彭雨明 劉會靈

摘要：復合函數(shù)是初等函數(shù)中比較重要的一種函數(shù)類型。一元復合函數(shù)的求導要遵循復合函數(shù)求導的鏈式法則。因此能正確分析清楚一元復合函數(shù)是由哪些“簡單函數(shù)”復合而成，對于一元復合函數(shù)的求導結(jié)果是否正確起到關鍵的作用。本文主要針對如何正確分解一元復合函數(shù)，包括分解的方法和標準來做研究。

關鍵詞：復合函數(shù)；函數(shù)結(jié)構(gòu)；分解標準

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）26-0215-02

一、引言

一元復合函數(shù)能否正確分解，在復合函數(shù)求導等問題上起到事關成敗的關鍵作用。而在很多高校高等數(shù)學知識教學中，一般教材找不到一元復合函數(shù)分解的方法和標準的說明，且有關這方面研究和分析的論文更是難覓蹤跡。因此很多老師在向?qū)W生講授這個問題時，方法可謂五花八門，標準可謂形形色色，甚至有些老師自己都搞不清楚應該執(zhí)行哪一套規(guī)范的分解方法和標準。在這個基礎上，再去要求學生正確掌握復合函數(shù)的分解明顯是不切實際的。復合函數(shù)的分解必須形成一套固定的方法和分解的標準，從上面的實際問題分析來看顯得非常重要。

二、基礎知識回顧

（一）基本初等函數(shù)

（二）復合函數(shù)

設y是u的函數(shù)y=f（u），定義域為D，而u是x的函數(shù)u=φ（x），其定義域為G，值域為E，且E？奐D，則對于G內(nèi)的每一個x，經(jīng)過中間值u=φ（x），唯一對應著一個確定的y，于是因變量y經(jīng)過中間變量而成為自變量x的函數(shù)，記為y=f（φ（x）），x∈G，稱函數(shù)y=f（φ（x））是函數(shù)y=f（u）和函數(shù)u=φ（x）的復合函數(shù)。

（三）初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次的函數(shù)復合所得到，且能用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。常見的分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，本文并不討論分段函數(shù)類型，也就是我們研究的函數(shù)主要是初等函數(shù)類型。

三、函數(shù)的結(jié)構(gòu)

微積分主要研究對象是函數(shù)，因此函數(shù)屬于那種類型，也就是我們研究的函數(shù)“結(jié)構(gòu)”如何，對函數(shù)性質(zhì)的進一步得出顯得非常重要。比如在函數(shù)求導這個問題上，確定函數(shù)“結(jié)構(gòu)”類型，才能采取對應求導法則，這如同確診疾病類型和給出何種治療處方一樣。一旦連函數(shù)類型都確定出錯，那就很難正確求出這個函數(shù)的導數(shù)了。

函數(shù)“結(jié)構(gòu)”一般從最終的類型上看，主要常見有以下兩大種類型：（1）本身是個復合函數(shù)；（2）只是個加法、減法、乘法、除法式子。

一般確定函數(shù)類型的方法是，代入一個自變量x的值，看最終一步因變量y是如何計算出來的。如果最后一步我們是通過加、減、乘、除運算計算出值的，那么我們就可以把這個函數(shù)劃歸到加法、減法、乘法或除法式子中去，也就是可以把這個函數(shù)理解為是一個和式、差式、積式或商式。如果不是，一般它就是一個復合函數(shù)，也就是我們在進一步的計算中需要對它進行分解。

例1 分別指出下列函數(shù)的“結(jié)構(gòu)”類型。

仔細觀察一下上面的兩個復合函數(shù)的分解，為何第二個函數(shù)計算步驟更多，而分解出來的簡單函數(shù)卻“更少”一些呢？這就有必要進一步根據(jù)前面所說的函數(shù)“結(jié)構(gòu)”相關知識，來制定復合函數(shù)分解的標準。

（二）分解的原則和標準

（1）復合函數(shù)分解為簡單函數(shù)時，一般要求除最后一個函數(shù)外，前面的函數(shù)一定都是基本初等函數(shù)；（2）最后一個分解出來的函數(shù)可以是以下兩種情形：要么是基本初等函數(shù)；要么是一個加減乘除算法式子，二者必居其一。對于第二種情形，最后一個函數(shù)絕對不應該是復合函數(shù)，不然說明函數(shù)分解不徹底，需要進一步分解下去，直至符合前兩條準則為止。

（二）復合函數(shù)分解中的特例

考慮到求導這個問題時，基本初等函數(shù)或加減乘除運算式相對復合函數(shù)來說一般更為簡單。對于基本初等函數(shù)求導，我們直接利用基本求導公式，對于加減乘除算式求導，我們可以利用求導四則運算法則，而對于復合函數(shù)求導，卻需要對函數(shù)先進行復合分解，再利用鏈式法則求導。有些函數(shù)既可以看作復合函數(shù)，還可看作是基本初等函數(shù)，還有些函數(shù)既可以看作是復合函數(shù)，還可以看作是函數(shù)的加減乘除運算式，因此在這種情況下，我們寧愿不把這個函數(shù)當作復合函數(shù)，而當作其他形式求導，從而避免復合分解容易出錯、求導變得復雜等問題的出現(xiàn)。

六、小結(jié)

從上面復合函數(shù)分解的常見典型問題中可以發(fā)現(xiàn)，復合函數(shù)分解確定一套可行的標準顯得非常重要，這樣我們在后續(xù)的知識學習中，才能保持知識的連續(xù)性和一貫性。對于復合函數(shù)的分解，在給學生講解的時候，把標準放在前面，用典型容易出錯的例題來對學生進行有針對性的訓練，一般會在復合函數(shù)求導這個既是重點又是難點的知識學習時，取到非常好的效果。

參考文獻：

[1]何冬梅，楊智明.關于“復合函數(shù)分解的原則”[J].高校理科研究，2011，（20）：524.

[2]劉忠志.高等數(shù)學[M].北京：北京交通大學出版社，2015：12-13.