路　陽

(北京農(nóng)學(xué)院,北京 昌平　102206)

非水平直圓管中黏性流體層流流量公式的推導(dǎo)及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

路陽

(北京農(nóng)學(xué)院,北京 昌平102206)

摘 要：通過牛頓粘滯定律和修正后的伯努利方程對非水平直圓管中黏性流體作層流運(yùn)動(dòng)時(shí)的流量公式進(jìn)行了推導(dǎo)。指出將泊肅葉公式中的壓強(qiáng)視作廣義壓強(qiáng)，則文中的推導(dǎo)公式與泊肅葉公式完全一致。說明泊肅葉公式可以用來求解非水平直圓管中黏性流體作層流運(yùn)動(dòng)時(shí)的流量。本文通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了推導(dǎo)公式。

關(guān)鍵詞：粘性流體；層流；流量公式推導(dǎo)；實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在大學(xué)物理學(xué)中，流體力學(xué)部分的重點(diǎn)內(nèi)容之一是關(guān)于不可壓縮的粘性流體作層流運(yùn)動(dòng)時(shí)的流量的討論，一些教材[1-6]以水平直圓管中粘性流體作層流運(yùn)動(dòng)時(shí)為例推導(dǎo)了流量公式，即泊肅葉公式。但并未說明非水平直圓管中的流量如何計(jì)算。

查閱文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)有些文獻(xiàn)[7-10]強(qiáng)調(diào)泊肅葉公式只適用于水平直圓管的粘性流體的流量計(jì)算；但有的文獻(xiàn)[11]認(rèn)為泊肅葉公式既適用于水平直圓管也適用于非水平直圓管。

本文通過牛頓粘滯定律和修正后的伯努利方程對非水平直圓管中黏性流體作層流運(yùn)動(dòng)時(shí)的流量公式進(jìn)行了推導(dǎo)，并用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了推導(dǎo)公式。

1非水平直圓管中黏性流體層流流量公式的推導(dǎo)

圖1是半徑為R的直圓管，其軸線與水平面成任意角。管中有不可壓縮的粘性流體作層流運(yùn)動(dòng)。在管中選取與管同軸的半徑為r，厚度為dr的單位長度的圓管狀流體元，對該流體元流動(dòng)中的能量進(jìn)行分析。根據(jù)修正的伯努力方程[12]，流體元中單位體積的流體在始末位置處的總能量有如下關(guān)系

(1)

圖1　直圓管流體層流分析圖

(1)式中角標(biāo)1，2分別表示流體元的初始位置和末位置，P代表流體壓強(qiáng)，ρ表示流體密度，v是流動(dòng)速度，h是流體元相對重力勢能零勢能面的高度，w是單位體積的流體流動(dòng)中損耗的能量，g為重力加速度。當(dāng)管中流體作定常流動(dòng)，且流管各處粗細(xì)均勻，根據(jù)流體連續(xù)性原理，有v1=v2。(1)式可整理為

w=(P1-P2)+ρg(h1-h2)=(P1+ρgh1)-(P2+ρgh2)

(2)

由(2)式可知，圖1中的研究對象“單位長度的流體元”在始末位置間損耗的總能量為

E=w2rdr

(3)

上式中η表示流體粘度。根據(jù)功能原理，流體元在流動(dòng)中損耗的總能量等于其流動(dòng)中受到的摩擦力做的總功。于是有

E=W

(4)

考慮到r=0時(shí)上式也成立，故c=0。得到

(5)

(5)式是直圓管中半徑為r的流層的流動(dòng)速度，由此式可以得出半徑為R，長度為L的直圓管中粘性流體作層流運(yùn)動(dòng)時(shí)的流量Q為

(6)

將(2)式代入(6)式，得到

(7)

將(7)式中(P+ρgh)視為廣義壓強(qiáng)[10]，即流體壓強(qiáng)與單位體積流體的重力勢能之和，用符號P′表示廣義壓強(qiáng)，(7)式可改寫為

(8)

(8)式給出了與水平方向成任何角度的直圓管中不可壓縮粘性流體作層流時(shí)的流量計(jì)算公式，式中的壓強(qiáng)為廣義壓強(qiáng)。(8)式與教材中的泊肅葉公式形式是一致的，只是公式中的壓強(qiáng)含義有所不同。教材中泊肅葉公式中的壓強(qiáng)為單純的流動(dòng)中的壓強(qiáng)，而推導(dǎo)出的公式(8)中的壓強(qiáng)為廣義壓強(qiáng)。當(dāng)直圓管水平放置時(shí)，流體運(yùn)動(dòng)過程中重力勢能不變，(8)式中的廣義壓強(qiáng)P’就等于流動(dòng)中的壓強(qiáng)P，此時(shí)(8)式與教材中的泊肅葉公式完全一致。

由上述推導(dǎo)可知，只要將泊肅葉定律中的壓強(qiáng)視為廣義壓強(qiáng)，則泊肅葉公式既可用于水平狀態(tài)直圓管的流量計(jì)算也可用于非水平狀態(tài)的直圓管的流量計(jì)算。

2非水平直圓管中粘性流體層流流量公式的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本實(shí)驗(yàn)中以室溫下的自來水作為粘性流體。圖2是實(shí)驗(yàn)的裝置簡圖。裝置主要由兩部分組成，①是恒水位槽，它由透明容器、進(jìn)水管和溢水管組成；②是內(nèi)半徑R為1 mm，長度L為50 cm的細(xì)管。管的一端與恒水位槽連接，另一端對準(zhǔn)一容器，管中水流質(zhì)量可通過稱量容器中承接的水的質(zhì)量來確定。恒水位槽下方共安裝了長度相同、內(nèi)徑相同的6根細(xì)管(圖中未將其全部畫出)，它們分別被固定在一豎直平面的不同位置上，與水平面方向分別成90°、75°、60°、45°、30°和15°。

保持恒水位槽中的水位高度H不變，分別采集1 min內(nèi)與水平面成不同傾角的細(xì)管中的水流，稱其質(zhì)量，得到表1中的數(shù)據(jù)。

2.1細(xì)管中流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的確定

利用表1中與水平方向成90°角的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，計(jì)算該細(xì)管中水流狀態(tài)的雷諾數(shù)。該細(xì)管中1 min內(nèi)水流平均質(zhì)量為118.94 g，則1 s內(nèi)水的體積流量為

由上述討論可知，與水平方向成小于90°的其它細(xì)管中的水的流動(dòng)狀態(tài)也一定為層流。說明我們的實(shí)驗(yàn)是在粘性流體作層流運(yùn)動(dòng)下進(jìn)行的。

圖2　實(shí)驗(yàn)裝置簡圖

表1　與水平方向成不同角度θ的細(xì)管中

2.2流量與細(xì)管傾角關(guān)系的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本實(shí)驗(yàn)裝置中，恒水位槽的橫截面積遠(yuǎn)大于細(xì)管的橫截面積，所以圖2中細(xì)管兩端的廣義壓強(qiáng)之差可表示為

ΔP′=ρgH+ρgLsinθ

(9)

上式中L為細(xì)管長度，θ為細(xì)管與水平面夾角。又因?yàn)榧?xì)管長度遠(yuǎn)大于細(xì)管內(nèi)徑，細(xì)管中水流狀態(tài)為層流，所以細(xì)管中的流量可以用推導(dǎo)出的公式(8)求解。根據(jù)(8)式，1 min內(nèi)細(xì)管中的水流質(zhì)量可表達(dá)為

(10)

(10)式中t為時(shí)間。

根據(jù)(10)式，若保持ρ、t、R、η、L、H不變，則水流質(zhì)量m與sinθ應(yīng)成線性關(guān)系。

根據(jù)表1中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，做出水流質(zhì)量m與細(xì)管傾角正弦sinθ的關(guān)系圖，如圖3所示。

圖3　細(xì)管傾角與水流質(zhì)量關(guān)系圖

從圖3中可以看到，當(dāng)sinθ較小時(shí)，m與sinθ能保持較好的線性關(guān)系，這與推導(dǎo)公式(10)相符。但是，當(dāng)θ大于60°以后，m與sinθ偏離了線性關(guān)系。這是因?yàn)閷D2中細(xì)管兩端的廣義壓強(qiáng)之差表達(dá)為(9)式時(shí)，忽略了恒水位槽中水流運(yùn)動(dòng)時(shí)的損耗功及運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)能。

設(shè)圖2中C點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)，對圖2中A、B兩點(diǎn)列修正的伯努力方程

(11)

則B、C兩點(diǎn)的廣義壓強(qiáng)之差為

(12)

(12)式中動(dòng)能項(xiàng)和損耗功w是隨流動(dòng)速度的增大而增大的，因此它們是H和θ的正相關(guān)函數(shù)。當(dāng)H保持不變時(shí)，若θ較小，此兩項(xiàng)的和也較小，可以將其忽略不計(jì)，(12)式化為(9)式，水流質(zhì)量m與細(xì)管傾角正弦sinθ成線性關(guān)系，如(10)式所示；當(dāng)θ增大時(shí)，此兩項(xiàng)的和增大到不能被忽略，將(12)式代入公式(8)，有

(13)

(13)式可以解釋在圖3中θ增大后m與sinθ失去線性關(guān)系的原因。

上述討論說明，如果精確測量了流管兩端的廣義壓強(qiáng)差，我們推導(dǎo)出的公式(8)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是相符的。

2.3流量與水位高度H關(guān)系的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

以傾角為15°的細(xì)管為實(shí)驗(yàn)對象，在保持管內(nèi)流動(dòng)為層流的前提下，改變恒水位槽中的水位高度值，選取7個(gè)不同的H，采集1 min內(nèi)細(xì)管的水流質(zhì)量，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表2。根據(jù)表2的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到水流質(zhì)量m和水位高度H的關(guān)系圖，見圖4。

表2　不同水位高度時(shí)15°傾角細(xì)管中

圖4　水位高度與水流質(zhì)量關(guān)系圖

由圖4可以看到，水流質(zhì)量m和水位高度H成很好的線性關(guān)系。這是因?yàn)樵?5°傾角的細(xì)管中,對于不同數(shù)值的水位高度H，管中的流動(dòng)速度都比較小，所以恒水位槽中水流運(yùn)動(dòng)時(shí)的損耗功及動(dòng)能項(xiàng)對流量的影響可以忽略不計(jì)。

由實(shí)驗(yàn)求得的水流質(zhì)量m和水位高度H的關(guān)系再次證明我們的推導(dǎo)公式是正確的。

3結(jié)論

本文通過牛頓粘滯定律和修正后的伯努利方程對非水平直圓管中黏性流體作層流運(yùn)動(dòng)時(shí)的流量公式進(jìn)行了推導(dǎo)。將導(dǎo)出公式中的流體壓強(qiáng)和單位體積流體的重力勢能兩項(xiàng)合在一起稱為廣義壓強(qiáng)，則本文的導(dǎo)出公式與泊肅葉公式形式完全一致。說明將泊肅葉公式中的壓強(qiáng)視作廣義壓強(qiáng)，該公式也適用于非水平狀態(tài)的直圓管中黏性流體的流量問題。

本文對非水平直圓管中黏性流體作層流運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與推導(dǎo)公式相符。

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The Derivation of Viscous Fluid Flow Formula and Experimental Verification in Non-Horizontal Straight Round Tube

LU Yang

(Beijing University of Agriculture,Beijing 102206)

Abstract：According to the Newton’s law of viscosity and modified Bernouli equation,a flow formula of laminar flow of viscous fluid in non-horizontal straight round tube is derivate.When the pressure in Poiseuille formula is regarded as generalized pressure,the derivation formula is just Poiseuille formula.The derivation formula is proved by experiments.

Key words：viscous fluid；flow formula；derivation；experimental verification

收稿日期：2015-11-07

文章編號：1007-2934(2016)02-0030-04

中圖分類號：O 4-34

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.002.008