□浙江省寧波市鄞州區(qū)古林職業(yè)高級中學　王炳炳

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中職數(shù)學概念教學的“生動”課堂因生而“動”
——“任意角的概念”教學案例與分析

□浙江省寧波市鄞州區(qū)古林職業(yè)高級中學王炳炳

【摘要】數(shù)學概念教學的引入要注重學生的生活經(jīng)驗與已有知識的聯(lián)系，教學環(huán)節(jié)的設計應符合學生的心理需求、認知特征和學習水平，讓學生在自然狀態(tài)下體驗、感悟概念學習的概括、抽象過程，從而有效地促進學生學習能力的提升。

【關(guān)鍵詞】概念教學任意角三角函數(shù)

高教版《數(shù)學（基礎模塊）上冊》第五章第一節(jié)第一課時是“任意角的概念”。這是對初中所學角的概念的推廣，是一節(jié)概念課。按傳統(tǒng)的教法往往是老師將所有的概念直接呈現(xiàn)出來，讓學生記憶，并不關(guān)注這節(jié)概念課在后續(xù)的“三角函數(shù)”這一章中的重要作用。過去講這節(jié)課，直接給出任意角的概念，再給出象限角、界限角、終邊相同角等概念，讓學生記住這些概念，再講例題和習題加以應用。在課堂上常常是老師一講到底，學生如同木偶一般任老師擺布，課堂上昏昏欲睡，只把這節(jié)課的內(nèi)容當作任務來完成。筆者對這一節(jié)概念課的引入作了認真研究，首先通過生活實例和專業(yè)情境的展示，引發(fā)學生的認知沖突，然后通過具體的例子，將初中角的概念推廣到任意角，在此基礎上啟發(fā)學生終邊相同角的集合表示，為第二課時的學習作鋪墊，讓學生體會到把角推廣到任意角的必要性，引出角的概念推廣問題。筆者借助于這節(jié)課題，對概念教學作了如下探討，以求教于同行。

一、概念的引入，源于生活情境

師：請同學們回憶初中是如何定義角的？

生1：有公共端點的兩條射線組成的幾何圖形叫做角。（靜態(tài)定義）

師：我們以前所學的角中，銳角、直角、鈍角、平角、周角，它們的大小分別在什么范圍？

生2：銳角是大于0°小于90°；直角是等于90°；鈍角是大于90°小于180°；平角是等于180°；周角是等于360°。

師：我們以前所學的角都是在［0°，360°］范圍里，那么生活中的角是不是都在這個范圍呢？（教師出示鐘作為教具）現(xiàn)在是北京時間8點40分，老師手里的時鐘才6點40分，請撥動分針調(diào)整到正確時間。請思考兩個問題：（1）分針在運動過程中是否形成角；（2）若形成角，在旋轉(zhuǎn)過程中轉(zhuǎn)了幾度？（請學生通過教具演示后回答）

生3：根據(jù)已學的知識，成角的過程是運動的，無法找到兩條靜止的射線，所成角超過了初中的認知范圍［0°，360°］。

師：鑒于初中角的狹隘性，那么有必要將角的概念推廣到任意角的范圍了。（板書課題）

【評析】這個過程主要通過讓學生動手演示觀察，激發(fā)學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。這樣既引出了本課的新知識，又培養(yǎng)了學生探究新知的能力，讓每個學生懂得如何去發(fā)現(xiàn)問題。

二、概念的形成，體現(xiàn)探究歷程

師：角的定義：一條射線由位置OA繞端點O按順時針（或逆時針）旋轉(zhuǎn)到另一個位置OB的圖形。旋轉(zhuǎn)開始位置的射線OA叫做始邊；終止位置的射線OB叫做終邊；端點O叫做頂點。現(xiàn)在是北京時間8點55分，再次調(diào)整時間，觀察旋轉(zhuǎn)成角的方向。（請學生通過教具演示，分針按順時針旋轉(zhuǎn)，不小心將分針撥過了頭，抓住錯誤時機，請問將分針撥回來所成角的方向）

生4：分針撥回來所成角是按逆時針方向旋轉(zhuǎn)而成的。

師：好！同學們觀察得非常仔細。那么，這樣的區(qū)別在我們的身邊是否還存在呢？

（搬出事先準備好的儀器，邀請兩個學生動手演示，分別擰緊和擰松螺絲，并要求其他學生觀察）

【評析】此過程與學生專業(yè)實踐緊密結(jié)合，不但操作學生可以非常輕松地完成擰螺絲的任務，而且臺下學生也能很快理解該過程，達到預定效果，使學生親身體驗正負角的差異性，同時有效地調(diào)動了課堂氣氛。

師：不同的旋轉(zhuǎn)方向，大小相同的角是否相同呢？

生5：因為方向不同，所以角也不相同。

師生共同討論，得出正、負、零角的定義：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角，叫做正角；按順時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角，叫做負角；當射線沒作任何旋轉(zhuǎn)所成的角，叫做零角。用角的頂點或頂點與邊的字母表示角，記作“∠O”或“∠AOB”，也用小寫希臘字母α、β、γ…來表示角。

師：我們知道了任意角的概念，理解了正、負、零角，那么該如何來研究它呢？

生6：通過平面直角坐標系。

師：非常好！上一章我們學習了函數(shù)，知道函數(shù)的圖象都是通過平面直角坐標系來研究的，那么角也將利用這個工具來研究。

師生共同討論，得出象限角的概念：將角的頂點和坐標原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，角的終邊在第幾象限，就把這個角叫做第幾象限的角（或說這個角在第幾象限）。（教師強調(diào)判斷象限角中需注意兩重一看）

師：下面做一道習題，考察同學們掌握的情況。如圖，判斷角的正負及第幾象限角？

【評析】前面一氣呵成完成了三個知識點，學生容易產(chǎn)生一定的疲勞。所以，界限角的推出是通過一道例題來完成。這樣的目的是在檢驗學生前面知識點的同時，讓學生在例題中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，從而自然過渡到界限角，整個過程強調(diào)了學生的主動積極性，流暢有效。

三、概念的理解，引發(fā)課堂競技

把班級學生分成A、B兩隊，設置隊長，進行課堂競技，并評選出本節(jié)課的最佳團隊。

師：同學們一定都看過東方衛(wèi)視的《頭腦風暴》節(jié)目，老師也為大家設計了知識競技場，共分3個環(huán)節(jié)。第一環(huán)節(jié)，基礎知識必答，每組派3人參加，回答3道基礎題；第二環(huán)節(jié)，限時知識搶答，具有一定的難度，檢驗學生應變能力及思維的靈活性；第三環(huán)節(jié)，動態(tài)創(chuàng)新課堂，請每隊派一個代表來完成一項任務，先小組討論，然后用肢體語言（可借助其他工具）表達給出的各角。

【評析】課堂競技是本節(jié)課強調(diào)的一個核心環(huán)節(jié)，這里引入了東方衛(wèi)視的《頭腦風暴》欄目，目的有三：（1）激發(fā)學生興趣，使學生能有效融入課堂；（2）突出學生的動手能力，強化數(shù)學與實踐的有機結(jié)合，改變教條的數(shù)學學習模式；（3）培養(yǎng)學生團隊精神與合作意識，加強職業(yè)素養(yǎng)。

四、概念的應用，回歸習題演練

師：子曰：學而時習之，不亦說乎。通過前面的學習和訓練，同學們已經(jīng)掌握了本堂課的核心知識點，下面將通過習題來鞏固本節(jié)課所學。（習題分為選擇、填空和黑板演示題，學生獨立完成練習，教師巡視指導，具體過程略）

【評析】習題鞏固的目的非常明確，分兩個層次：（1）讓學生自我檢查，查漏補缺；（2）通過教師巡查和學生黑板演示，使教師了解本節(jié)課教學效果。

五、概念的延伸，凸顯思維拓展

師：子曰：學而不思則罔，思而不學則殆。如圖，紅色線為某角的終邊，請問是第幾象限角，若為第一象限角平分線，再問該角幾度？（請學生小組討論）

生7：（1）第一象限的角；（2）雖然可知終邊是第一象限的角平分線，但以旋轉(zhuǎn)成角的性質(zhì)，無法確定是逆或順時針，也無法確定旋轉(zhuǎn)了幾圈，所以該角無法確定。

師：非常好，這就是我們下節(jié)課要學習的“終邊相同的角”，請同學做好課后的預習。

【評析】本環(huán)節(jié)思維拓展主要是以學生討論的形式初步了解終邊相同的角。此過程可以總結(jié)本堂課的基礎知識點，也能夠拓寬學生思維，為下節(jié)課的學習埋下伏筆。

六、概念教學反思，感悟課堂真諦

1.讓學生感覺概念引入，起點自然。概念不是憑空產(chǎn)生的想象物，數(shù)學基礎性的概念一般都具有豐富的現(xiàn)實原型，這些現(xiàn)實原型需要用數(shù)學概念來描述與刻畫。而準確形象的刻畫，不僅是數(shù)學本身的需要，也是學生學習數(shù)學的心理需求。在概念引入的教學中，學生的心理需求越迫切，概念引入的效果就越好。在本案例中，以時鐘為教具，從調(diào)整時間的生活情境引入，讓學生馬上發(fā)現(xiàn)角的大小有超過360°的及旋轉(zhuǎn)方向的不同，自然引發(fā)出角的概念推廣的必要性。這樣的探究顯得樸素自然，讓學生在直觀的動手演示中，體現(xiàn)了生活現(xiàn)象與數(shù)學知識結(jié)合的自然，獲取的是學生心理邏輯的自然，為學生的學習創(chuàng)設了欲知不得、欲罷不忍的學習情境，激發(fā)了學生的探究積極性。

2.讓學生感知概念形成，過程自然。概括是數(shù)學概念形成的重要過程。在這個過程中，要從現(xiàn)有情境問題中概括出本質(zhì)特征，并把本質(zhì)特征用精確的數(shù)學語言加以描述，教學設計必須為學生概括數(shù)學概念做好鋪墊。如從螺絲擰緊和擰松的過程中，概括出正、負、零角的定義，又借助平面直角坐標系這一工具，研究概括了象限角和界限角的概念。在這些概念的形成過程中，由于教者為學生精心設計臺階，搭建思維的腳手架，使得學生結(jié)合專業(yè)實際參與概括才有可能。當然，學生的概括或許不到位、不精確。此時，師生可以一起討論，共同修正。在概括過程中，教師不能急于求成，更不能成為學生的代勞者，要傾聽學生的心聲。教師的引導不能過于直白，要留一點機會給學生，以求概括過程的真實自然。這樣的形成過程，體現(xiàn)了認知邏輯的順序自然。在這個過程中，學生獲取的是循序漸進概括的機會，實實在在經(jīng)歷著任意角概念的形成過程，感受著“上坡不見坡”的心理愉悅，提升了概括水平和歸納能力。

3.讓學生感受概念理解，生動自然。概念表述的嚴謹是數(shù)學學科的特點之一。為了讓學生充分動起來，理解任意角的概念，設置了課堂競技和練習鞏固，讓學生在動口、動手、動腦的課堂氛圍中正確理解數(shù)學概念，這既需要正例的鞏固，也需要反例的凈化。在概念理解的過程中運用恰當?shù)恼梢宰寣W生剔除概念的非本質(zhì)屬性，把握其本質(zhì)屬性，概括形成概念；同時，通過反例可以讓學生換一個角度剔除概念的非本質(zhì)屬性，不僅可以彌補正例教學的不足，而且可以提升學生的思辨能力，從而獲取對數(shù)學概念的本質(zhì)理解。

4.讓學生感悟概念學習，樸素自然。樸素的才是自然的，真實的才是永恒的。滿足學生心理需求和符合學生認知規(guī)律與思想水平的教學，才是合情合理的，有生命力的。設計這樣的教學過程，才是真情的數(shù)學活動過程。心理學研究表明：知識不是老師教會的，而是學生通過接受老師傳遞的信息自己領悟的。由此可見，教會學生學習比單純傳授知識更重要。因此，在概念教學的設計過程中要把實驗與觀察、類比與比較、分析與綜合、具體與抽象、一般與特殊、猜想與辨析等思維活動真切地還給學生，讓學生體驗概念學習就是把一些特定的數(shù)學對象通過去粗取精、去偽存真的思維加工，通過“樸素直觀”到“精致抽象”的過程，讓學生感悟到概念學習的理解過程自然，方法成于自然，應用回歸自然，思路來得自然。只有這樣，概念教學活動的過程才會因?qū)W生的主動參與和勇于探索而顯得真實自然。

總之，在概念課的教學中，要合理有效地選擇教學手段和教學方法，要實現(xiàn)課堂教學從“灌輸式”到“引導發(fā)現(xiàn)式”的轉(zhuǎn)變，以教師提出問題、學生探究解決問題為途徑，以相互補充展開教學，總結(jié)科學合理的知識體系，形成師生之間的良性互動，提高課堂教學效率。這也體現(xiàn)了當今職業(yè)教育所倡導的“為學生的專業(yè)發(fā)展和終身發(fā)展服務”的教育理念。

【參考文獻】

［1］涂榮豹.數(shù)學教學認識論［M］.南京：南京師范大學出版社，2003.

［2］程新展.數(shù)學概念教學的十種常用策略［J］.中國數(shù)學教育（高中版），2010（4）：13-14.