馬 靜 ，高 翔 ，李益楠 ，王增平

（1.華北電力大學(xué) 新能源電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102206；2.國(guó)網(wǎng)冀北電力有限公司廊坊供電公司，河北 廊坊 065000）

0 引言

風(fēng)電的發(fā)展是世界各國(guó)未來(lái)能源戰(zhàn)略的重要組成部分，但風(fēng)機(jī)出力的波動(dòng)性往往導(dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)行工況發(fā)生大范圍變化，這為電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定與經(jīng)濟(jì)運(yùn)行帶來(lái)了巨大風(fēng)險(xiǎn)［1-4］。因此，迫切需要對(duì)含風(fēng)速隨機(jī)特征的多工況電力系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行深入研究。

目前，有關(guān)風(fēng)電接入下電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究主要集中在風(fēng)機(jī)自身以及電網(wǎng)側(cè)單一運(yùn)行工況下的穩(wěn)定性方面。文獻(xiàn)［5-7］研究了不同風(fēng)機(jī)接入下風(fēng)功率變化對(duì)風(fēng)機(jī)自身穩(wěn)定性的影響，然而該方法并未對(duì)風(fēng)機(jī)接入后網(wǎng)側(cè)電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析；文獻(xiàn)［8-10］分析了風(fēng)電接入下風(fēng)功率變化對(duì)網(wǎng)側(cè)電力系統(tǒng)振蕩模式的影響，并指出在采用定子電壓鎖相環(huán)的情況下可以使用靜態(tài)功率源代替高階風(fēng)機(jī)模型分析電力系統(tǒng)機(jī)電振蕩，但是該方法僅針對(duì)電力系統(tǒng)的單一運(yùn)行工況進(jìn)行分析，并未給出多工況下電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法。文獻(xiàn)［11-12］針對(duì)風(fēng)機(jī)的功率變化特性，將時(shí)域仿真法與蒙特卡羅法相結(jié)合分析多工況下電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性，然而為保證計(jì)算結(jié)果的精確性，蒙特卡羅法需要生成大量計(jì)算場(chǎng)景，因此對(duì)于大規(guī)模電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析研究將非常耗時(shí)。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出一種考慮風(fēng)速隨機(jī)特征的多工況電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法。首先利用參數(shù)Weibull模型擬合預(yù)測(cè)短時(shí)間內(nèi)的風(fēng)速變化趨勢(shì)，并將風(fēng)速區(qū)間化，同時(shí)，選取條件特征風(fēng)速，計(jì)算條件特征風(fēng)速概率密度矩陣；然后根據(jù)風(fēng)速與風(fēng)機(jī)出力分段函數(shù)確定系統(tǒng)運(yùn)行工況，建立連續(xù)蒙特卡羅多工況電力系統(tǒng)模型；在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建Lyapunov泛函，利用Dynkin引理對(duì)泛函的弱無(wú)窮小算子進(jìn)行變換，推導(dǎo)出滿足干擾衰減度γ的魯棒隨機(jī)穩(wěn)定線性矩陣不等式（LMI），并轉(zhuǎn)化為可行性問(wèn)題，以判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。IEEE 4機(jī)11節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)時(shí)域仿真結(jié)果均表明該方法能夠快速有效地對(duì)多工況下的電力系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析，計(jì)算量小，簡(jiǎn)單可行。

1 考慮風(fēng)速隨機(jī)特征的多工況電力系統(tǒng)模型

風(fēng)機(jī)出力受風(fēng)速隨機(jī)特征影響呈現(xiàn)多種運(yùn)行方式，若恰當(dāng)?shù)貙?duì)風(fēng)速的隨機(jī)特征進(jìn)行分析，模擬含風(fēng)機(jī)出力影響的電力系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)，則能對(duì)考慮風(fēng)速隨機(jī)特征的多工況電力系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行有效分析。

1.1 條件風(fēng)速概率密度與風(fēng)機(jī)出力模型

定義條件風(fēng)速概率密度［13-14］為某一條件特征風(fēng)速下，下一時(shí)刻（采樣間隔10min）或若干時(shí)刻后的風(fēng)速概率密度。采用雙參數(shù)Weibull分布擬合風(fēng)速條件概率密度曲線。

雙參數(shù)Weibull分布可描述為：

其中，vi為當(dāng)前時(shí)刻風(fēng)速；k為形狀系數(shù)；c為尺度系數(shù)。

風(fēng)速的概率分布函數(shù)為：

忽略電氣損耗以及風(fēng)電場(chǎng)尾流等因素，風(fēng)電機(jī)組出力與風(fēng)速之間的近似函數(shù)關(guān)系可以表示為：

其中，vci為風(fēng)電機(jī)組切入風(fēng)速；vco為風(fēng)電機(jī)組切出風(fēng)速；vR為風(fēng)電機(jī)組額定風(fēng)速；PR為風(fēng)電機(jī)組額定輸出功率。

由式（1）—（3）得到風(fēng)電機(jī)組輸出功率的分段概率函數(shù)為：

1.2 基于連續(xù)蒙特卡羅的多工況電力系統(tǒng)模型

系統(tǒng)的多工況模型可用連續(xù)蒙特卡羅跳變系統(tǒng)表示為：

其中，xt∈Rn為狀態(tài)向量；ut∈Rp為控制輸入向量；zt∈Rr為控制輸出向量；ωt為白噪聲，滿足E｛dωt｝=0，為在有限空間 S=｛1，2，…，l｝中取值的連續(xù)蒙特卡羅過(guò)程，對(duì)應(yīng)各個(gè)風(fēng)速模式下的系統(tǒng)運(yùn)行工況，描述系統(tǒng)工況隨風(fēng)機(jī)出力變化的演化過(guò)程，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度可以表示為式（6）。

其中，H為轉(zhuǎn)移概率；st為處于t時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)；st+Δ為處于t+Δ時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)；矩陣π表示蒙特卡羅轉(zhuǎn)移概率密度矩陣，πij為系統(tǒng)運(yùn)行工況在t時(shí)刻處于i而在t+Δ時(shí)刻處于j的轉(zhuǎn)換概率密度。

其中，狀態(tài)概率密度πij可由狀態(tài)概率Pij和式（1）—（4）計(jì)算求得。

對(duì)于每一個(gè) st=i∈S，記 A（st）、B（st）、G（st）、C（st）、D（st）、L（st）分別表示為 Ai、Bi、Gi、Ci、Di、Li，并且不確定參數(shù)滿足匹配性條件：

其中，Hi和Mi為已知矩陣；實(shí)矩陣 F（i，t）反映了系統(tǒng)不確定參數(shù)的結(jié)構(gòu)信息，滿足式（9）。

2 考慮風(fēng)速隨機(jī)特征的多工況電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法

定義 1［15］對(duì)于式（5）所示系統(tǒng)，當(dāng) ut=0 以及所有的初始條件x0∈Rn和s0∈S成立時(shí)，若滿足：

則形如式（5）的連續(xù)蒙特卡羅系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定。

定理1給定正常數(shù)γ＞0，若存在一組正定對(duì)稱矩陣 Pi＞0（i∈S），使得如下一組矩陣不等式成立：

則當(dāng)ut=0時(shí)，式（5）所示系統(tǒng)魯棒隨機(jī)穩(wěn)定，且滿足擾動(dòng)衰減度γ，即：

其中，Ai、Ci、Gi、Li為式（5）所示系統(tǒng)各部分系數(shù)矩陣；“*”為矩陣中對(duì)稱部分的簡(jiǎn)寫(xiě)；P（s0）為適維正定對(duì)稱矩陣。

證明如下。

利用Schur定理，由式（11）可知：

由于對(duì) i∈S，有，故：

因此，只需證明式（15）成立的條件下，式（5）所示系統(tǒng)魯棒隨機(jī)穩(wěn)定，即可證明定理1的魯棒隨機(jī)穩(wěn)定判據(jù)成立。

構(gòu)造Lyapunov泛函：

當(dāng) ωt=0 時(shí)，由泛函 V（xt，i）的弱無(wú)窮小算子可知：

其中，l為弱無(wú)窮小算子符號(hào)。

即存在一組正定矩陣 Qi＞0（i∈S），使得：

從而：

其中，λmin［Qi］為矩陣 Qi特征根的最小值。

由Dynkin引理，有：

由式（19）可知：

因此，有：

當(dāng)t ∞時(shí)，有：

由式（15）—（22）可知式（5）所示系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定。

當(dāng) ωt≠0 時(shí)，泛函 V（xt，i）的弱無(wú)窮小算子可表示為：

定義指標(biāo)函數(shù)：

由于：

因此：

由Dynkin引理，有：

由 E［V（xT，sT）］≥0 以及式（15），有：

當(dāng)T ∞時(shí)，有：

即由式（23）—（26）知，式（11）使得式（5）所示系統(tǒng)具有擾動(dòng)衰減度γ。

定理1中判據(jù)是個(gè)LMI的可行性問(wèn)題，可以通過(guò)MATLAB LMI工具包中的feasp求解器進(jìn)行求解。 即對(duì)于給定的 LMI系統(tǒng) A（x）＜B（x），通過(guò)求解式（27）所示輔助凸優(yōu)化問(wèn)題，尋找到全局最小標(biāo)量值 ξmin，如果 ξmin＜0，則存在 x∈Rn滿足下式：

故式（5）所示多工況電力系統(tǒng)模型的穩(wěn)定性可采用如下優(yōu)化問(wèn)題表示：

利用LMI工具包對(duì)式（28）進(jìn)行求解，若存在ξ＜0以及滿足定理1所示正定矩陣Pi＞0，則式（5）所示系統(tǒng)魯棒隨機(jī)穩(wěn)定，且滿足擾動(dòng)衰減度γ；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

3 算例分析

3.1 條件風(fēng)速概率密度矩陣的求取

以某風(fēng)電場(chǎng)1個(gè)月內(nèi)實(shí)測(cè)風(fēng)速數(shù)據(jù)為例進(jìn)行分析，其中切入風(fēng)速為 3 m／s，額定風(fēng)速為 12 m／s，切出風(fēng)速為22 m／s，風(fēng)機(jī)輸出功率曲線如圖1所示。以1 m／s為區(qū)間寬度將風(fēng)速劃分為10個(gè)模式，構(gòu)成連續(xù)蒙特卡羅模型狀態(tài)集合，記作 S=｛1，2，…，10｝，各模式信息在表1中給出。

圖1 風(fēng)電機(jī)組功率曲線Fig.1 Power curve of wind turbine

概率密度轉(zhuǎn)移矩陣的詳細(xì)求解過(guò)程如下。

加入左聯(lián)后的魯迅以其豐碩的創(chuàng)作實(shí)績(jī)和其巨大的影響力和感召力進(jìn)行著工作。他閱讀并翻譯了多種蘇聯(lián)文藝作品和理論著作，用犀利的文筆與當(dāng)時(shí)國(guó)民黨政府的文化圍剿進(jìn)行斗爭(zhēng)，“左聯(lián)”五位青年進(jìn)步作家，被國(guó)民黨逮捕殺害，魯迅隨即寫(xiě)下《黑暗中國(guó)的文藝現(xiàn)狀》等文章，揭露國(guó)民黨政府的罪行。魯迅積極地進(jìn)行被害同志的營(yíng)救工作，在瞿秋白、陳賡、廖承志、丁玲等人的營(yíng)救工作中，奔走呼號(hào)，做了極大的努力。1935年冬，中共北方局跟黨中央失去了聯(lián)系，他又為黨接通了這條中斷的線，使革命工作得以順利進(jìn)行。

（1）在某一條件風(fēng)速的前提下，根據(jù)風(fēng)速采樣數(shù)據(jù)尋找與條件風(fēng)速相等的所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，取這些點(diǎn)下一時(shí)刻或若干個(gè)時(shí)刻的風(fēng)速數(shù)據(jù)構(gòu)成新的數(shù)據(jù)子集，得到表1中各個(gè)條件風(fēng)速下的轉(zhuǎn)移概率矩陣。

表1 條件風(fēng)速模式Table 1 Modes of conditional wind speed

（2）將轉(zhuǎn)移概率矩陣的每一行代入式（2）進(jìn)行擬合，可得到該條件風(fēng)速下的Weibull擬合系數(shù)，結(jié)果如表2所示。

表2 風(fēng)速模式下條件風(fēng)速概率密度的Weibull擬合系數(shù)Table 2 Weibull fitting coefficients of conditional wind speed probability density for different wind speed modes

（3）根據(jù)表2及式（1）求得各條件風(fēng)速概率密度矩陣如式（29）所示。

3.2 4機(jī)系統(tǒng)

以IEEE 4機(jī)11節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2所示，該系統(tǒng)包含區(qū)域1與區(qū)域2這2個(gè)區(qū)域，其中發(fā)電機(jī)G1和G2位于區(qū)域1，發(fā)電機(jī)G3和G4位于區(qū)域2，2個(gè)區(qū)域之間的聯(lián)絡(luò)線7-8與8-9均為雙回線。發(fā)電機(jī)采用6階詳細(xì)模型，勵(lì)磁系統(tǒng)采用快速勵(lì)磁，基準(zhǔn)模型下的負(fù)荷采用50%恒阻抗和50%恒電流模型。仿真時(shí)將區(qū)域2中發(fā)電機(jī)G4以等容量的功率源代替，以模擬風(fēng)機(jī)輸出功率的工況變化情況［10］。

圖2 4機(jī)2區(qū)域電網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 4-machine 2-area power system

首先，利用模態(tài)分析法得到4機(jī)系統(tǒng)相應(yīng)風(fēng)機(jī)出力模式下的狀態(tài)矩陣并利用選擇模式分析SMA（Selective Model Analysis）方法將系統(tǒng)降到8階，降階后的狀態(tài)矩陣只保留與發(fā)電機(jī)機(jī)電暫態(tài)相關(guān)的狀態(tài)量，即發(fā)電機(jī)功角和發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速［16］。然后，將降階后的系統(tǒng)狀態(tài)矩陣與式（29）所示狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度矩陣代入式（28），擾動(dòng)衰減度γ取0.1，利用可行性問(wèn)題求解方法求得該LMI成立，且存在正定矩陣Pi，4機(jī)系統(tǒng)魯棒隨機(jī)穩(wěn)定。 其中，式（30）、（31）給出了部分正定矩陣Pi的取值。

由上述計(jì)算結(jié)果可知，該4機(jī)系統(tǒng)滿足定理1所示魯棒隨機(jī)穩(wěn)定條件，即該系統(tǒng)在考慮風(fēng)速隨機(jī)特征時(shí)為魯棒隨機(jī)穩(wěn)定的系統(tǒng)。

圖3和圖4分別就系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行中可能出現(xiàn)的運(yùn)行工況變化情況進(jìn)行時(shí)域仿真，其中，圖3為系統(tǒng)僅發(fā)生一次工況變化情況下，發(fā)電機(jī)G2與G3間的相對(duì)功角δ23的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，圖4為系統(tǒng)發(fā)生多工況變化情況時(shí)發(fā)電機(jī)G2與G3間的相對(duì)功角的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。圖中系統(tǒng)實(shí)際仿真結(jié)果與本方法判斷結(jié)果一致。由此驗(yàn)證了本方法的有效性和正確性，同時(shí)，該方法可在不獲取運(yùn)行軌跡的前提下準(zhǔn)確判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，計(jì)算量少。

圖3 4機(jī)系統(tǒng)單工況變化情況下發(fā)電機(jī)G2-G3相對(duì)功角動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.3 Dynamic response of relative power angle between G2and G3to single operating condition change of 4-machine system

圖4 4機(jī)系統(tǒng)多工況變化情況下發(fā)電機(jī)G2-G3相對(duì)功角動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.4 Dynamic response of relative power angle between G2and G3to multiple operating condition changes of 4-machine system

3.3 16機(jī)系統(tǒng)

以IEEE 16機(jī)68節(jié)點(diǎn)的新英格蘭—紐約互聯(lián)系統(tǒng)為例，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5所示。該系統(tǒng)可分為五大區(qū)域，其中區(qū)域1、2和3為等值系統(tǒng)，區(qū)域4為紐約系統(tǒng)，區(qū)域5為新英格蘭系統(tǒng)，將區(qū)域3中發(fā)電機(jī)G16以等容量的功率源代替，以模擬風(fēng)機(jī)輸出功率的變化情況。發(fā)電機(jī)采用6階詳細(xì)模型，勵(lì)磁采用IEEE-DC1型勵(lì)磁，負(fù)荷模型采用WECC負(fù)荷模型，80%的恒有功負(fù)荷，80%的恒無(wú)功阻抗負(fù)荷，20%的動(dòng)態(tài)負(fù)荷。

圖5 16機(jī)68節(jié)點(diǎn)電網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖Fig.5 16-machine 68-bus power system

首先利用SMA方法分別將各工況下系統(tǒng)狀態(tài)矩陣降到32階，并將降階后的系統(tǒng)狀態(tài)矩陣與式（29）所示概率密度轉(zhuǎn)移矩陣代入式（28），擾動(dòng)衰減度γ取0.1，利用可行性問(wèn)題求解方法求得該LMI成立。由于所得矩陣Pi中P6存在負(fù)數(shù)特征根 -15.3827，即矩陣Pi存在非正定矩陣，因此，該16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的新英格蘭—紐約互聯(lián)系統(tǒng)在考慮風(fēng)機(jī)出力變化時(shí)不滿足魯棒隨機(jī)穩(wěn)定條件。

圖6和圖7分別就系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行中可能出現(xiàn)的運(yùn)行工況變化情況進(jìn)行時(shí)域仿真，其中，圖6為系統(tǒng)僅發(fā)生一次工況變化情況時(shí)發(fā)電機(jī)G1與G8間的相對(duì)功角δ18動(dòng)態(tài)響應(yīng)，圖7為多次工況變化情況下發(fā)電機(jī)G1與G8間的相對(duì)功角δ18動(dòng)態(tài)響應(yīng)。由圖可知，系統(tǒng)在單次與多次工況變化情況時(shí)均存在不穩(wěn)定情況，這與本方法的判穩(wěn)結(jié)果一致。

分別對(duì)系統(tǒng)各運(yùn)行工況的狀態(tài)矩陣做進(jìn)一步分析，各狀態(tài)矩陣最小阻尼比如表3所示。由表3可知，各運(yùn)行模式下?tīng)顟B(tài)矩陣特征值均具有負(fù)實(shí)部，此時(shí)，若利用特征值分析法單獨(dú)分析任一運(yùn)行工況的穩(wěn)定性，分析結(jié)果均為穩(wěn)定。然而，在考慮風(fēng)速隨機(jī)特征的多工況電力系統(tǒng)中，系統(tǒng)從一個(gè)穩(wěn)定工況切換到另一個(gè)穩(wěn)定工況時(shí)可能發(fā)生失穩(wěn)，因此，該現(xiàn)象是傳統(tǒng)針對(duì)單一工況的穩(wěn)定性分析方法無(wú)法分析的現(xiàn)象，但本方法卻能夠有效針對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行穩(wěn)定性判別。

圖6 16機(jī)系統(tǒng)單工況變化情況下發(fā)電機(jī)G1-G8相對(duì)功角動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.6 Dynamic response of relative power angle between G1and G8to single operating condition change of 16-machine system

圖7 16機(jī)系統(tǒng)多工況變化情況下發(fā)電機(jī)G1-G8相對(duì)功角動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.7 Dynamic response of relative power angle between G1and G8to multiple operating condition changes of 16-machine system

表3 16機(jī)系統(tǒng)各運(yùn)行模式最小阻尼比Table 3 Minimum damping ratio of 16-machine system for different operating modes

4 結(jié)論

本文提出了一種考慮風(fēng)速隨機(jī)特征的多工況電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法。該方法具有以下特點(diǎn)：

（1）將電力系統(tǒng)按照風(fēng)速隨機(jī)特征劃分成不同的運(yùn)行工況，以此建立連續(xù)蒙特卡羅多工況電力系統(tǒng)模型，分析多工況電力系統(tǒng)穩(wěn)定性；

（2）將電力系統(tǒng)的多工況穩(wěn)定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可行性求解問(wèn)題，無(wú)需獲取系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行軌跡，計(jì)算量小，應(yīng)用便捷；

（3）風(fēng)機(jī)出力變化導(dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)行工況發(fā)生變化，為系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來(lái)了新的問(wèn)題，基于連續(xù)蒙特卡羅的多工況電力系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)能有效解決這一問(wèn)題。

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