李　瑩 ，周文書

(1.北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏 銀川750021；2.大連民族大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連116605)

?

Gray-Scott模型非常值正穩(wěn)態(tài)解的不存在性

李瑩1,2，周文書2

(1.北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏 銀川750021；2.大連民族大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連116605)

摘要：研究了具Neumann邊界條件的Gray-Scott模型非常值正穩(wěn)態(tài)解的不存在性。首先,借助于極值原理、Harnack不等式和先驗估計技巧，得到了正解的上、下界；其次，利用積分平均方法，推導(dǎo)出了一個新的積分恒等式；最后，利用上述結(jié)果并結(jié)合Poincaré不等式，給出了不存在非常值正解的若干充分條件。

關(guān)鍵詞：Gray-Scott模型；穩(wěn)態(tài)解；不存在性

考慮如下穩(wěn)態(tài)Gray-Scott模型的Neumann邊值問題：

(1)

簡單的計算表明，若F≥4(F+k)2，則問題(1)存在兩個正常數(shù)解，分別記為(u1，v1)和(u2，v2)，其中

彭銳和王明新在文獻[7]中給出了關(guān)于問題(1)不存在非常值正解的兩個充分條件：

(i)μ1d2+F+k>2a+(2a+a2)2/F；

(ii)μ1d1+F>(2a+a2)/(4ε)，μ1d2+F+k>2a+ε，

此處，a=max{d1/d2,F/(F+k)}，ε>0， μ1是算子-Δ在Ω上滿足齊次Neumann邊界條件的最小正特征值。最近，他們在文獻[8]中又給出了問題(1)不存在非常值正解的兩個充分條件：

定理1

(i)設(shè)N≤3，那么存在一個僅依賴于F，N，k和Ω的常數(shù)d*>0，使當d2>d*時問題(1)不存在非常值正解。

根據(jù)定理1中的(ii)可知：存在一個僅依賴于F，N，k和Ω的常數(shù)d*>0，使當d2>d*時，問題(1)沒有非常值正解。因此，這個結(jié)果補充了文獻[7-8]中的相應(yīng)結(jié)果。

為證明定理1的需要，這里不加證明地引入如下兩個基本引理：

引理2(Harnack不等式[10])設(shè)c∈Lq(Ω)，q>N/2，如果v∈W1，2(Ω)是邊值問題

Δv+c(x)v=0x∈Ω，?vv=0x∈?Ω，

接下來的引理給出了問題(1)正解的上、下界。

(2)

(3)

于是

(4)

將問題(1)的第一個方程在Ω上積分，得

(5)

(6)

式(6)蘊含

于是

(7)

問題(1)中的第二個方程可寫成如下形式：

-Δv=c(x)v x∈Ω，?vv=0 x∈?Ω，

如果N≤3，由引理2可知，存在一個常數(shù)C1=C1(F,K,k,d,Ω)≥1，使得

(8)

聯(lián)立式(4)、式(7)和式(8)可得式(3)。

(9)

直接計算得

(10)

聯(lián)立式(10)與問題(1)中的第二個方程，得

(11)

將式(11)兩邊乘u，然后在Ω上積分，得

(12)

聯(lián)立式(12)與式(9)并利用式(4)，得

(13)

另一方面，將問題(1)中的第二個方程兩邊乘vn-1(n=1，2，3，…)，然后在Ω上積分，得

(14)

將式(14)與式(13)聯(lián)立，得

(15)

由式(14)得

(16)

將式(16)與式(15)聯(lián)立，得

(17)

當n=1時，利用式(5)，得

通過歸納，可由式(17)推得

(18)

由式(18)和式(4)，得

引理3證畢。

定理1的證明設(shè)(u,v)是問題(1)的一個正解。令

(19)

(20)

由引理3知：若d2≥1，則存在兩個僅依賴于F，K，N，k和Ω的正常數(shù)C1和C2，使得

(22)

因此，對于d2≥1，存在一個僅依賴于F，K，N，k和Ω的正常數(shù)C3，使得

(23)

再通過式(22)和Poincaré不等式知：存在一個僅依賴于F，K，N，k和Ω的正常數(shù)C4，使得

(24)

將式(23)和式(24)代入式(21)得

(25)

定理1證畢。

參考文獻：

[1]PEARSONJE.Complexpatternsinasimplesystem[J].Science, 1993, 261: 189-192.

[2]MURATOVCB,OSIPOVVV.StaticspikeautosolutionsintheGray-Scottmodel[J].JournalofPhysicsA-MathematicalandGeneral, 2000, 33: 8893-8916.

[3]HALEJK,PELETIERLA，TROYWC.ExacthomoclinicandheteroclinicsolutionsoftheGray-Scottmodelforautocalysis[J].SIAMJournalonAppliedMathematics, 2000, 61：102-130.

[4]AISB.HomoclinicsolutionstotheGray-Scottmodel[J].AppliedMathematicsLetters, 2004,17: 1357-1361.

[5]MCGOUGHJS,KILEYK.PatternformationintheGray-Scottmodel[J].NonlinearAnalysis:RealWorldApplications, 2004, 5: 105-121.

[6]KOLOKOLNIKOVAT,WARDAMJ，WEIJC.Theexistenceandstabilityofspikeequilibriaintheone-dimensionalGray-Scottmodel:Thepulse-splittingregime[J].PhysicaD, 2005, 202：258-293.

[7]PENGR,WANGMX.OnpatternformationintheGray-Scottmodel[J].ScienceinChinaSeriesA:Mathematics, 2007, 50(3): 377-386.

[8]PENGR,WANGMX.SomenonexistenceresultsfornonconstantstationarysolutionstotheGray-Scottmodelinaboundeddomain[J].AppliedMathematicsLetters, 2009, 22: 569-573.

[9]LIEBERMANGM.BoundsforthesteadystateSel'KovModelforarbitrarypinanynumberofdimensions[J].SIAMJournalMathematicsAnalysis, 2005, 36(5): 1400-1406.

[10]LOUY,NIWM.Diffusion,self-diffusionandcross-diffusion[J].JournalofDifferentialEquations, 1996, 131: 79-131.

(責任編輯鄒永紅)

Nonexistence of Positive Nonconstant Stationary Solutions for the Gray-Scott Model

LI Ying1,2， ZHOU Wen-shu2

(1.School of Mathematics and Information Sciences, Beifang University of Nationalities,Yinchuan Ningxia 750021, China; 2.School of Science, Dalian Minzu University,Dalian Liaoning 116605, China)

Abstract:This paper is devoted to the nonexistence of positive nonconstant stationary solutions for the Gray-Scott model with Neumann boundary conditions. Firstly, the upper and lower bounds of positive solutions for the problem are obtained by means of Maximal principle, Harnack inequality and a prior estimating techniques. Secondly, a new integral identity of positive solutions is established by integral mean method. Finally, through Poincaré inequality and the results above, some sufficient conditions of nonexistence of positive solutions are given.

Key words:Gray-Scott model; stationary solution; nonexistence

收稿日期：2015-12-02；最后修回日期：2016-03-17

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(11571062); 遼寧省優(yōu)秀人才支持計劃(LJQ2013124); 中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金資助項目(DC201502050202)。

作者簡介：李瑩(1989-)，女，黑龍江七臺河人，大連民族大學(xué)與北方民族大學(xué)聯(lián)合培養(yǎng)碩士研究生，主要從事非線性偏微分方程研究。通訊作者：周文書(1974-)，男，黑龍江齊齊哈爾人，教授，博士，主要從事偏微分方程研究，E-mail:wolfzws@163.com。

文章編號：2096-1383(2016)03-0233-04

中圖分類號：O175.2

文獻標志碼：A