張旭 ，彭玉升

（安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133）

1 引言

考慮非線性方程組

其 中F（x）=[ f1(x)，f2(x)，…，fn(x)]T, x=（x（1），x（2），Lx（n））T且fi（i=1,2,…,n）是Rn→R 的非線性函數(shù)。求解非線性方程組的大多數(shù)迭代方法是利用Adomian分解法[1-2]，求積公式[3-5]來(lái)構(gòu)造的。另外，Hueso 等[6]根據(jù)Kung 和Traub 的猜想提出了一類(lèi)最優(yōu)的具有4、6 階收斂的迭代格式；Xiao[7]提出一種具有m+2階收斂精度的改進(jìn)牛頓方法，該方法針對(duì)高維的非線性方程組收斂效果更明顯；Sharma[8]利用一階差分算子來(lái)計(jì)算函數(shù)的Taylor 展開(kāi)得到具有4 階和6 階收斂精度的兩種迭代格式。受Cordero 等[9-10]的兩種加速收斂迭代方法的啟發(fā)，本文提出了一種帶參數(shù)α，β 的加速收斂的迭代方法。所給出的是迭代格式的一般形式，并分析了收斂階，若滿足α+β=1且 β≠0，則該迭代方法至少具有p+2（p＞1）階收斂精度；當(dāng) α=0，β=1 與 α=1，β=0 時(shí)分別是文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]中的迭代方法。最后將此一般格式應(yīng)用到一種具有4 階收斂的迭代方法上，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了新的迭代格式的可行性。

2 迭代方法

假設(shè)函數(shù)F（x）：D?Rn→Rn在凸集D?Rn上充分可微，非線性方程組F（x）=0 一個(gè)根為 ξ，給出一種帶有參數(shù)α 和β 的迭代方法求解非線性方程組F（x）=0，即

其中z（k）=φ（x（k），y（k））是一種具有p 階收斂的迭代方法，該迭代方法是含有F′（y（k））且 y（k）＝x（k）－F′（x（k））－1F（x（k））是經(jīng)典的牛頓迭代。

下面給出迭代格式(2.1) 收斂階的相應(yīng)定理及證明。

定理2.1. 設(shè)F（x）：D?Rn→Rn，且F（x）在 ξ∈D的鄰域內(nèi)充分可微，其雅克比矩陣在D 上是連續(xù)且非奇異的，其中 ξ 是非線性方程組F（x）=0 的一個(gè)根。若z（k）=φ（x（k），y（k））是一種具有p（p＞1）階收斂的迭代方法，且給定的初始值充分接近ξ，當(dāng)α+β=1 且 β≠0 時(shí)，則式(2.1)至少具有p+2 階收斂精度。

證明：分別給出F（x（k））和F′（x（k））在ξ 處 的Taylor 展式

其中

運(yùn)用文獻(xiàn)[11]中的算法，可得，

由式(2.2)和式(2.3)，可得

將式(2.4)代入F′（y（k））在 ξ 處的Taylor 展式，則有

假設(shè)下面的記號(hào)

則

分別給出F（z（k））和F′（z（k））在ξ處的Taylor 展式

由式(2.5)和式(2.7)有

與式(2.3)[11]同理，可得，

注意到

將式(2.6)和式(2.8)代入式(2.9)有

由式(2.10) 顯然可見(jiàn)，若 α+β=1 且 β≠0，式(2.1)至少具有p+2（p＞1）階收斂性；若 α=1，β=0，則其具有2p 階收斂性。

3 具體迭代方法

將定理2.1 中第一步 φ（x（k），y（k））用Cordero 等[12]提出的一種具有4 階收斂的迭代方法代替，即在式(2.1)中，設(shè) φ（x（k），y（k））=y（k）-F′（x（k））－1[2I-F′（y（k））F′（x（k））－1]F′（y（k）），在式(2.1) 中取，得到一種具有6 階收斂的迭代方法，記為：

在式(2.1)中取 α=0 和 β=1，同樣得到一種6 階收斂的迭代格式，記為M6：

在迭代格式(2.1)中取 α=1 和 β=0，得到一種具有8 階收斂的迭代方法，記為M8：

其中y（k）=x（k）-F′（x（k））－1F（x（k））。

實(shí)際上，迭代格式(3.2)是文獻(xiàn)[9]中的迭代方法，迭代方法M8是Cordero等[10]2697提出的一種格式，換句話說(shuō)，迭代格式M6和M8是式(2.1)特例。

4 數(shù)值實(shí)例與小結(jié)

下面通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)表明迭代格式(2.1)的有效性，主要包括文獻(xiàn)[12]中提到的方法(記為M4)，牛頓迭代(簡(jiǎn)記為NM)以及上面提到的三種方法。

例4.2 解非線性方程組

例4.3 解非線性方程組

其中一個(gè)根為ξ=[0.242746,2.491376,1.653518]T；

例4.4 解非線性方程組

該非線性方程組的近似根為

ξ≈[0.57735，0.57735，0.57735，-0.28868]T。

表4.1 給出相關(guān)量之間的比較，主要包括收斂到不同的解(記為解)，迭代次數(shù)和在給定的迭代停止條件下產(chǎn)生的誤差。迭代停止?jié)M足‖x（k+1）-x（k）‖＜ε，‖F(xiàn)（x（k））‖＜ε，其中 ε=10-14。所有的實(shí)驗(yàn)計(jì)算都是在MATLAB 7.8 下實(shí)現(xiàn)的。

表4.1 例4.1-例4.4 的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果

例4.2 x（0）=（-1，2）T NM M4 M′6 M6 5 4 3 3 ξ2 ξ2 ξ2 ξ2 0.299863809 0.097865919 0.013756631 0.021431306 0.017898995 3.405611887e-004 4.256760027e-012 1.151496860e-010 M8 2 ξ2 0.004572035 1.404333387e-015例4.2 x（0）=（1，1）T NM 5 ξ1 0.112853752 0.017898995 M4 4 ξ1 0.037328581 9.746676914e-005 M′6 2 ξ1 0.003069432 5.811463456e-015 M6 3 ξ1 0.005022431 2.168298254e-013 M8 2 ξ1 0.001218768 1.570092459e-016例4.3 x（0）=（1，3，2）T NM5ξ0.219284955 0.070554252 M44ξ0.090049433 1.838093587e-004 M′6 2 ξ 0.002450167 4.965068306e-016 M62ξ0.004234637 1.195746792e-015 M82ξ0.001400531 4.440892099e-016例4.4 x（0）=（0.5，0.5，0.5，-0.3）T NM4ξ0.011579622 2.005599845e-004 M43ξ0.001251257 4.108425805e-010 M′6 2 ξ 4.253482018e-006 0 M6 2 ξ 8.267416208e-006 2.719479911e-016 M8 2 ξ 7.748218026e-007 0