陳文，湖北省武漢市第二十九中學(xué)教導(dǎo)處主任，中學(xué)高級(jí)教師，湖北省“課內(nèi)比教學(xué)，課外訪萬家”活動(dòng)先進(jìn)個(gè)人，武漢市2014年度“高效課堂建設(shè)”先進(jìn)個(gè)人，武漢市硚口區(qū)第九批學(xué)科帶頭人，第三批硚口區(qū)骨干教師，武漢市”黃鶴英才“培養(yǎng)對(duì)象。先后在省級(jí)刊物發(fā)表文章5篇，參與了3個(gè)國(guó)家級(jí)課題研究和結(jié)題報(bào)告的撰寫，主編了特色校本課程《幾何畫板——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的助推器》，承擔(dān)了5套教輔類書籍的編寫和修訂。

越來越多的人認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)是一種模式化的教學(xué)，讓學(xué)生能夠在豐富多彩的各種問題中概括提煉數(shù)學(xué)模型，并熟練掌握各種基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用基礎(chǔ)模型解決實(shí)際問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和發(fā)展數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中已明確提出函數(shù)模型與函數(shù)建模有關(guān)內(nèi)容的教學(xué)要求，同時(shí)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是培養(yǎng)有效的數(shù)學(xué)思維和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模意識(shí)，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要載體。

一、經(jīng)歷基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的過程，

內(nèi)化建模認(rèn)知

1.基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型是模型建立的基礎(chǔ)

課堂是教師和學(xué)生交流的主要場(chǎng)所，隨著課堂改革的深入，教學(xué)越來越不受時(shí)間和空間限制。但教師和學(xué)生的主要交流方式仍然是在課堂上，所以，教師應(yīng)該充分利用課堂教學(xué)向?qū)W生內(nèi)化建模認(rèn)知，并滲透建模思想?，F(xiàn)行教材對(duì)各種公式、定理和法則等，都非常注重其知識(shí)的形成過程，而得到這些基礎(chǔ)模型往往就是一個(gè)建立模型的過程，所以注重知識(shí)形成過程的教學(xué)，能很好地內(nèi)化建模認(rèn)知和滲透建模思想。

在教學(xué)實(shí)踐中，教師可以利用教材，以教材上的知識(shí)點(diǎn)為基礎(chǔ)，采用微課和導(dǎo)學(xué)案等形式，在學(xué)生掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)延伸，或通過教材上的實(shí)例展開小組學(xué)習(xí)和討論，進(jìn)一步體會(huì)建模過程反復(fù)和逐漸優(yōu)化的特性，在教學(xué)中向?qū)W生提供適時(shí)的指導(dǎo)，讓學(xué)生自己通過對(duì)基礎(chǔ)模型形成過程的理解，做到舉一反三，在舊有知識(shí)上生出新的知識(shí)和方法。

比如，學(xué)生通過對(duì)等差數(shù)列概念及性質(zhì)的探究，體會(huì)等差模型的研究方法和特點(diǎn)，就會(huì)比較輕松地實(shí)現(xiàn)等比數(shù)列的模型探究，從而讓學(xué)生自己完成對(duì)新知識(shí)的建構(gòu)。學(xué)生對(duì)自身的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整后，通過對(duì)等差、等比數(shù)列的基本理解和掌握，就能創(chuàng)造性地研究其他類型的數(shù)列，從一個(gè)單一的等差、等比數(shù)列的認(rèn)知狀態(tài)，過渡到另一個(gè)可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知和性質(zhì)研究，真正意義上實(shí)現(xiàn)授生以漁。

2.基礎(chǔ)函數(shù)模型是高中數(shù)學(xué)建模的重點(diǎn)

高中教材中的函數(shù)模型最為普遍。函數(shù)模型是用函數(shù)形式來表達(dá)的數(shù)學(xué)模型，即用基礎(chǔ)函數(shù)模型對(duì)生活中普遍存在的利潤(rùn)、成本、效益、用料等實(shí)際問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化、抽象、歸納和加工，建立相應(yīng)的基礎(chǔ)函數(shù)模型的復(fù)合形式，運(yùn)用函數(shù)的方法解決實(shí)際問題。

只有在對(duì)基礎(chǔ)函數(shù)模型掌握得比較準(zhǔn)確熟練后，學(xué)生才能通過轉(zhuǎn)化、遷移、發(fā)散和抽象，把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，把未知的問題熟悉化，把實(shí)際生活問題數(shù)學(xué)化，從而培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、想象能力和創(chuàng)新意識(shí)。常見的有一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和由以上函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)以及復(fù)合函數(shù)等。同一個(gè)問題的解決可以有各種不同的模型建構(gòu)，不同問題也可以利用同一模型解決。同時(shí)，對(duì)實(shí)際問題和相對(duì)復(fù)雜的問題，往往還需要多個(gè)模型聯(lián)系、整合和抽象，借助導(dǎo)數(shù)、向量、方程和積分才能解決。

正確地將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型是解決問題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化來源于對(duì)已知條件的綜合分析、歸納與抽象，并與熟知的函數(shù)模型相比較，從而確定適用的函數(shù)模型，利用函數(shù)構(gòu)造數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題，這對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要。如何有效落實(shí)函數(shù)模型的教學(xué)，讓學(xué)生體會(huì)、理解和掌握函數(shù)模型及函數(shù)模型建立是函數(shù)模型教學(xué)的重心。由于生活中具有函數(shù)特征的問題很豐富，也不難轉(zhuǎn)化，所以教學(xué)中應(yīng)該用生本理念去推動(dòng)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、自主調(diào)查、自主質(zhì)疑、自主探究和小組交流分享，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)建構(gòu)的實(shí)踐性、豐富性和有效性。

比如，教師在進(jìn)行指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型應(yīng)用的教學(xué)時(shí)，可以通過生活中具備二元關(guān)系的問題，組織學(xué)生先進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，從調(diào)查數(shù)據(jù)中進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮Y選，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行函數(shù)模型探究，再根據(jù)模型對(duì)調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)過程中學(xué)生會(huì)自然提出對(duì)模型或數(shù)據(jù)的質(zhì)疑，自然引發(fā)模型方案的再探究，從而體會(huì)模型建立的反復(fù)性。通過這樣一個(gè)反復(fù)探究的過程，學(xué)生不僅對(duì)函數(shù)模型的認(rèn)識(shí)達(dá)到一個(gè)新的高度，同時(shí)培養(yǎng)并提升了對(duì)實(shí)際問題的轉(zhuǎn)化思路，這有利于他們掌握模型建立的方法。

二、精心設(shè)計(jì)前置性導(dǎo)學(xué)案，

引導(dǎo)學(xué)生開展模型自主探究

新課程改革要求進(jìn)一步轉(zhuǎn)變教師角色，從側(cè)重知識(shí)傳授轉(zhuǎn)變?yōu)橐I(lǐng)學(xué)生尋求掌握知識(shí)的來源。數(shù)學(xué)建模的過程、途徑及其結(jié)果都是開放的。數(shù)學(xué)建模突破了以往以教室、教師、教材為中心的狀況，可以深入社會(huì)，可以由學(xué)生自主完成，也可以通過小組合作交流，甚至借助校外教授、專家等豐富的社會(huì)資源進(jìn)行探究，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和欲望；同時(shí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動(dòng)手能力、統(tǒng)計(jì)能力、協(xié)調(diào)能力和表達(dá)能力及其團(tuán)隊(duì)意識(shí)，多方位地提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。在條件允許的情況下，盡可能地讓學(xué)生走出課堂，通過社會(huì)實(shí)踐和小組合作等方式去體會(huì)建模的基本步驟，在生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，表達(dá)自己的見解。社會(huì)實(shí)踐、研究性學(xué)習(xí)以及生涯規(guī)劃等課程，能很好地引導(dǎo)學(xué)生走出去，學(xué)生從實(shí)踐中不僅能學(xué)到社會(huì)知識(shí)，還能加強(qiáng)溝通交流的能力。同時(shí)，在如何用數(shù)學(xué)模型解決生活中的實(shí)際問題方面，也將會(huì)取得良好效果。

基于此，課前教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)前置性學(xué)習(xí)導(dǎo)學(xué)案，為學(xué)生的探究活動(dòng)掃除知識(shí)性、方向性的障礙，通過導(dǎo)學(xué)案引導(dǎo)學(xué)生去探究問題的關(guān)鍵所在，幫助學(xué)生克服畏難情緒，對(duì)模型構(gòu)建有一個(gè)初步的自主學(xué)習(xí)。前置性導(dǎo)學(xué)案應(yīng)選擇教學(xué)低起點(diǎn)、緩坡度設(shè)置問題，用可持續(xù)拓展的思路編寫，以簡(jiǎn)潔的形式抓住模型探究的主線，找準(zhǔn)模型探究的重難點(diǎn)，留給學(xué)生寬廣的探究空間，人人可做，人人又不一樣，使不同層次的學(xué)生得到不同程度的發(fā)展。通過自主學(xué)習(xí)探究，讓學(xué)生在”自主”中充分暴露思維、暴露問題，提高模型教學(xué)的針對(duì)性。

比如，關(guān)于測(cè)量類模型的建構(gòu)，設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案時(shí)應(yīng)事先提醒學(xué)生對(duì)測(cè)量物體進(jìn)行抽象化理解和對(duì)基本常識(shí)的掌握，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生采用多種測(cè)量方式，對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和優(yōu)化，從而突出測(cè)量方法的多樣性和科學(xué)性，歸納不同條件下的模型建立方法，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力。

三、創(chuàng)新數(shù)學(xué)模型教學(xué)，體會(huì)模型應(yīng)用的樂趣

數(shù)學(xué)模型教學(xué)不能局限于教材，更不能拘泥于教材中的函數(shù)模型應(yīng)用。應(yīng)該著眼于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，著力于基礎(chǔ)模型的應(yīng)用；培養(yǎng)學(xué)生分析和解決實(shí)際問題的能力，加強(qiáng)對(duì)實(shí)際問題的轉(zhuǎn)化和抽象；給予學(xué)生發(fā)展所需要的數(shù)學(xué)，立足為學(xué)生終身發(fā)展奠基；鼓勵(lì)學(xué)生研究解決生存、生活和服務(wù)社會(huì)所需要的數(shù)學(xué)。

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)融入數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題和應(yīng)用問題的能力，使數(shù)學(xué)具有更高的教育價(jià)值和社會(huì)價(jià)值。在實(shí)際教學(xué)中要有意識(shí)地設(shè)置與生活息息相關(guān)的實(shí)際問題背景，培養(yǎng)學(xué)生關(guān)注生活、關(guān)注社會(huì)的主人翁意識(shí)。在教學(xué)素材的選取中要體現(xiàn)科學(xué)性，不能為教學(xué)方便的需要而隨意改變假設(shè)和數(shù)據(jù)，應(yīng)盡可能地符合實(shí)際問題的需要，盡可能地讓素材做到層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣、首尾呼應(yīng)。

在教學(xué)探究過程中，要注重學(xué)生的參與性。只有學(xué)生的廣泛參與才能更好地開展模型教學(xué)，對(duì)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，更需要通過模型教學(xué)的參與來促進(jìn)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。也可以以探究過程為載體，讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、主動(dòng)探究，讓每位學(xué)生都能在數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用和學(xué)習(xí)中獲得愉悅和成就感。在課后的鞏固中，要鼓勵(lì)學(xué)生加強(qiáng)反思、整理和質(zhì)疑，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、題型歸類、方法模型提煉和問題延伸，感悟收獲。小組之間要對(duì)各自的反思及收獲進(jìn)行交流，教師要結(jié)合學(xué)生的交流作建設(shè)性評(píng)價(jià)，并指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步完善和拓展，讓學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)自主知識(shí)構(gòu)建和模型建構(gòu)的方法。

四、數(shù)學(xué)模型教學(xué)應(yīng)融入教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中

數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，新課引入教學(xué)應(yīng)注重模型意識(shí)的滲透，因此，要充分挖掘新課知識(shí)所蘊(yùn)含的實(shí)際背景，將現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)生的與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的素材適時(shí)引入課堂，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)內(nèi)化為數(shù)學(xué)的應(yīng)用模型；要將教材上的內(nèi)容通過生活中熟悉的事例，以情境再現(xiàn)的方式在課堂上展示給學(xué)生，描述數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的背景，以問題背景為導(dǎo)向開展新課程學(xué)習(xí)。

比如，三角函數(shù)模型應(yīng)用中的溫度變化例題，教師可以事先安排學(xué)生對(duì)一天的溫度變化進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。為克服統(tǒng)計(jì)誤差，可以借助網(wǎng)絡(luò)或者全班學(xué)生的統(tǒng)計(jì)結(jié)果進(jìn)行大數(shù)據(jù)處理，作為三角函數(shù)模型的引例，其真實(shí)性、趣味性和參與性得到了充分發(fā)揮。

新課探究過程應(yīng)突出模型建立的方法、模型基礎(chǔ)應(yīng)用和模型優(yōu)化探究，體驗(yàn)?zāi)Ｐ退枷?，體會(huì)模型方法，歸納模型特征。積極引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，對(duì)學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)材料進(jìn)行主動(dòng)歸納和提升，力求建構(gòu)出人人都能理解的數(shù)學(xué)模型，尋求最佳數(shù)學(xué)模型；在解釋與應(yīng)用中體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型思想的實(shí)用性，用所建立的數(shù)學(xué)模型來解答實(shí)際生活中的問題，體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，體驗(yàn)到所學(xué)知識(shí)的用途和益處，體驗(yàn)到實(shí)際應(yīng)用所帶來的快樂。比如，在探究三角函數(shù)的周期性變化的模型教學(xué)中，教材本是以抽象的圓為研究對(duì)象，而生活中的實(shí)例很多，教師在問題設(shè)置中不難找到實(shí)際背景下的應(yīng)用問題，可以從娛樂城的各種圓盤玩具運(yùn)行規(guī)律進(jìn)行研究，也可以以天體運(yùn)行為研究對(duì)象等。這些問題既是學(xué)生感興趣的，同時(shí)也可以更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的價(jià)值。

復(fù)習(xí)課教學(xué)應(yīng)注重解題模型的提煉和總結(jié)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，高中階段的數(shù)學(xué)問題有較強(qiáng)的知識(shí)綜合性，需要思維的靈活性，但所考查的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和基本數(shù)學(xué)思想是不變的，題目形式的設(shè)置是相對(duì)穩(wěn)定的。因而，通過對(duì)答題思路的分析、梳理，構(gòu)建重點(diǎn)題型的解題模型，有利于培養(yǎng)學(xué)生抓住問題的本質(zhì)舉一反三的能力。

實(shí)際問題教學(xué)中應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)模型應(yīng)用的有效探究。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該越來越向數(shù)學(xué)的本質(zhì)靠近，即教學(xué)生有用的數(shù)學(xué)。在教學(xué)中，可以選取更加鮮活的題材進(jìn)行數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的教學(xué)，甚至可以通過社會(huì)實(shí)踐的調(diào)查和適當(dāng)?shù)哪Ｐ图僭O(shè)來實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的對(duì)接，增強(qiáng)問題的開放性。雖然很費(fèi)時(shí)費(fèi)力，但學(xué)生能更好地體會(huì)問題，同時(shí)使問題更具開放性和教育性，實(shí)現(xiàn)模型應(yīng)用的有效探究。

總之，在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)強(qiáng)調(diào)以生本理念為核心，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，鼓勵(lì)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)模型、探究數(shù)學(xué)模型和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。通過強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型的教學(xué)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題間實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化、建立聯(lián)系，并了解數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值。這樣不僅能夠使學(xué)生更加牢固地掌握基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的方法，奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，從而提高課堂教學(xué)的效率，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且能夠讓學(xué)生學(xué)會(huì)建模的方法，從而掌握探究新知、解決和探索未知事物的有效途徑，逐步培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力。這樣極大地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)適應(yīng)學(xué)生終身發(fā)展需要的功能，讓數(shù)學(xué)教學(xué)變得魅力無窮！

（責(zé)任編輯 郭向和）