梅磊

統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究如何收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學(xué)科，它可以為人們制訂決策提供依據(jù). 而統(tǒng)計(jì)思想就是用樣本估計(jì)總體，即通常不直接去研究總體，而是通過(guò)從總體中抽出一個(gè)樣本，根據(jù)樣本的情況去估計(jì)總體的相應(yīng)情況. 它包含兩類問(wèn)題：一類是如何從總體中抽出樣本；另一類是如何對(duì)樣本進(jìn)行整理、分析，從而對(duì)總體情況作出估計(jì). 常用的方法是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，或者用樣本的某個(gè)數(shù)字特征（如平均數(shù)、方差等）去估計(jì)總體的相應(yīng)數(shù)字特征. 本文通過(guò)幾個(gè)具體例題來(lái)介紹統(tǒng)計(jì)思想在生活中的應(yīng)用.

學(xué)生視力調(diào)查

例1 為了了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查. 事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大. 在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（ ）

A. 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B. 按性別分層抽樣

C. 按學(xué)段分層抽樣 D. 系統(tǒng)抽樣

分析 根據(jù)三種抽樣方法的特點(diǎn)判斷.

解 因該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，故最合理的抽樣方法是按學(xué)段分層抽樣.

答案 C

點(diǎn)撥 抽樣方法是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，熟悉三種抽樣方法的特點(diǎn)是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

產(chǎn)品質(zhì)量抽查

例2 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量數(shù)據(jù)得到如下頻數(shù)分布表：

（1）作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

（2）估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（3）根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？

分析 頻率分布直方圖的繪制并不復(fù)雜，關(guān)鍵是理解頻率分布直方圖的有關(guān)知識(shí). 計(jì)算平均數(shù)和方差可直接利用公式，但要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性. 由樣本計(jì)算質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的頻率，即可判斷產(chǎn)品是否符合相關(guān)規(guī)定.

解 （1）頻率分布直方圖如圖：

（2）由平均數(shù)與方差的計(jì)算公式得，質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為，質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為，故這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值為100，方差的估計(jì)值為104.

（3）質(zhì)量指標(biāo)值不低于的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為，

由于該估計(jì)值小于，故該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品不符合規(guī)定.

點(diǎn)撥 在頻率分布直方圖中，小矩形的高等于每一組的頻率/組距，它們與頻數(shù)成正比. 小矩形的面積等于這一組的頻率，且各個(gè)小矩形的面積的和等于1. 樣本眾數(shù)的估計(jì)值是圖中最高矩形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo). 樣本中位數(shù)的左邊和右邊的直方圖面積相等. 樣本平均數(shù)的估計(jì)值等于每個(gè)小矩形的面積乘以底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

藥品效果觀測(cè)

例3 為了比較A，B兩種治療失眠癥的藥的療效，隨機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥. 這40位患者在服用一段時(shí)間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間（單位：h），試驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果如下.

服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5

2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4

服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4

1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

（1）分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？

（2）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖. 從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？

分析 對(duì)于（1），直接計(jì)算平均數(shù)，并比較大小. 對(duì)于（2），首先根據(jù)莖葉圖的畫法完成莖葉圖，再比較莖葉圖中數(shù)據(jù)的離散程度或中位數(shù).

（2）由觀測(cè)結(jié)果可繪制莖葉圖如圖：

由莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的數(shù)據(jù)集中在莖“2.”，“3.”上，B藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的數(shù)據(jù)集中在莖“0.”，“1.”上，由此知A藥的療效更好.

點(diǎn)撥 莖葉圖是一種常用的、形式簡(jiǎn)單易懂的統(tǒng)計(jì)圖，它在實(shí)際生活中有著廣泛應(yīng)用. 畫莖葉圖時(shí)，對(duì)于重復(fù)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏. 根據(jù)莖葉圖作統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，往往利用反映分布中心的指標(biāo)或離散程度的指標(biāo)來(lái)考慮，如中心指標(biāo)可取平均數(shù)、中位數(shù)或眾數(shù)，離散程度指標(biāo)可求方差、標(biāo)準(zhǔn)差等.

統(tǒng)計(jì)思想在生活中應(yīng)用極廣，除了上面介紹的抽樣方法與數(shù)據(jù)分析外，它還在回歸分析等方面有著重要的用途，如生活中垃圾的無(wú)害化處理、產(chǎn)量的預(yù)測(cè)、天氣預(yù)報(bào)、科學(xué)決策等. 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾這樣說(shuō)過(guò)：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日月之繁，無(wú)處不用到數(shù)學(xué).”隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的來(lái)臨，統(tǒng)計(jì)思想無(wú)處不在，它已滲透到現(xiàn)實(shí)生活中的方方面面，其地位越來(lái)越重要. 相信在不久的將來(lái)，統(tǒng)計(jì)思想與方法必將與現(xiàn)代通信工具一樣，成為人們生活中不可分割的一部分.