姜培華

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 蕪湖　241000)

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周期沖擊下簇生離散混合沖擊模型的可靠性分析

姜培華

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 蕪湖241000)

摘要：建立一類簇生離散混合沖擊模型。假定沖擊按周期來(lái)到，每個(gè)周期的沖擊次數(shù)服從獨(dú)立同分布的二項(xiàng)隨機(jī)變量，沖擊強(qiáng)度服從獨(dú)立同分布的離散隨機(jī)變量。首先在混合沖擊模型下給出系統(tǒng)壽命的定義，研究系統(tǒng)壽命的生存函數(shù)、平均壽命，并給出其概率分布和遞推公式；其次定義了系統(tǒng)失效時(shí)所經(jīng)歷的具有非零沖擊量的周期數(shù)和系統(tǒng)失效時(shí)所遭受的沖擊強(qiáng)度總和等可靠性指標(biāo)，推導(dǎo)并給出這些指標(biāo)概率分布的遞推公式和期望表達(dá)式；最后在周期沖擊次數(shù)服從0-1分布、沖擊強(qiáng)度服從幾何分布下，給出了混合沖擊模型相關(guān)可靠性指標(biāo)的數(shù)值分析過(guò)程。

關(guān)鍵詞：混合沖擊模型;生存函數(shù);壽命分布;平均壽命;周期沖擊;沖擊總量;簇生

沖擊模型是可靠性理論中一類重要的隨機(jī)數(shù)學(xué)模型。起初沖擊模型常用來(lái)刻畫隨機(jī)環(huán)境下工程系統(tǒng)的壽命規(guī)律，隨著研究的推廣，它的應(yīng)用涉及更多領(lǐng)域，如物理、醫(yī)學(xué)、交通、財(cái)政和保險(xiǎn)等。沖擊模型研究的主要內(nèi)容是系統(tǒng)的壽命規(guī)律、平均沖擊量和系統(tǒng)的失效概率，基于系統(tǒng)失效機(jī)制，可分為兩類基本模型[1-2]：① 假定沖擊強(qiáng)度具有累積效果，若逐次沖擊強(qiáng)度的累積值超過(guò)系統(tǒng)的極限值則導(dǎo)致系統(tǒng)失效，稱為累積模型；② 假定沖擊強(qiáng)度無(wú)累積效果，若單個(gè)“大”的沖擊強(qiáng)度超過(guò)系統(tǒng)的極限值則導(dǎo)致系統(tǒng)失效，稱為極端模型。文獻(xiàn)[3-4]分別研究了基礎(chǔ)過(guò)程為Poisson過(guò)程和Poisson-Geometric過(guò)程的累積沖擊模型的可靠性指標(biāo)。對(duì)于沖擊模型研究的其他主要問(wèn)題參見文獻(xiàn)[5-9]。在沖擊模型的以往研究中大都關(guān)注沖擊間隔和沖擊強(qiáng)度服從連續(xù)分布的情形，也就是假定連續(xù)兩次相鄰沖擊的時(shí)間間隔服從一連續(xù)概率分布，沖擊強(qiáng)度是一組獨(dú)立同分布的連續(xù)隨機(jī)變量。對(duì)于離散沖擊模型(沖擊間隔和沖擊強(qiáng)度均服從離散型分布)的研究文獻(xiàn)相對(duì)較少，一些關(guān)于離散模型的研究成果見文獻(xiàn)[10-12]。

在很多情形下系統(tǒng)遭受的沖擊并不是逐個(gè)到來(lái)的點(diǎn)過(guò)程，而是在每一個(gè)來(lái)到時(shí)間點(diǎn)上同時(shí)存在隨機(jī)個(gè)數(shù)的不同的沖擊。本文考慮一類周期沖擊下的簇生離散模型，沖擊源按周期到來(lái)，周期可以理解為1個(gè)單位時(shí)間，如1 h、1 d或1 w等。在單個(gè)周期可能會(huì)同時(shí)釋放若干個(gè)沖擊，周期內(nèi)的每個(gè)沖擊以一定的概率(比如p)發(fā)生，每個(gè)周期發(fā)生的沖擊次數(shù)是一組獨(dú)立同分布的離散隨機(jī)變量。假定沖擊強(qiáng)度和沖擊來(lái)到過(guò)程是獨(dú)立的。

Xj表示系統(tǒng)在第j個(gè)周期內(nèi)遭受的沖擊次數(shù)，且諸Xj獨(dú)立同分布于參數(shù)為(r,p)的二項(xiàng)分布。Bji表示第j個(gè)周期內(nèi)的第i次沖擊的強(qiáng)度，假定諸沖擊強(qiáng)度Bji都是獨(dú)立同分布的離散隨機(jī)變量，且具有累積概率分布函數(shù)FB(x)和概率分布列fB(x)，則第j個(gè)周期的沖擊強(qiáng)度總量和前n個(gè)周期的沖擊強(qiáng)度總量可分別表示為：

在沖擊量可累積情況下，給定系統(tǒng)沖擊的極限值k，則累積模型系統(tǒng)失效的等待時(shí)間(系統(tǒng)壽命)為

(1)

在極端沖擊情況下，給定系統(tǒng)瞬時(shí)沖擊極限值m，則極端模型系統(tǒng)失效的等待時(shí)間(系統(tǒng)壽命)為

Tm=min{n:Mn>m}

(2)

其中Mn=max{A1,A2,…,An}。

考慮到Xj(j=1,2,…)與Bji(j=1,2,…;i=1,2,…,r)都是獨(dú)立同分布的，從而可得每個(gè)周期的沖擊總量Aj(j=1,2,…)也是獨(dú)立同分布的，其累積概率分布函數(shù)和概率分布列可分別表示為：

(3)

(4)

1混合沖擊模型

將累積模型和極端值模型結(jié)合于同一個(gè)系統(tǒng)，建立具有下述機(jī)制的混合沖擊模型：沖擊的單獨(dú)作用和累積作用均對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生影響。如果一個(gè)足夠“大”的沖擊強(qiáng)度超過(guò)系統(tǒng)瞬時(shí)極限值m，或多個(gè)“不太大”沖擊的累積強(qiáng)度超過(guò)系統(tǒng)累積極限值k，系統(tǒng)都會(huì)失效。失效時(shí)間取決于二者中較早來(lái)到者，故混合沖擊模型系統(tǒng)失效的等待時(shí)間(系統(tǒng)壽命)為

(5)

當(dāng)k≤m時(shí)，混合沖擊模型就是累積沖擊模型。因此本研究重點(diǎn)討論當(dāng)k>m時(shí)混合沖擊模型的相關(guān)性質(zhì)和結(jié)果。

定理1對(duì)于k>m≥1和n≥1，混合沖擊模型的系統(tǒng)壽命Zk,m的生存函數(shù)為

其中P{Zk,m>0}=1。

證明對(duì)于k>m≥1和n≥1，由Zk,m的定義可知

對(duì)In取條件可得

故結(jié)論成立。

系統(tǒng)的平均壽命是表征系統(tǒng)好壞的一個(gè)重要的可靠性指標(biāo)，下述推論給出了系統(tǒng)平均壽命E(Zk,m)的遞推表達(dá)式。

推論1對(duì)于k>m≥1，在混合沖擊模型下系統(tǒng)的平均壽命為

其中E(Z0,m)=[1-(1-p)r]-1。

證明由定理1可得，E(Zk,m)可表示為

移項(xiàng)整理即得

為了更好地描述系統(tǒng)的壽命特征，對(duì)于k>0,m>0，定義如下3個(gè)隨機(jī)變量：

其中：Ij是一個(gè)貝努利隨機(jī)變量，且E(Ij)=1-(1-p)r；N(Zk,m)表示在混合模型下系統(tǒng)失效時(shí)所經(jīng)歷的具有非零沖擊量的周期個(gè)數(shù)；S(Zk,m)表示在混合模型下系統(tǒng)失效時(shí)所遭受的沖擊總量。

定理2對(duì)于k>m≥1和n≥1，隨機(jī)變量N(Zk,m)的分布律為

其中φ(n,s,k,m)滿足如下遞推公式：

證明對(duì)Zk,m取條件有

又

記φ(n,s,k,m)=P{N(s)=n,Zk,m>s}，則有

對(duì)Is取條件可得

A1≤m,…,As-1≤m,a≤m}fA(a)+

(1-p)rP{N(s-1)=n,Wk,m>s-1}=

另一方面，對(duì)Is取條件有

[1-(1-p)r]P{N(s-1)=n-1,Zk,m>s-1}+

(1-p)rP{N(s-1)=n,Zk,m>s-1}=

[1-(1-p)r]φ(n-1,s-1,k,m)+(1-p)rφ(n,s-1,k,m)

綜上可知定理2成立。

定理3在混合沖擊模型下，系統(tǒng)失效時(shí)所遭受的沖擊總量S(Zk,m)的分布律為：

當(dāng)s>k，有

當(dāng)m

其中Φ(n,s,m)滿足如下遞推公式：

證明為了便于書寫和證明，記Φ(n,s,m)=P{S(n)=s,Tm>n}，由S(Zk,m)的定義可得

當(dāng)s>k時(shí)，對(duì)In取條件有

類似地，當(dāng)m

關(guān)于Φ(n,s,m)，對(duì)In取條件有

Φ(n,s,m)=P{S(n)=s,A1≤m,…,An≤m}=

[1-(1-p)r]P{S(n-1)=s-An,A1≤m,…,An≤m}+

(1-p)rP{S(n-1)=s,A1≤m,…,An-1≤m}=

(1-p)rP{S(n-1)=s,A1≤m,…,An-1≤m}=

綜合上述兩種情況定理3成立。

根據(jù)隨機(jī)變量N(Zk,m)和S(Zk,m)的定義，利用瓦爾德定理易知下述推論成立。

推論3對(duì)于k>m>0,r>1，隨機(jī)變量N(Zk,m)和S(Zk,m)的期望如下：

2數(shù)值算例

本節(jié)利用Matlab軟件，在給定沖擊強(qiáng)度Bji和單周期內(nèi)沖擊次數(shù)Xj的概率分布下，分析了混合模型下系統(tǒng)的3個(gè)可靠性指標(biāo)的變化情況，為了便于計(jì)算，作如下簡(jiǎn)化：

1) 假定單周期內(nèi)的沖擊次數(shù)Xj服從概率為p的貝努利分布，此時(shí)的沖擊強(qiáng)度Bji可以簡(jiǎn)記為Bj，從而相應(yīng)的3個(gè)指標(biāo)可以簡(jiǎn)化為：

2) 假定每次的沖擊量Bj服從發(fā)生率為θ的幾何分布，對(duì)于任意的j沖擊量Bj都是獨(dú)立同分布的，且與沖擊次數(shù)Xj和沖擊來(lái)到過(guò)程均獨(dú)立。

3) 根據(jù)假設(shè)1)和2)有

在p=0.05,0.1和θ=0.125,0.2以及(k,m)=(5,3),(10,3),(10,5),(20,5)下，計(jì)算得出E(Zk,m)，E[N(Zk,m)]和E[S(Zk,m)]的結(jié)果，見表1。分析表1可知：

1) 當(dāng)沖擊極限值(k,m)增大時(shí)，系統(tǒng)平均壽命就增大。當(dāng)給定系統(tǒng)沖擊極限值(k,m)時(shí)，發(fā)生概率p增大，則系統(tǒng)平均壽命減小。

2) 當(dāng)沖擊量Bj的概率分布給定時(shí)，系統(tǒng)失效時(shí)所遭受的非零沖擊的平均周期數(shù)E[N(Zk,m)]和失效時(shí)所遭受的平均沖擊總量E[S(Zk,m)]保持不變，且與發(fā)生概率p無(wú)關(guān)。

表1　幾何沖擊下混合模型指標(biāo)的數(shù)值分析

3結(jié)束語(yǔ)

目前，關(guān)于連續(xù)型沖擊模型的研究比較成熟，但關(guān)于離散型沖擊模型的研究相對(duì)較少。本文假定沖擊按固定周期來(lái)到，在每個(gè)周期末會(huì)產(chǎn)生若干個(gè)不同的沖擊，每個(gè)周期發(fā)生的沖擊次數(shù)是獨(dú)立同分布的二項(xiàng)隨機(jī)變量序列，每次的沖擊強(qiáng)度是獨(dú)立同分布的離散隨機(jī)變量序列，沖擊來(lái)到過(guò)程、單周期的沖擊次數(shù)和沖擊強(qiáng)度三者相互獨(dú)立。在上述假設(shè)下研究了混合沖擊模型的壽命分布、平均壽命、系統(tǒng)失效時(shí)所經(jīng)歷的具有非零沖擊量的周期個(gè)數(shù)以及系統(tǒng)失效時(shí)所遭受的沖擊總量等可靠性指標(biāo)。給出了系統(tǒng)壽命的生存函數(shù)和平均壽命的遞推公式、非零周期數(shù)和沖擊總量?jī)蓚€(gè)指標(biāo)的概率分布遞推公式和期望的表達(dá)式。最后，在給定沖擊強(qiáng)度服從幾何分布、單周期內(nèi)沖擊次數(shù)服從貝努利分布下，分析了混合模型下系統(tǒng)的3個(gè)可靠性指標(biāo)的變化情況，并給出相應(yīng)結(jié)論。

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(責(zé)任編輯何杰玲)

Reliability Analysis of a Mixed Model Under Clustered Discrete Shocks of Periodical Arrival

JIANG Pei-hua

(School of Mathematics and Physics, Anhui Polytechnic University, Wuhu 241000, China)

Abstract:A class of discrete clusters of mixed shock model was established, assuming that the shock came in cycles and in each cycle the number of shocks were independent and identically distributed random variables with binomial distribution, and the shock intensity impact obeyed discrete random variables. First, under the mixed shock model, the system’s lifetime was defined, the survival function and expectation of the system’s lifetime were studied, and their probability distribution and recursive formulas were also given. Secondly, we defined the number of periods in which the system has a non-zero amount of shock during failure and the amount of total shocks which the system suffered by the failure time. Furthermore the recursive formula expressions about the probability distribution and the expectation of those indexes were derived. Finally, assuming that the number of shocks in a period obeyed 0-1 distribution and the shock intensity followed geometric distribution, we given a numerical analysis of the relevant reliability index.

Key words:mixed shock model; survival function; lifetime distribution; mean lifetime; periodic shock; total shocks; cluster

文章編號(hào)：1674-8425(2016)04-0154-07

中圖分類號(hào)：O211.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.04.026

作者簡(jiǎn)介：姜培華(1979—)，男，山東曹縣人，碩士，講師，主要從事概率統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過(guò)程研究。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11401006)；安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(1208085QA04)；2015年安徽省高等教育提升計(jì)劃省級(jí)自然科學(xué)研究一般項(xiàng)目(TSKJ2015B29)

收稿日期：2015-10-21

引用格式：姜培華.周期沖擊下簇生離散混合沖擊模型的可靠性分析[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2016(4):154-160.

Citation format：JIANG Pei-hua.Reliability Analysis of a Mixed Model Under Clustered Discrete Shocks of Periodical Arrival[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(4):154-160.