黃文濤

統(tǒng)計(jì)學(xué)中，樣本（總體）的數(shù)字特征通常是指一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)以及方差和標(biāo)準(zhǔn)差等. 這里的平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差與離散型隨機(jī)變量的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差在本質(zhì)上是一致的. 為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們需要通過樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差. 本文通過具體例子剖析樣本數(shù)字特征的概念、性質(zhì)和用途，以期對同學(xué)們正確理解并應(yīng)用數(shù)字特征去解決具體問題有所幫助.

用定義與公式求樣本的數(shù)字特征

例1 已知某中學(xué)高三（1）班的甲、乙兩名同學(xué)自高中以來12次數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖如圖，則下列說法正確的個數(shù)為 .

A. 乙的成績中有兩個眾數(shù)

B. 甲的成績的中位數(shù)大于乙的成績的中位數(shù)

C. 甲的成績與乙的成績的平均分相同

D. 乙同學(xué)的成績比甲同學(xué)的成績穩(wěn)定

分析 莖葉圖給出了甲、乙兩同學(xué)的成績，用定義與公式即可求出甲、乙同學(xué)的成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差.

解 乙同學(xué)的成績中98，99各有兩次，其余成績均只出現(xiàn)一次，故乙同學(xué)的成績有兩個眾數(shù)，A正確.

甲同學(xué)成績的中位數(shù)為，乙同學(xué)成績的中位數(shù)為，B項(xiàng)不正確.

計(jì)算知，甲同學(xué)的平均分為89分，乙同學(xué)的平均分為92.83分，C項(xiàng)不正確.

乙同學(xué)的分?jǐn)?shù)較為集中，甲同學(xué)的分?jǐn)?shù)較為分散，D項(xiàng)正確.

答案 2

點(diǎn)撥 雖然方差是用來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度的，但本題利用莖葉圖的直觀優(yōu)勢，可以直接得出乙同學(xué)成績更為穩(wěn)定這一結(jié)論，從而避免了繁瑣的方差計(jì)算.

利用頻率分布直方圖估計(jì)總體的數(shù)字特征

例2 從某校1000名學(xué)生中抽200人統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)會考成績，得到樣本頻率分布直方圖如圖，試估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)會考成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).

分析 利用樣本的頻率分布直方圖來估計(jì)總體的數(shù)字特征，方法如下：眾數(shù)的估計(jì)值是最高矩形的底邊的中點(diǎn). 中位數(shù)的估計(jì)值將直方圖分成左右面積相等的兩部分. 平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

解 圖中最高矩形底邊區(qū)間為，其中點(diǎn)為75，故樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75，則總體眾數(shù)的估計(jì)值為75.

圖中所有小矩形面積之和為1，左邊三個小矩形面積之和為，第四個小矩形面積為.第四個小矩形中面積為的部分所占比例為，即直線將直方圖左右分成面積相等的兩部分，故總體中位數(shù)的估計(jì)值約為.

總體平均數(shù)的估計(jì)值為.

點(diǎn)撥 確定中位數(shù)的估計(jì)值時，先要確定面積等分線位于哪一個小矩形中，再確定向左劃出面積與該矩形面積的比值，根據(jù)此比例關(guān)系即可得到面積等分線的具體位置. 平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，而每個小矩形的面積等于該組頻率，若該組頻率用表示，小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)用表示，則平均數(shù)的估計(jì)值為，這與離散型隨機(jī)變量均值的公式一樣，可見樣本的平均數(shù)與離散型隨機(jī)變量的均值在本質(zhì)上是一致的.

利用數(shù)字特征反推原始數(shù)據(jù)

例3 為了考查某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù). 已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為________.

分析 由題意知，5個樣本數(shù)據(jù)為互不相同的整數(shù)，則可以將這5個數(shù)據(jù)按大小排序，再通過值的范圍試探求解.

需要指出的是，對眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征要有一個正確的理解. 在頻率分布直方圖中，樣本的眾數(shù)是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，它比較容易計(jì)算，但它只能表示樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息. 樣本中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，但它僅僅利用了排在中間的數(shù)據(jù)的信息. 樣本平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，它與每個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變. 這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì). 也正因?yàn)檫@個原因，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息. 例如：樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)時，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值. 反之，說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值. 另外，在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差的效果是一樣的，但在解決實(shí)際問題時，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差. 注意，如果根據(jù)某種利益去選擇使用中位數(shù)或平均數(shù)來描述數(shù)據(jù)的基本情況，則可能會產(chǎn)生一些誤導(dǎo)作用.