫度敏感點；多重共線性；主成分回歸

0引言

在數(shù)控機(jī)床加工過程中，機(jī)床各部件不均衡溫升引起的熱誤差使得刀具和工件之間的相對正確位置發(fā)生了變化，從而造成零件的加工誤差。據(jù)統(tǒng)計，數(shù)控機(jī)床熱誤差約占總誤差的50%～70%[1-2]。通過應(yīng)用設(shè)計和制造技術(shù)改進(jìn)床身結(jié)構(gòu)的硬件補償方法，不僅成本高，而且效果并不十分理想。因此，對數(shù)控機(jī)床熱誤差軟件補償技術(shù)進(jìn)行研究具有重要意義[3]。

在數(shù)控機(jī)床軟件熱誤差補償技術(shù)中，核心問題是建立預(yù)測精度高、穩(wěn)健性強(qiáng)的數(shù)學(xué)模型[4]。目前國際上通常是在數(shù)控機(jī)床上布置大量的溫度傳感器，通過建立傳感器溫度變量與機(jī)床熱誤差的函數(shù)關(guān)系來建立數(shù)控機(jī)床熱誤差補償模型[5]。這就要求溫度傳感器的安放位置既能最大限度地反映溫度場的分布特性，又能保證各傳感器之間具有較低的共線性干擾以實現(xiàn)模型的穩(wěn)健性預(yù)測，這些位置稱之為溫度敏感點[6]。近年來，科研人員對溫度敏感點的選擇進(jìn)行了大量研究。Attia等[7]采用有限元方法分析機(jī)床整體溫度場，并將溫度場劃分為多個比較規(guī)則的單元，通過溫度場仿真和相關(guān)性選擇，預(yù)測溫度測點的最優(yōu)數(shù)量和最佳分布。Lo等[8-9]對溫度傳感器進(jìn)行分組搜索、尋優(yōu)，利用相關(guān)性分組、典型變量搜索和分組搜索等方法，達(dá)到優(yōu)化溫度測點分布的目的。Lee等[10]采用相關(guān)系數(shù)和線性回歸相結(jié)合的方法對溫度變量進(jìn)行優(yōu)化，以最小殘差平方和作為選擇溫度變量的依據(jù)，有效地減少了建模所需的溫度測點。楊建國等[11]提出了數(shù)控機(jī)床熱誤差分組優(yōu)化建模方法；苗恩銘等[12-13]利用模糊聚類結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度的方法對溫度敏感點進(jìn)行了相關(guān)研究。

上述研究中均假設(shè)溫度敏感點具有穩(wěn)定性，即對于同一臺數(shù)控加工中心，根據(jù)在此機(jī)床上得到的多組實驗數(shù)據(jù)，其溫度敏感點計算結(jié)果均一致。然而數(shù)控機(jī)床是一個復(fù)雜的裝配體結(jié)構(gòu)，實際運作時，溫度敏感點能否在環(huán)境溫度及主軸轉(zhuǎn)速等加工參數(shù)變化狀態(tài)下仍保持穩(wěn)定，如果溫度敏感點發(fā)生變動，是否會對模型精度產(chǎn)生影響，這些均未見相關(guān)文獻(xiàn)報道。

筆者按照ISO 230-3-2001《機(jī)床檢驗通則 第3部分：熱效應(yīng)的確定》的規(guī)定，在Leaderway-V450型數(shù)控機(jī)床主軸空轉(zhuǎn)時進(jìn)行了多批次實驗。采用模糊聚類結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度的方法分析各批次數(shù)據(jù)的溫度敏感點，根據(jù)各批次數(shù)據(jù)的敏感點變量建立回歸模型，并對模型精度及穩(wěn)健性進(jìn)行分析。計算結(jié)果證明，不同批次數(shù)據(jù)的溫度敏感點并不完全相同，且根據(jù)敏感點變量建立的補償模型預(yù)測穩(wěn)健性較差。因此，如何在溫度敏感點變動的狀態(tài)下，仍保持模型預(yù)測精度的穩(wěn)健性，是數(shù)控機(jī)床熱誤差建模技術(shù)中的重要問題。

為解決上述問題，需要從溫度敏感點選擇與機(jī)床熱變形模型預(yù)測性能的關(guān)系上進(jìn)行分析。溫度敏感點變動會實質(zhì)造成模型自變量間的共線性發(fā)生變化，進(jìn)而對模型的預(yù)測精度產(chǎn)生影響，也使得熱誤差模型的預(yù)測穩(wěn)健性降低。為此，本文提出具有消除共線性影響功能的主成分回歸(PCR)建模方法，并結(jié)合實際機(jī)床熱誤差空轉(zhuǎn)數(shù)據(jù)對其進(jìn)行精度檢驗，驗證了該方法的可行性。

1主成分回歸

主成分回歸[14]是利用原自變量的主成分代替原自變量作回歸分析的一種多元統(tǒng)計方法。由于各主成分間互不相關(guān)，且保留了原指標(biāo)的絕大部分信息，因此利用主成分回歸可以有效地解決回歸分析中自變量共線性問題。主成分回歸方法的具體步驟如下：

(1)

其中，u1,u2,…,uk為X*的相關(guān)系數(shù)矩陣的特征向量。

(2)根據(jù)累積貢獻(xiàn)率選擇主成分的個數(shù)。第g個主成分的累積貢獻(xiàn)率Vccg為

(2)

通常所取的g滿足Vccg≥85%。

(3)將標(biāo)準(zhǔn)化的被解釋變量關(guān)于主成分Z1,Z2…,Zg進(jìn)行回歸，得

(3)

系數(shù)βi與原回歸模型參數(shù)bi間的關(guān)系為

(4)

其中,sy、si分別為原始數(shù)據(jù)y和xi的標(biāo)準(zhǔn)差，由此得原回歸模型：

2數(shù)控機(jī)床熱誤差實驗設(shè)計

2.1實驗裝置

本文以Leaderway-V450型數(shù)控加工中心熱誤差為研究對象。由于該機(jī)床的X向和Y向為近似對稱結(jié)構(gòu)，相對于Z向，其熱變形量較小，并且三軸的數(shù)據(jù)處理方式相同，故本文僅以該機(jī)床的主軸Z向熱變形為研究對象，論述溫度敏感點變動性對模型影響特征。各傳感器的安放位置及作用如表1所示，溫度傳感器和電感測微儀具體分布位置如圖1所示。

表1　傳感器安放位置及作用

圖1　溫度傳感器和電感測微儀的安放位置

2.2實驗計劃

本文按照ISO230-3-2001規(guī)定，實驗采用空轉(zhuǎn)方式運行，對不同季節(jié)進(jìn)行了多組數(shù)據(jù)采樣。測量時，溫度和熱誤差同步測量。溫度測量通過數(shù)字傳感器DS18B20(測量精度為±0.2 ℃，最高分辨率達(dá)0.0625 ℃)進(jìn)行。實驗采用電感位移傳感器對Z向熱誤差進(jìn)行測量，電感式位移傳感器的測量精度為±0.5μm。實驗過程中，工作臺保持不動，主軸以恒定轉(zhuǎn)速(1000r/min、2000r/min、3000r/min、4000r/min)轉(zhuǎn)動，每隔3min采集一次溫度和熱誤差數(shù)據(jù)，持續(xù)時間在4h以上。實驗數(shù)據(jù)參數(shù)如表2所示，K1～K7批次數(shù)據(jù)的熱誤差數(shù)據(jù)如圖2所示。

表2　實驗數(shù)據(jù)參數(shù)

圖2　K1～K7批次的熱誤差數(shù)據(jù)

3溫度敏感點變動性及其影響

3.1溫度敏感點變動性分析

采用模糊聚類結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度的方法[12-13]計算K1～K7批次數(shù)據(jù)的溫度敏感點，結(jié)果如表3所示。由表3可知，K1、K2、K4、K5、K6批次數(shù)據(jù)的溫度敏感點位置在主軸前軸承和主軸電機(jī)位置處，但K3批次數(shù)據(jù)的溫度敏感點都在主軸電機(jī)處，K7批次的溫度敏感點在主軸前軸承和機(jī)床外殼(T10)處。各數(shù)據(jù)的溫度敏感點計算結(jié)果不完全相同，即熱誤差補償模型所依據(jù)的溫度敏感點位置存在變動性特征。

表3　溫度敏感點計算結(jié)果

經(jīng)分析，溫度敏感點變動性直接來源于數(shù)控機(jī)床熱源的波動性，其變動性規(guī)律尚缺少研究。影響熱源波動性的因素較為復(fù)雜，與機(jī)床結(jié)構(gòu)特性、工作參數(shù)變化、環(huán)境溫度等密切相關(guān)。那么，溫度敏感點位置的變動是否對回歸模型精度產(chǎn)生影響呢？需要展開討論。

3.2溫度敏感點變動對模型精度影響

實際數(shù)控機(jī)床熱誤差補償應(yīng)用時，常根據(jù)一次實驗測量數(shù)據(jù)建立補償模型，故模型自變量應(yīng)為各數(shù)據(jù)自身的敏感點變量。

以各數(shù)據(jù)的敏感點變量為模型自變量，分別建立K1～K7批次數(shù)據(jù)的多元線性回歸(MLR)模型。K1～K7批次數(shù)據(jù)的MLR模型分別如下：

(5)

式中，ΔTi為溫度傳感器Ti的溫度值增量；yi為Ki批次數(shù)據(jù)的模型熱誤差預(yù)測值。

根據(jù)上述建立的K1～K7批次數(shù)據(jù)的MLR模型，對K1～K7批次數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合及預(yù)測精度分析，如表4所示。其中，擬合精度是指根據(jù)歷史數(shù)據(jù)所建立的模型，對建模的歷史數(shù)據(jù)的偏離程度的評價。預(yù)測精度是指根據(jù)歷史數(shù)據(jù)所建立的模型，對未參與建模的歷史數(shù)據(jù)的偏離程度的評價[12-13]。表4中，Mi(i=1,2,…,7)為根據(jù)Ki批次數(shù)據(jù)建立的MLR模型；黑體數(shù)字為模型擬合標(biāo)準(zhǔn)差，非黑體數(shù)字為模型預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差。

表4　MLR模型擬合及預(yù)測效果　μm

由表4可知，MLR模型的擬合標(biāo)準(zhǔn)差分布范圍為0.67～2.17 μm,預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差的分布范圍為2.54～36.61 μm。由于建模時使用的是各批次數(shù)據(jù)自身的敏感點變量，故模型的擬合精度非常高；而模型的預(yù)測精度時高時低，預(yù)測穩(wěn)健性不強(qiáng)，則是由于預(yù)測數(shù)據(jù)的溫度敏感點發(fā)生了變動，導(dǎo)致模型自變量多重共線性發(fā)生變化，對模型的預(yù)測穩(wěn)健性產(chǎn)生了嚴(yán)重影響。因此需要采用一種數(shù)學(xué)算法來控制敏感點變動性造成的模型預(yù)測精度損失。

主成分回歸算法可消除自變量共線性影響，故下文將利用該算法建立熱誤差模型，并對其模型精度進(jìn)行分析。

4主成分回歸建模及精度分析

4.1主成分回歸建模

首先介紹主成分回歸算法的計算步驟。

R的特征值和特征向量如表5所示。

表5　特征值和特征向量

根據(jù)式(1)得到主成分Z1和Z2的表達(dá)式分別為

(6)

由式(2)求主成分Z1和Z2的累計貢獻(xiàn)率分別為96.325%和100%，可知，Z1的累積貢獻(xiàn)率達(dá)到96.3250%≥85%，故取主成分個數(shù)g=1。

(7)

方程中只包含一個主成分，不存在共線性問題。當(dāng)方程中存在多個主成分時，通過計算也會發(fā)現(xiàn)，這些主成分之間具有不相關(guān)性。

將式(6)中第一式代入式(7)得

(8)

根據(jù)式(4)將式(8)還原到原始數(shù)據(jù)y1關(guān)于ΔT1、ΔT8的主成分回歸方程：

y1=11.8384+1.5252ΔT1+1.9669ΔT8

(9)

重復(fù)上述步驟，計算得到K2～K7批次數(shù)據(jù)的PCR模型如下:

(10)

4.2PCR模型精度分析

根據(jù)上述建立的K1～K7批次數(shù)據(jù)的PCR模型，對K1～K7批次數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合及預(yù)測精度分析，結(jié)果如表6所示。表6中，Mi(i=1,2,…,7)為根據(jù)Ki批次數(shù)據(jù)建立的PCR模型(為便于下文的比較，本文將根據(jù)Ki批次數(shù)據(jù)建立的MLR模型和PCR模型均取名為Mi)；黑體數(shù)字為模型擬合標(biāo)準(zhǔn)差，非黑體數(shù)字為預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差。

表6　PCR模型擬合及預(yù)測效果　μm

由表6可知，PCR模型的擬合標(biāo)準(zhǔn)差分布范圍為2.33～5.07 μm，預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差分布范圍為2.56～12.45 μm。

4.3PCR和MLR模型精度的綜合比較

通過對表4和表6中的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步分析，得到K1～K7批次數(shù)據(jù)的MLR模型和PCR模型的擬合效果和預(yù)測效果，如表7所示。其中，S為評判擬合精度的參數(shù)，其值越小，說明模型擬合精度越高；Mn為評判預(yù)測精度平均水平的參數(shù)，其值越小，說明模型的平均預(yù)測精度越高；Sd為評判預(yù)測精度離散程度的參數(shù)，其值越小，說明模型預(yù)測的穩(wěn)健性越強(qiáng)。Mn、Sd的計算式分別為

式中，sri(i=1,2,…,6)為各模型的6個預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差。

表7　模型擬合及預(yù)測效果分析　μm

將表7中數(shù)據(jù)以二維直方圖形式表示，分別如圖3～圖5所示。

圖3　MLR模型和PCR模型的擬合效果比較

圖4　MLR模型和PCR模型的預(yù)測效果均值比較

圖5　MLR模型和PCR模型的預(yù)測效果標(biāo)準(zhǔn)差比較

綜合表7和圖3～圖5，得到MLR模型和PCR模型的擬合效果范圍、預(yù)測效果均值范圍和預(yù)測效果標(biāo)準(zhǔn)差范圍如表8所示。

表8　模型擬合效果及預(yù)測效果范圍　μm

由表8可知，PCR模型的整體擬合效果低于MLR模型的整體擬合效果，但PCR模型的整體預(yù)測效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于MLR模型的整體預(yù)測效果。究其原因，是因為主成分回歸算法消除了自變量間共線性影響，很好地抑制了敏感點變動對模型預(yù)測穩(wěn)健性產(chǎn)生的影響，使得模型精度和預(yù)測穩(wěn)健性大幅度提高，但其算法本身的訓(xùn)練精度要稍微低于MLR算法，所以模型擬合精度略低。

然而實際機(jī)床熱誤差補償應(yīng)用時，是利用事先計算好的數(shù)學(xué)模型對之后的機(jī)床運行狀態(tài)進(jìn)行補償，因此更偏重模型預(yù)測效果的好壞。故溫度敏感點發(fā)生變動時，主成分回歸算法可以明顯降低其對模型精度影響，保證模型具有較好的預(yù)測精度和穩(wěn)健性。

5結(jié)論

(1)本文對Leaderway-V450數(shù)控加工中心主軸Z向進(jìn)行了多組熱誤差空轉(zhuǎn)實驗，并采用模糊聚類結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度的方法對溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行了溫度敏感點分析。結(jié)果表明，熱誤差補償模型所依據(jù)的溫度敏感點位置存在變動性特征，造成模型自變量間多重共線性發(fā)生變化。通過多元回歸模型的精度分析，驗證了溫度敏感點變動會嚴(yán)重影響模型的預(yù)測穩(wěn)健性。

(2)考慮到多重共線性對回歸分析有嚴(yán)重影響，故本文提出采用具有消除共線性影響功能的主成分回歸建模方法，并通過實際機(jī)床空轉(zhuǎn)數(shù)據(jù)給予驗證。結(jié)果表明，采用主成分回歸算法建模，顯著降低了溫度敏感點變動對模型穩(wěn)健性精度的影響。

本文結(jié)論只針對Leaderway-V450型數(shù)控加工中心，而對不同類型數(shù)控機(jī)床并未給予深入研究，故實驗結(jié)果具有一定局限性。

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(編輯蘇衛(wèi)國)

Variability of Temperature-sensitive Points and Its Influences for CNC Machine Tools

Miao EnmingLiu YiGao ZenghanLiu Hui

Hefei University of Technology,Hefei,230009

Abstract：In thermal error compensation technology on CNC machine tools, the core issue was to establish mathematical model which might reflect the relationship between incremental temperature and thermal errors of the machine, and the accuracy and robustness of model depended on whether model’s independent variables could reflect the temperature field distribution of CNC accurately, in other words, whether the temperature-sensitive points were accurate and stable. The variability of temperature-sensitive points was proved by analyzing batches of experimental data of air cutting experiments on Leaderway-V450 machine tool spindle Z direction, so it changed the degree of multi-collinearity among temperature variables, caused a serious impact on model’s forecasting accuracy and robustness. Since PCR algorithm might eliminate the influences of multi-collinearity among variables, the modeling method was proposed based on PCR algorithm. And this method was used to practice tests through the experiments of actual machine. The results show, PCR model reduces the effects of changes in temperature-sensitive points on model’s forecasting accuracy significantly, and the model has good forecasting accuracy and robustness.

Key words:CNC machine tool; temperature-sensitive point; multi-collinearity; principal component regression(PCR)

收稿日期：2015-04-20

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助重大項目(51490660，51490661)；國家自然科學(xué)基金資助項目(51175142，E051102)

中圖分類號：TG502.15; TH161

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.03.001

作者簡介：苗恩銘，男，1971年生。合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向為精密機(jī)械工程、精度理論、數(shù)控機(jī)床熱誤差補償、機(jī)械熱魯棒性結(jié)構(gòu)設(shè)計理論與應(yīng)用技術(shù)。出版專著1部，發(fā)表論文50余篇。劉義，男，1994年生。合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院碩士研究生。高增漢，男，1990年生。合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院碩士研究生。劉輝，男，1991年生。合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院碩士研究生。