方海紅，莊 凌，董春楊，鞠曉燕，宋景亮

（北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所，北京，100076）

一種確定火箭彈靜不穩(wěn)定度邊界值的方法

方海紅，莊 凌，董春楊，鞠曉燕，宋景亮

（北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所，北京，100076）

放寬火箭彈的靜穩(wěn)定度在降低火箭彈成本，提高火箭彈射程、機(jī)動(dòng)能力等性能的同時(shí)也給控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來影響，確定系統(tǒng)最大可適應(yīng)的靜穩(wěn)定度對(duì)火箭彈總體設(shè)計(jì)技術(shù)具有重要意義。以過載反饋回路為基礎(chǔ)提出一種確定靜不穩(wěn)定度邊界值的方法，并通過仿真驗(yàn)證了其正確性，為工程研制早期階段的總體設(shè)計(jì)以及控制系統(tǒng)的性能評(píng)估提供依據(jù)。

靜不穩(wěn)定度；火箭彈；控制系統(tǒng)穩(wěn)定性

0 引 言

火箭彈作為常規(guī)火藥在局部軍事打擊中發(fā)揮重要作用，其射程、機(jī)動(dòng)能力、射擊精度等是武器系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要因素。為滿足縱深打擊的需求，開展了遠(yuǎn)程制導(dǎo)火箭彈技術(shù)的研究以提高火箭彈的作戰(zhàn)能力[1～3]。

研究表明，飛行器的穩(wěn)定性、機(jī)動(dòng)性均與靜穩(wěn)定度有關(guān)，靜穩(wěn)定度越大，飛行器的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性越好，但機(jī)動(dòng)性越差；反之，靜穩(wěn)定度越小或者靜不穩(wěn)定，則運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性越差，機(jī)動(dòng)性越好。在飛行器速度和高度一定的情況下，飛行中所能產(chǎn)生的過載取決于攻角、側(cè)滑角及舵面偏轉(zhuǎn)角。由于飛行器在飛行過程中基本氣動(dòng)外形不變，所以隨著靜穩(wěn)定度的降低，導(dǎo)彈可用過載增大，在飛行器處于靜不穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)質(zhì)心更靠后，配平彈翼和彈身產(chǎn)生力矩的氣動(dòng)力減小，從而舵面面積和質(zhì)量都將相應(yīng)減小。因此，為了改善飛行器的機(jī)動(dòng)性，飛行器彈體特性設(shè)計(jì)上不斷朝著臨界穩(wěn)定或靜不穩(wěn)定特性方向發(fā)展，以空空導(dǎo)彈尤為顯著[4]。

為了保證飛行穩(wěn)定性，傳統(tǒng)火箭彈均設(shè)計(jì)為靜穩(wěn)定特性，一方面限制了火箭彈的機(jī)動(dòng)性能，另一方面為了實(shí)現(xiàn)火箭彈的靜穩(wěn)定需要為火箭彈增加配重，這無疑增加了火箭彈的重量，同時(shí)減小了火箭彈有效載荷，對(duì)火箭彈的射程以及作戰(zhàn)效能帶來影響。為了降低火箭彈成本，提高火箭彈射程、機(jī)動(dòng)能力等性能，增加火箭彈單車作戰(zhàn)情況下的打擊覆蓋范圍，開展靜不穩(wěn)定設(shè)計(jì)技術(shù)是未來制導(dǎo)火箭彈的發(fā)展趨勢(shì)。由于低成本的要求，這類火箭彈所選用的慣性測(cè)量裝置、舵機(jī)組合的動(dòng)態(tài)性能均受到一定限制，這對(duì)靜不穩(wěn)定火箭彈的設(shè)計(jì)帶來挑戰(zhàn)，確定系統(tǒng)最大可適應(yīng)的靜穩(wěn)定度對(duì)火箭彈的總體設(shè)計(jì)技術(shù)具有重要意義。

本文以過載反饋回路為基礎(chǔ)提出了一種分析靜不穩(wěn)定度邊界值的確定方法，為工程研制早期階段的總體設(shè)計(jì)以及控制系統(tǒng)的性能評(píng)估提供依據(jù)。

1 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型

為了進(jìn)行火箭彈自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)并對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行分析，基于凍結(jié)系數(shù)法和小擾動(dòng)線性化的假設(shè)，建立火箭彈的縱向運(yùn)動(dòng)模型。

式中 Δ?為俯仰姿態(tài)角偏差；Δθ為速度傾角偏差；Δα為攻角偏差；Δδφ為俯仰舵偏值；ΔMz1j為作用在俯仰方向上的干擾力矩；ΔFyk為作用在俯仰方向上的干擾力；b1f,b2f,b3f,c1f,c2f,c3f為俯仰方向彈體模型參數(shù)。

考慮火箭彈正常式布局，有c3f<

可得到過載傳遞函數(shù)：

根據(jù)文獻(xiàn)[4]，對(duì)于靜不穩(wěn)定飛行器可以通過人工增穩(wěn)的方法實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定，且不同的自動(dòng)駕駛儀回路結(jié)構(gòu)對(duì)靜不穩(wěn)定度的適應(yīng)程度不一致[5，6]，而過載反饋回路結(jié)構(gòu)對(duì)靜不穩(wěn)定具有更好的適應(yīng)性。在本文中考慮選擇如圖1所示的過載反饋回路結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。舵機(jī)、陀螺以及加速度表采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，具體如式（5）～（7）所示。

圖1 兩回路過載反饋?zhàn)詣?dòng)駕駛儀結(jié)構(gòu)形式

式中agc,,GGGδ分別為舵機(jī)、陀螺與加速度表的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，與設(shè)備的特性有關(guān)；agc,,???δ為阻尼比參數(shù)，一般為0.5～0.7；δωωω,,agc分別為陀螺、加速度表和舵機(jī)帶寬；agc,ττ分別為陀螺和加速度表的延時(shí)。agc,ωω在幾十赫茲時(shí)，對(duì)于MeMS陀螺及加速度表agc,ττ數(shù)值可達(dá)10 ms，δω范圍較大。

2 靜不穩(wěn)定度對(duì)穩(wěn)定性影響分析

根據(jù)圖1可以寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：

根據(jù)工程實(shí)際數(shù)據(jù)，加速度表的動(dòng)態(tài)特性優(yōu)于陀螺，因此分析中可取加速度表與陀螺的傳遞函數(shù)一致以簡(jiǎn)化分析過程，即Ga=Ggc，則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

為論述方便，將oG改寫成：

式中

開環(huán)系統(tǒng)伯德圖曲線如圖2所示[7]。

圖2 系統(tǒng)開環(huán)伯德圖漸近曲線

從圖2中可見：在KdB一定的情況下，隨著的增大即靜不穩(wěn)定度的增加，ωT2向高頻部分移動(dòng)，從而ωc將向高頻部分移動(dòng)，整個(gè)開環(huán)系統(tǒng)的相角裕度γ以及幅值裕度Kg隨之減小，到一定程度系統(tǒng)將出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象。

3 靜不穩(wěn)定邊界值分析

根據(jù)圖2曲線，在其他參數(shù)不變時(shí)，若A2增大則系統(tǒng)帶寬增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度下降，A2的臨界值為系統(tǒng)裕度達(dá)到零，同時(shí)系統(tǒng)靜態(tài)增益對(duì)帶寬也有貢獻(xiàn)，當(dāng)靜態(tài)增益為0 dB時(shí)，增益達(dá)到最大。

根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，系統(tǒng)穩(wěn)定的極限條件須滿足如下條件：

考慮到控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中舵機(jī)帶寬ωδ遠(yuǎn)高于控制系統(tǒng)的帶寬ωc，為了便于求解，在主值區(qū)間內(nèi)可將相位角度方程中的第1項(xiàng)arctan(ω/ωT1)采用式（16）所示的線性方程近似代替，將方程中的第2項(xiàng)arctan((2?ω/ωδ)/(1-ω2/ωδ2))采用式（17）代替。

則，式（15）的第1式可以簡(jiǎn)化為

對(duì)于式（18）第1項(xiàng)產(chǎn)生的最小相位為45°，最大相位為90°，因此有：

從而，ωc滿足如下：

根據(jù)式（15）在極限條件下有ωT1=A2/ωc，因此有下式成立：

應(yīng)用式（20）、式（21）可得到允許的最大靜不穩(wěn)定。

圖3、圖4給出了替代方法下的相位擬合誤差曲線。

圖3 式（16）擬合誤差曲線

圖4 式（17）擬合誤差曲線

將式（21）展開并整理可得：

令y=1+2logωc-Kωcωc，其中Kωc=80/(45ωδ)+4/(π)·τgc，將y對(duì)ωc求導(dǎo)數(shù)：

應(yīng)用極值原理[8]，ωc=2ln·(1/Kωc)時(shí)，y取到極大值。

由于2ln·(1/Kωc)=0.868/Kωc<1/Kωc，因此當(dāng)ωc=1/Kωc時(shí)，取最大值且最大值滿足：

從而可得到采用以過載+角速度反饋回路結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜不穩(wěn)定彈體特性穩(wěn)定控制時(shí)，系統(tǒng)能夠適應(yīng)的最大靜不穩(wěn)定度：

根據(jù)結(jié)果，系統(tǒng)可適應(yīng)的最大靜不穩(wěn)定度由舵機(jī)帶寬以及陀螺的延遲時(shí)間決定。

給定ωδ=18 Hz，τgc=0.01，計(jì)算可得到=1 235，ωc=35.1 rad/s。

假定系統(tǒng)參數(shù)為

選取自動(dòng)駕駛儀的控制參數(shù)為：Kw=0.139，Ka=0.543。仿真得到系統(tǒng)的伯德圖如圖5所示，階躍響應(yīng)曲線如圖6所示。調(diào)整A2=-1 200在參數(shù)不變情況下的階躍響應(yīng)曲線如圖7所示。

圖5 靜不穩(wěn)定取極值時(shí)伯德圖

圖6 靜不穩(wěn)定取極值時(shí)階躍響應(yīng)

圖7 靜不穩(wěn)定降低(A2=-1 200)后階躍響應(yīng)

根據(jù)仿真結(jié)果可以看出：在式（25）所確定的靜不穩(wěn)定度條件下系統(tǒng)為不穩(wěn)定狀態(tài)，將靜不穩(wěn)定度縮小1%之后系統(tǒng)穩(wěn)定，表明式（25）的結(jié)果正確。

4 結(jié) 論

本文以縱向通道為例對(duì)靜不穩(wěn)定火箭彈靜不穩(wěn)定邊界值進(jìn)行了研究，給出了過載反饋?zhàn)詣?dòng)駕駛儀的結(jié)構(gòu)，并且推導(dǎo)給出了該自動(dòng)駕駛儀結(jié)構(gòu)下控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，給出了其伯德圖，分析了靜不穩(wěn)定度對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，基于系統(tǒng)的穩(wěn)定條件推導(dǎo)了系統(tǒng)可適應(yīng)的最大靜不穩(wěn)定的極值點(diǎn)及其具體計(jì)算公式。本文結(jié)果以火箭彈為基礎(chǔ)推導(dǎo)得到，但同樣可以適用于其他飛行器，為工程研制早期階段的總體設(shè)計(jì)以及控制系統(tǒng)的性能評(píng)估提供依據(jù)。

[1] 岳松堂. 多管火箭炮及其遠(yuǎn)程制導(dǎo)彈藥[J]. 現(xiàn)代軍事, 2007(2): 26-31.

[2] 軼名. WS-2多管遠(yuǎn)程制導(dǎo)火箭系統(tǒng)[J]. 現(xiàn)代軍事, 2007(2): 34-35.

[3] 陳光文. 解析我國(guó)最新型“神鷹”400制導(dǎo)火箭炮系統(tǒng)[J]. 現(xiàn)代兵器, 2009(2): 22-26.

[4] 關(guān)世義. 放寬靜穩(wěn)定性原理在現(xiàn)代飛行器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J]. 戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈技術(shù), 1985(2).

[5] 程云龍. 防空導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)[M]. 北京: 中國(guó)宇航出版社, 2007.

[6] 劉代軍. 自動(dòng)駕駛儀結(jié)構(gòu)對(duì)靜不穩(wěn)定彈體的適應(yīng)性分析[J]. 戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈技術(shù), 2001(3): 47-53.

[7] 李友善. 自動(dòng)控制原理[M]. 北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 1989.

[8] 關(guān)肇值, 韓京清. 極值控制與極大值原理[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1980.

A Method to Calculate the Static degree of Unstable Boundary of Guided-Rocket

Fang Hai-hong, Zhuang Ling, dong chun-yang, Ju Xiao-yan, Song Jing-liang
(Beijing Institute of Space Long March Vehicle, Beijing, 100076)

enhancing the static degree of stability is useful for reducing the cost, improving the maneuver and range capability of the rocket and also effecting the stability of the control system. confirming the maximum unstable stability is significant for the design of guided-rocket. a method to calculate the static degree of unstable boundary is proposed based on the overloading feedback loop and be demonstrated through simulation which supplies evidence for general design in early research stage and performance evaluation of control system.

Static degree of unstable; Rocket; control system stability

V414.3+4

a

1004-7182(2016)01-0077-04

10.7654/j.issn.1004-7182.20160118

2015-03-23；

2015-06-12

方海紅（1979-），男，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)轱w行器導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制