秦川，馮建中，李小飛，3

Pascu類亞純雙單葉函數(shù)的系數(shù)估計

秦川1，馮建中2，李小飛2，3

(1.長江大學工程技術(shù)學院，湖北荊州434020;2.長江大學信息與數(shù)學學院，湖北荊州434000; 3.澳門大學科技學院，澳門519020)

定義2類在Δ={z:z∈C，1＜|z|＜+∞}內(nèi)的Pascu類亞純雙單葉函數(shù)類Mσ(γ，λ，α)和Nσ(γ，λ，β)，利用亞純函數(shù)理論，得到它的系數(shù)|b0|、|b1|的邊界估計，推廣了已有的部分結(jié)論.

亞純;雙單葉;星象函數(shù);凸函數(shù)

1 預備知識

設(shè)A表示在單位圓盤U={z:z∈C，|z|＜1}內(nèi)解析且滿足

的函數(shù)族，S表示A中的單葉函數(shù)族.稱f(z)分別為β階星象函數(shù)和β階凸函數(shù)，若滿足下面的條件:

β階星象函數(shù)類和β階凸函數(shù)類分別記為S*(β)和K(β).易知，f(z)∈K(β)當且僅當zf'(z)∈S*(β).稱S*(0)=S*和K(0)=K分別為星象函數(shù)族和凸函數(shù)族.稱f(z)為β階α凸Pascu類函數(shù)，記為M(α，β)，當f(z)滿足

容易知道，若f(z)∈M(α，β)當且僅當αzf'(z)+(1－α)f(z)∈S*(β).注意到，M(0，β)=S*(β)，M(1，β) =K(β).函數(shù)類M(α，β)由文獻［1－4］引入并被多次研究其系數(shù)問題.

對任意具有(1)式的函數(shù)f(z)∈S均存在逆函數(shù)f－1(w)定義為:f－1(f(z))=z，f(f－1(w))=w(|w |＜r0(f);r0(f)≥1/4)，這里函數(shù)f(z)∈A稱為U內(nèi)的雙單葉函數(shù)當且僅當f(z)和f－1(w)均為U內(nèi)的單葉函數(shù)，現(xiàn)記Σ表示U內(nèi)具有(1)式的雙單葉函數(shù)族.對于f(z)∈Σ，M.Lewin［5］證明了|a2|＜1.51，D.A.Brannan等［6］證明了|a2|≤，E.Netanyahu［7］證明了max|a2| =4/3，同時還有很多研究者對雙單葉函數(shù)族的子族類的系數(shù)|a2|及|a3|的上界、邊值問題、逆函數(shù)等進行了研究(參見文獻［8－12］).

S.Bulut［13］介紹了亞純雙單葉函數(shù)的概念:記Δ={z:z∈C，1＜|z|＜+∞}，用σ表示Δ內(nèi)全體形如(3)式的亞純單葉函數(shù)g(z)的集合

由于g∈σ為單葉函數(shù)，存在逆函數(shù)g－1定義為: g－1(g(z))=z，g(g－1(w))=w(M＜|w|＜+∞;M＞0).現(xiàn)假設(shè)g－1具有如下表達式

稱g∈σ為亞純雙單葉函數(shù)當且僅當g和g－1均為Δ內(nèi)的亞純單葉函數(shù)，并用σM表示亞純雙單葉函數(shù)族.通過計算，得到g－1的表達式為

M.Schiffer［14］證明了當b0=0時亞純雙單葉函數(shù)的系數(shù)|b2|≤2/3，P.L.Duren［15］證明了當bk=0(1≤k≤n/2)時亞純雙單葉函數(shù)的系數(shù)|bn|≤2/(n +1)，眾多作者開始研究一些有趣的亞純雙單葉函數(shù)類(參見文獻［16－19］).本文定義2類新的Δ內(nèi)的Pascu類亞純雙單葉函數(shù)類，通過亞純函數(shù)的性質(zhì)研究得到了函數(shù)類系數(shù)|b0|、|b1|的邊界.

定義1.1設(shè)g(z)∈σM由(3)式定義，稱g(z)∈Mσ(γ，λ，α)，若g(z)滿足

定義1.2設(shè)g(z)∈σM由(3)式定義，稱g(z)∈Nσ(γ，λ，β)，若g(z)滿足

注意到，本文定義的函數(shù)類Mσ(γ，λ，α)是以下一些函數(shù)子類的推廣:

1)Mσ(0，0，α)=Σ～*(α)為亞純雙單葉α階強星象函數(shù)，Nσ(0，0，α)=Σ*(β)為亞純雙單葉α階星象函數(shù)，由S.G.Hamidi等［20］定義，并研究了函數(shù)類的系數(shù)的上界;

2)Mσ(1，1，α)=珘K(α)為亞純雙單葉β階強凸函數(shù)，Nσ(1，1，α)=K(β)為亞純雙單葉β階凸函數(shù)，由T.Janani等［21］定義，并研究了函數(shù)類的前2項系數(shù)估計;

3)Mσ(0，λ，α)=Mσ(λ，α)，Nσ(0，λ，β)= Mσ(λ，β)由S.Bulut［13］定義并研究了首項系數(shù)的上界.

2 主要結(jié)論

下文中均假設(shè)參數(shù)滿足條件0≤γ≤1，0≤λ≤1，0≤β＜1.為了得到我們的結(jié)論，需要用到下面引理2.1和引理2.2.

引理2.1［22］記P為U內(nèi)的正實部函數(shù)，若h(z)∈P，且具有形式

則|ck|≤2，k=1，2，….

假設(shè)d(z)為Δ內(nèi)的正實部函數(shù)，即Re d(z)＞0，則d(1/z)為U內(nèi)的正實部函數(shù)，即Re d(1/z)＞0，由引理2.1有:

引理2.2若d(z)為Δ內(nèi)的正實部函數(shù)，且具有形式

則|dk|≤2，k=1，2，….

定理2.1設(shè)g(z)∈Mσ(γ，λ，α)由(3)式定義，則

證明由g(z)∈Mσ(γ，λ，α)的定義，可知存在Δ內(nèi)的正實部函數(shù)p(z)、q(w)滿足

這里p(z)和q(w)具有下述形式

將(7)和(8)式代入(5)和(6)式，比較兩邊的常數(shù)項和負一次項得

由(9)、(11)式得

對(14)式利用引理2.2得

由(10)式加(12)式得

對(16)式利用引理2.2得

比較(15)和(17)式得

為了得到|b1|的上界，用(10)式減(12)式，再結(jié)合(13)式得

利用引理2.2得

另一方面，將(10)、(12)式平方相加得

將(14)式代入(20)式得

由引理2.2得

將(16)式代入(20)式，利用同樣的方法得

綜合(19)、(21)和(22)式得

定理2.2設(shè)g(z)∈Nσ(γ，λ，β)由(3)式定義，則

證明由g(z)∈Nσ(γ，λ，β)的定義，存在Δ內(nèi)的正實部函數(shù)p(z)、q(w)滿足

這里p(z)、q(w)分別具有(7)、(8)式.將(7)、(8)式代入(23)、(24)式，比較兩邊的常數(shù)項和負一次項得

由(25)和(27)式得

對(30)式利用引理2.2得

由(26)式加(28)式得

對(32)式利用引理2.2得

比較(31)和(33)式得

為了得到|b1|的不等式，用(26)式減(28)式得

利用引理2.2得

另一方面，用(26)式乘以(28)式得

即

將(30)式代入(35)式得

由引理2.2得

將(32)代入(35)式，利用同樣的方法得

綜合(34)、(36)和(37)式得

3 推廣應(yīng)用

下面給出本文的幾個主要推論.

推論3.1設(shè)g(z)∈Σ～*(α)由(3)式定義，則

證明在定理2.1中令γ=0，λ=0.

推論3.1比文獻［20］表示更為精確，同時也延伸了文獻［20］的結(jié)論.

推論3.2設(shè)g(z)∈Σ*(α)由(3)式定義，則

證明在定理2.2中令γ=0，λ=0.

推論3.3設(shè)g(z)∈珘K(α)由(3)式定義，則

證明在定理2.1中令γ=1，λ=1.

推論3.3是亞純雙單葉凸函數(shù)類珘K(α)的系數(shù)|b1|的邊界，對于|b0|的邊界沒有限制.

推論3.4設(shè)g(z)∈K(β)由(3)式定義，則

證明在定理2.2中令γ=1，λ=1.

推論3.4是亞純雙單葉凸函數(shù)類K(α)的系數(shù)|b1|的邊界，對于|b0|的邊界沒有限制.

推論3.5［13］設(shè)g(z)∈Mσ(λ，α)由(3)式定義，則

證明在定理2.1中令γ=0.

推論3.6［13］設(shè)g(z)∈Mσ(λ，β)由(3)式定義，則

證明在定理2.2中令γ=0.

推論3.6將文獻［13］的結(jié)論表述的更為具體.

致謝長江大學科研發(fā)展基金(2013CJY01)和長江大學工程技術(shù)學院科技創(chuàng)新基金(15J0802)對本文給予了資助，謹致謝意.

［3］?ZLEM G H，S?L?GEAN G S.Further properties of β－Pascu convex functions of order α［J］.International J Mathematics and Mathematical Sciences，2007，2007:1－7.

［4］ALI R M，KHAN M H，RAVICHANDRAN V，et al.A class of multivalent functions with negative coefficients defined by convolution［J］.Bull Korean Math Soc，2006，43(1):179－188.

［5］LEWIN M.On a coefficient problem for bi－univalent functions［J］.Proc Am Math Soc，1967，18(1):63－68.

［6］BRANNAN D A，CLUNIE J G.Aspects of contemporary complex analysis［C］//Proceedings of the NATO Advanced Study Institude Held at the University of Durham.New York:Academic Press，1980.

［7］NETANYAHU E.The minimal distance of the image boundary from the origin and the second coefficient of a univalent function in |z|＜1［J］.Arch Rational Mech Anal，1969，32(2):100－112.

［8］SRIVASTAVA H M，MISHRA A K，GOCHHAYAT P.Certain subclasses of analytic and bi－univalent functions［J］.Appl Math Lett，2010，23(10):1188－1192.

［9］PENG Z G，HAN Q Q.On the coefficients of several classes of bi－univalent functions［J］.Acta Math Sci，2014，B34(1):228－240.

［10］SUN Y，JIANG Y P，RASILA A.Coefficient estimates for certain subclasses of analytic and bi－univalent functions［J］.Filomat，2015，29(2):351－360.

［11］李小飛，秦川.一類利用從屬關(guān)系定義的雙單葉函數(shù)類［J］.四川師范大學學報(自然科學版)，2014，37(4):511－514.

［12］熊良鵬，田琳，李小飛.基于Salagean算子的bi－單葉函數(shù)系數(shù)估計［J］.數(shù)學的實踐與認識，2015，45(3):219－223.

［13］BULUT S.Coefficient estimates for new subclasses of meromorphic bi－univalent functions［J］.Inter Scholarly Research Notices，2014，2014:1－5.

［14］SCHIFFER M.Sur un probléme dextrémum de la représentation conforme［J］.Bull Soc Math France，1938，66:48－55.

［15］DUREN P L.Coeffcients of meromorphic schlicht functions［J］.Proc Am Math Soc，1971，28(1):169－172.

［16］SAMANEH G H，JANANI T，MURUGUSUNDARAMOORTHY G，et al.Coefficient estimates for certain classes of meromorphic bi－univalent functions［J］.Comptes Rendus Mathematique，2014，352(4):277－282.

［17］BULUT S，MAGESH N，BALAJI V K.Faber polynomial coefficient estimates for certain subclasses of meromorphic bi－univalent functions［J］.Comptes Rendus Mathematique，2015，353(2):113－116.

［18］XIAO H G，XU Q H.Coefficient estimates for three generalized classes of meromorphic and bi－univalent functions［J］.Filomat，2015，29(7):1601－1612.

［19］AZIZ F S，JUMA A R.Estimating coefficients for subclasses of meromorphic bi－univalent functions associated with liner operator［J］.Twms J App Eng Math，2014，4(1):39－44.

［20］HAMIDI S G，HALIM S A，JAHANGIRI J M.Faber polynomial coefficient estimates for meromorphic bi－starlike functions［J］.International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences，2013，2013:1－4.

［21］JANANI T，MURUGUSUNDARAMOORTHY G.Coefficient estimates of meromorphic bi－starlike functions of complex order［J］.Int J Anal Appl，2014，4(1):68－77.

［22］POMMERENKE Ch.Univalent Functions［M］.Gotingen:Vandenhoeck and Rupercht，1975.

Coefficient Bounds for Pascu Class of Meromorphic Bi-univalent Functions

QIN Chuan1，F(xiàn)ENG Jianzhong2，LI Xiaofei2，3
(1.College of Engineering and Technology，Yangtze University，Jingzhou 434020，Hubei; 2.Faculy of Information and Mathematics，Yangtze University，Jingzhou 434000，Hubei; 3.Faculy of Science and Technology，Macau University，Macau 519020)

In this article，two new subclasses Mσ(γ，λ，α)and Nσ(γ，λ，β)of Pascu class of meromorphic bi-univalent functions are defined in Δ={z:z∈C，1＜|z|＜+∞}.Coefficient bounds|b0|and|b1|of the subclasses are obtained by using properties of meromorphic functions.The results generalize the recent works.

meromorphic;bi-univalent;starlike functions;convex functions

O174.51

A

1001－8395(2016)03－0349－05

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.009

(編輯余毅)

2015－12－22

湖北省自然科學基金(2013CFAO053)和湖北省教育廳科研基金(B2013281)

秦川(1985—)，女，講師，主要從事泛函分析、復分析的研究，E－mail:qinchuan0920@163.com

［1］PASCU N N，PODARU V.On the radius of α－starlikeness for starlike functions of order β［C］//Lecture Notes in Math.Berlin: Springer－Verlag，1981:336－349.

［2］DEVI S，SWAMINATHAN A.Integral transforms of functions to be in a class of analytic functions using duality techniques［J］.J Complex Anal，2014，2014:1－10.

2010 MSC:30C45