王　琳,王雅婧

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030013)

?

*1耦合邊界條件下Sturm-Liouville問題特征值更精細(xì)的漸近式

王琳,王雅婧

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030013)

〔摘要〕文章運(yùn)用《常微分算子譜論》中同階無窮小的比較,給出了耦合邊界條件下的Sturm-Liouville問題特征值的更精細(xì)的漸近估計(jì).

〔關(guān)鍵詞〕Sturm-Liouville問題;特征值;漸近式

0引言

對(duì)于Sturm-Liouville問題已經(jīng)有了大量研究,文獻(xiàn)[1-3] 得出Sturm-Liouville問題存在可數(shù)個(gè)實(shí)的單重特征值,并且給出特征值及特征函數(shù)的漸近式.

文獻(xiàn)[4-5]分別給出了分離邊界條件及耦合邊界條件下Sturm-Liouville問題特征值及特征函數(shù)的較精細(xì)的漸近式.本文將在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上運(yùn)用同階無窮小的比較,給出耦合邊界條件下Sturm-Liouville問題特征值的漸近式(比文獻(xiàn)[5]的結(jié)果更精細(xì)).

1預(yù)備知識(shí)

對(duì)于耦合邊界條件下的Sturm-Liouville問題:

(1)

其中a,b,c,d,θ∈R,且ad-bc=1.

當(dāng)勢(shì)函數(shù)越光滑時(shí),得到的漸近式的結(jié)果將會(huì)越精細(xì).

設(shè)φ(x,λ),ψ(x,λ)分別為下面兩個(gè)柯西問題的解:

記λ=s2,s=σ+it,則有:

當(dāng)q∈C1[0,π]時(shí),

引理3[5]當(dāng)b≠0時(shí),S-L問題(1)的特征值sn的漸近式為:

2b≠0時(shí),Sturm-Liouville問題(1)特征值的漸近式

當(dāng)q∈C3[0,π]時(shí),可以得到比引理3更精細(xì)的結(jié)論:

定理當(dāng)b≠0時(shí),S-L問題(1)的特征值sn的漸近式為:

證明由邊界條件得2cosθ+Acossπ+(bs+B)sinsπ=0,其中

將引理2中得到結(jié)論代入引理1可得:

將上面得到的φ(x,λ),ψ(x,λ)代入A,B,則:

于是,利用三角函數(shù)二倍角公式可得,

將上述結(jié)論代入2cosθ+Acossπ+(bs+B)sinsπ=0,令sn=n+δn,利用余弦函數(shù)的泰勒展式及引理3的結(jié)論,可得

所以特征值

參考文獻(xiàn)：

[1]劉景麟.常微分算子譜論[M].北京:科學(xué)出版社,2009:52-60

[2]袁小平.混合自伴邊條件下的正則Sturm-Liouville問題[J].內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1990,21(1):35-41

[3]曹之江.常微分算子[M].上海:上?？萍汲霭嫔?1987

[4]陳莉敏.Sturm-Liouville算子特征值與特征函數(shù)更精確的估計(jì)[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,34(3):12-14

[5]王琳,高云蘭,姜朝宇.耦合邊界條件下Sturm-Liouville問題特征值與特征函數(shù)的漸近式[J].內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,30(2):102-107

[6]陳莉敏.Sturm-Liouville算子特征值與特征函數(shù)的精確解[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012(1):155-157

[7]KONG Q,WU H,ZETTL A.Limits of Sturm-Liouville eigenvalues when interval shrinks to an end point [J].Royal Soc.Edinburgh Proc:A,2008,138(2):328-338

The Exact Asymptotic Formula of Eigenvalues of Sturm-Liouville Problems with Coupled Boundary Conditions

WANG Lin, WANG Yajing

(College of Mathematics in Shanxi University, Taiyuan 030013, China)

〔Abstract〕The problem of asymptotic formulas of eigenvalues of Sturm-Liouville problems with coupled boundary conditions was studied. It used the method of comparation of the same order infinitesimal, which has been used on Spectral theoryof ordinary differential operators. (The conclusion is more exact than ever).

〔Key words〕Sturm-Liouville problem; eigenvalue; asymptotic formula

*收稿日期：2015-11-14

基金項(xiàng)目：山西省煤基重點(diǎn)科技攻關(guān)項(xiàng)目(MD2014-6).

作者簡(jiǎn)介：王琳(1986-),女,山西臨汾人,碩士,山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院助教,主要從事微分算子研究.

〔文章編號(hào)〕1672-2027(2016)01-0023-03〔中圖分類號(hào)〕O175. 3

〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕A