都俊杰，鄒發(fā)偉，秦川，馮建中

一類利用從屬關(guān)系定義的復(fù)數(shù)階雙單葉函數(shù)類的系數(shù)問題

都俊杰1，鄒發(fā)偉1，秦川1，馮建中2

(1.長江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，湖北荊州434020;2.長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北荊州434000)

利用Salagean算子和從屬關(guān)系定義一類復(fù)數(shù)階雙單葉函數(shù)類MΣ(n，b，β;h)，利用從屬定理研究得到它的系數(shù)|a2|和|a3|的上界，并討論一些應(yīng)用廣泛的函數(shù)類，擴(kuò)展了一些已有結(jié)論，在證明方法上有了較大的變化.

解析函數(shù);雙單葉函數(shù);從屬;Salagean算子

本文用C表示復(fù)數(shù)集，N表示正整數(shù)集，N0表示非負(fù)整數(shù)集.記A表示單位圓盤U={z∈C:|z|＜1}內(nèi)解析且具有如下展開式的函數(shù)族

對(duì)于f(z)∈A，G.S.Salagean［1］定義Salagean微分算子D如下:

容易驗(yàn)證

記S表示A中滿足(1)式且單葉的子族.設(shè)f(z)和g(z)在U內(nèi)解析，稱f(z)從屬于g(z)［2］，記作f(z)

眾所周知，對(duì)任意具有(1)式形式的函數(shù)f(z)∈S均存在逆函數(shù)f－1，定義為

其中

函數(shù)f(z)∈A稱為U內(nèi)的雙單葉函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f(z)和f－1(w)均為U的單葉函數(shù)，現(xiàn)記Σ表示U具有(1)式形式的雙單葉函數(shù)族［11］.文獻(xiàn)［12－14］引入了雙單葉函數(shù)族Σ中的α階強(qiáng)星形函數(shù)類S*Σ(α)和α階凸函數(shù)類KΣ(α)如下:

其中，0≤α＜1，g(w)=f－1(w).自從H.M.Srivastava等［11］研究了雙單葉函數(shù)族的系數(shù)性質(zhì)后，就有越來越多的學(xué)者開始關(guān)注并定義了眾多雙單葉函數(shù)子類，通過研究系數(shù)|a2|和|a3|的非精確上界估計(jì)(詳見文獻(xiàn)［15－22］)，其結(jié)果已運(yùn)用于不動(dòng)點(diǎn)理論、解析函數(shù)邊值問題、逆函數(shù)等進(jìn)行研究，詳見文獻(xiàn)［23－25］.

設(shè)h:U→C為滿足下列條件的凸單葉函數(shù)假設(shè)h(z)具有下列展開式

f(z)∈Σ由(1)式給出，稱f(z)∈MΣ(n，b，β;h)，若f(z)及其逆函數(shù)g(w)=f－1(w)滿足從屬關(guān)系:

其中，n∈N0，β∈(，b為任意非零復(fù)數(shù).

1)取β=0，f(z)∈MΣ(n，b，0;h)滿足

函數(shù)類MΣ(n，b，0;h)由熊良鵬等［26］引入并研究.

若β=0，f(z)∈MΣ(n，b，0，α)，則f(z)滿足

函數(shù)類MΣ(n，b，0，α)由鄧琴［27］引入并研究了它的系數(shù)估計(jì).函數(shù)類MΣ(0，b，0，α)為復(fù)數(shù)階雙單葉解析星象函數(shù)，由Q.Deng［28］引入，并由D.Erhan［29］研究.

函數(shù)類MΣ(0，1，β，α)由H.Orhana等［30］引入.若β =0，MΣ(0，1，0，α)=(α)為α階星象函數(shù)類，由X.F.Li等［31］定義并研究.

若β=0，MΣ(1，1，0，α)=CΣ(α)為α階凸函數(shù)類，由D.A.Brannan等［32］定義并研究.

1 主要結(jié)論

為了得到結(jié)論，需要用到下面引理.

引理1.1［33］若p∈P，其中P表示U中的正實(shí)部解析函數(shù)族，則|pk|≤2，k=1，2，…，其中

引理1.2［34］設(shè)函數(shù)φ(z)為U內(nèi)由下式定義的凸函數(shù)

設(shè)函數(shù)ψ(z)為U內(nèi)由下式定義的全純(或解析)函數(shù)

若ψ(z)<φ(z)，則有

定理1.3若由(1)式定義的函數(shù)f(z)∈MΣ(n，b，β;h)，則有:

證明由(2)式，存在2個(gè)正實(shí)部函數(shù)p(z)，q(z)

其中

通過比較(3)和(4)式兩邊z2和z3的系數(shù)得到

和

由(5)和(7)式容易得到

由(6)式加上(8)式得

由于p(z)，q(z)∈h(U)，利用引理1.2有

將(10)式運(yùn)用于(9)式有

為了得到|a3|的系數(shù)估計(jì)，將(6)式減去(8)式得

再將(9)式代入(11)式得到

再次對(duì)系數(shù)p2和q2利用引理1.2得

2 推論

推論2.1［26］由(1)式定義的f(z)∈MΣ(n，b，0;h)，則有:

證明在定理1.3中令β=0即可得到結(jié)論.

推論2.2由(1)式定義的f(z)∈MΣ(n，b，β; A，B)，則有:

證明由于

在推論2.1中令B1=A－B即可得到結(jié)論.

推論2.3由(1)式定義的f(z)∈MΣ(n，b，β，α)，則有:

證明在推論2.2中令A(yù)=－1，B=1－2α，即可得到結(jié)論.

推論2.4［30］由(1)式定義的f(z)∈MΣ(0，1，β，α)，則有:

證明由于

且B1=A－B=2(1－α)，在定理1.3中n=0，b=1，B1=2(1－α)，即可得到結(jié)論.

推論2.5［28］由(1)式定義的f(z)∈MΣ(0，1，0，α)，則有:

證明在推論2.4中令β=0即可得到結(jié)論.

推論2.6由(1)式定義的f(z)∈MΣ(1，1，β，α)，則有:

證明由于

且B1=A－B=2(1－α)，在定理1.3中令n=1，b=1，B1=2(1－α)，即可得到結(jié)論.

推論2.7［32］由(1)式定義的f(z)∈MΣ(1，1，0，α)，則有:

證明在推論2.6中令β=0即可得到結(jié)論.

致謝長江大學(xué)科研發(fā)展基金(2013CJY01)和長江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院科技創(chuàng)新基金(15J0802)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.

［1］SALAGEAN G S.Subclasses of univalent functions［C］//Lect Notes Math，1013.New York:Springer－Verlag，1983:362－372.

［2］MILLER S S，MOCANU P T.Differential Subordinations［C］//Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics.New York:Marcel Dekker，2000.

［3］MILLER S S，MOCANU P T.Differential Subordinations，Theory and Applications［M］.New York:Marcel Dekker，2000.

［4］SRIVASTAVA H M，OWA S.Univalent Functions［M］.New York:John Wiley＆Sons，1989.

［5］SRIVASTAVA H M，OWA S.Current topics in Analytic Function Theory［M］.Singapore:World Scientific，1992.

［6］IBRAHIM R W，DARUS M.On subordination theorems for new classes of normalize analytic functions［J］.Appl Math Sci，2008，56:2785－2794.

［7］ALI R M，CHO N E，RAVICHANDRAN V，et al.Differential subordination for functions associated with the lemniscate of Bernoulli［J］.Taiwanese J Math，2012，16(3):1017－1026.

［8］SRIVASTAVA H M，BANSAL D.Coefficient estimates for a subclass of analytic and bi－univalent functions［J］.J Egyptian Math Soc，2015，23(2):242－246.

［9］SINGH S，GUPTA S，SINGH S.Differential subordination and superordination theorems for certain analytic functions［J］.General Mathe，2010，18(2):143－159.

［10］IBRAHIM R W，DARUS M，MOMANI S.Subordination and superordination for certain analytic functions containing fractional integral［J］.Survey in Math and Its Applications，2009，4:111－117.

［11］SRIVASTAVA H M，MISHRA A K，GOCHHAYAT P.Certain subclasses of analytic and bi－univalent functions［J］.Appl Math Lett，2010，23(10):1188－1192.

［12］BRANNAN D A，TAHA T S.On some classes of bi－univalent functions［J］.J Math Anal Appl，1985，2:18－21.

［13］XU Q H，XIAO H G，SRIVASTAVA H M.A certain general subclass of analytic and bi－univalent functions and associated coefficient estimate problems［J］.Appl Math Comput，2012，218(23):11461－1465.

［14］ALI R M，LEE S K，RAVICHANDRAN V，et al.Coefficient estimates for bi－univalent Ma－Minda starlike and convex functions［J］.Appl Math Lett，2012，25(3):344－351.

［15］李小飛，秦川.一類利用從屬關(guān)系定義的雙單葉函數(shù)類［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，37(4):511－514.

［16］熊良鵬.雙單葉星形和凸函數(shù)的系數(shù)邊界［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，40(6):5－10.

［17］秦川，李小飛.一類利用復(fù)合算子函數(shù)定義的解析函數(shù)類的包含性質(zhì)［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，38(3):376－380.

［18］DENIZ E，CAGLAR M，ORHAN H.Second Hankel determinant for bi－starlike and bi－convex functions of order β［J］.Appl Math Comput，2015，271:301－307.

［19］PENG Z G，HAN Q Q.On the coefficients of several classes of bi－univalent functions［J］.Acta Math Sci，2014，B34(1):228－240.

［20］AKIN G，EKER S S.Coefficient estimates for a certain class of analytic and bi－univalent functions defined by fractional derivative［J］.Comptes Rendus Math，2014，352(12):1005－1010.

［21］SRIVASTAVA H M，BULUT S，CAGLAR S，et al.Coefficient estimates for a general subclass of analytic and bi－univalent functions［J］.Filomat，2013，27(5):831－842.

［22］SUN Y，JIANGA Y P，RASILA A.Coefficient estimates for certain subclasses of analytic and bi－univalent functions［J］.Filomat，2015，29(2):351－360.

［23］DZIOK J.Classes of multivalent analytic and meromorphic functions with two fixed points［J］.Fixed Point Theory and Applications，2013，2013(1):1－18.

［24］KUMAR S.A Short suvery of the development of fixed point theory［J］.Survey Math and Its Applications，2013，8:91－101.

［25］NARANG T D.A fixed point theorem for nonexpansive compact self－mapping［J］.Annales UMCS Mathematica，2014，68(1):43－47.

［26］熊良鵬，田琳，李小飛.基于Salagean算子的bi－單葉函數(shù)系數(shù)估計(jì)［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2015，45(3):219－223.

［27］鄧琴.具有復(fù)數(shù)階的某類解析函數(shù)［J］.杭州電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，30(3):88－90.

［28］DENG Q.Certain subclass of analytic functions with complex order［J］.Appl Math Comput，2009，208:359－362.

［29］ERHAN D.Certain subclasses of bi－univalent functions satisfying subordinate conditions［J］.J Classical Anal，2013，2(1):49－60.

［30］ORHANA H，MAGESHB N，BALAJIC V K.Initial coefficient bounds for a general class of bi－univalent functions［J］.Filomat，2015，25(6):1259－1267.

［31］LI X F，WANG A P.Two new subclasses of bi－univalent functions［J］.Int Math Forum，2012，7:1495－1504.

［32］BRANNAN D A，TAHA T S.On some classes of of bi－univalent functions［J］.Studia Univ Babes－Bolyai Math，1986，31(2):70－77.

［33］POMMERENKAE C.Univalent Functions［M］.Gottingen:Vandenhoeck Ruprecht，1975.

［34］XU Q H，SRIVASTAVA H M，LI Z.A certain subclass of analytic and close－to－convex functions［J］.Appl Math Lett，2011，24 (3):396－401.

Coefficient Problem of a New Subclass of Bi-univalent Functions with Complex Order Defined by Subordinary

DU Junjie1，ZOU Fawei1，QIN Chuan1，F(xiàn)ENG Jianzhong2
(1.College of Engineering and Technology，Yangtze University，Jingzhou 434020，Hubei; 2.School of Information and Mathematic，Yangtze University，Jingzhou 434000，Hubei)

In this paper，the authors introduce a new subclass MΣ(n，b，β;h)of bi-univalent functions with complex order defined by subordinary.The purpose is to obtain the estimates on the coefficients bounds|a2|and|a3|.At the same time，some families with wide application are also discussed.The results extend the recent works.There are few changes in the method of proof.

analytic functions;bi-univalent;subordinary;Salagean operater

O174.51

A

1001－8395(2016)03－0344－05

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.008

(編輯李德華)

2015－08－26

湖北省自然科學(xué)基金(2013CFAO053)和湖北省教育廳科研項(xiàng)目(B2013281)

都俊杰(1981—)，女，講師，主要從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)和泛函分析的研究，E－mail:dujunjie0420@163.com

2010 MSC:30C45