武婧

（太原學院，山西 太原 030032）

隨著會計工作的改革與發(fā)展，管理會計建設工作成為國家戰(zhàn)略，加強管理會計指引體系建設，著重推進管理會計廣泛應用，從而提升會計工作管理效能。經(jīng)濟數(shù)學不但是培養(yǎng)經(jīng)濟管理類學科理性思維的重要學科知識，更是經(jīng)濟預測與決策、風險管理、建模的重要研究工具。筆者著重選取經(jīng)濟數(shù)學中的成本分析數(shù)學模型、邊際分析以及最優(yōu)化問題與管理會計中的財務計劃與財務預測、成本管理與控制理論、投資決策中風險分析理論相結合，對其進行探討。

1 成本分析數(shù)學模型的建立

所謂經(jīng)濟數(shù)學模型就是數(shù)學的形式（語言）反映經(jīng)濟數(shù)量關系的公式或公式關系[1]。對于成本分析，相關的數(shù)學模型有總成本數(shù)學模型、利潤函數(shù)的數(shù)學模型兩種，下面我們就對其進行簡單的分析。

1.1 總成本的數(shù)學模型

總成本，就是產(chǎn)品從設計到銷售這一過程中所消耗的所有資金。我們將不隨著產(chǎn)品的變動而變動的成本稱為固定成本，例如廠房、機器設備支出等。對應的，所謂的變動成本，就是隨著產(chǎn)量變化而變動的成本，比如原材料。通常情況下，變動成本和產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量、工作人員以及原料的數(shù)量和質(zhì)量有關。筆者以代數(shù)的方法對其進行分析，用代數(shù)式就可以表示為C=C0+C1（C0 和C1 不能為負），我們就建立了相應基礎的總成本函數(shù)。對于這一函數(shù)，其線性關系不是一成不變的，它受到產(chǎn)量的影響。例如當產(chǎn)量在一定的范圍之內(nèi)，固定成本可以維持產(chǎn)品生產(chǎn)過程中的消耗，但是當固定成本不能滿足需求時，其原有的線性關系被打破，變成非線性關系。當產(chǎn)品的總成本較低時就認為企業(yè)生產(chǎn)能力較強；相反，當生產(chǎn)成本較高時就認為其生產(chǎn)能力較低，僅僅依賴于總成本對其企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品的能力進行評估是不夠準確的，因為生產(chǎn)能力的強弱還受到平均成本的影響。其函數(shù)表達式：平均成本=總成本/總產(chǎn)量。

1.2 利潤函數(shù)的數(shù)學模型

利潤函數(shù)的基本函數(shù)模型：總收益=總收入-總成本。其代數(shù)式可以表達為L=R-C，對于產(chǎn)品的收益而言，又有一個線性的函數(shù)關系: 收益=價格×銷售產(chǎn)量，因而利潤的函數(shù)模型可以表達為總利潤=價格×銷售產(chǎn)量-總成本。其代數(shù)形式為L= R(q)-C (q)。當企業(yè)的產(chǎn)品數(shù)量為q 件時，由成本的函數(shù)基本結構就可看出產(chǎn)品的總成本為C (q)=10+6q+0.2q2(萬元)，假設該企業(yè)銷售一件產(chǎn)品的收入為10 萬元，那么，總收入就為R (q)=10q，知道了總收入和總成本，利用代數(shù)式我們就可知道利潤的多少：L(q)=R(q)-C(q)=4q-10-0.2q2。僅僅知道了利潤是遠遠不夠的。除此之外，我們還要計算出平均利潤，將二者相互參考，進而對企業(yè)的生產(chǎn)力進行精確的評估。另外，企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品不是越多越好的，在生產(chǎn)產(chǎn)品時應遵循一定的規(guī)律，不然會出現(xiàn)產(chǎn)品少時，利潤為正值，生產(chǎn)產(chǎn)品時利潤則出現(xiàn)負值，例如10 件產(chǎn)品其總利潤為10 萬，平均利潤為1 萬，當生產(chǎn)20 件時，其利潤就變成-10，不僅不增反而降低。

企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品的主要目的在于利益的獲取，但是在生產(chǎn)的過程中不能為追求利益的最大化進而盲目的擴大生產(chǎn)，而是要貼合實際狀況，利用一定的經(jīng)濟數(shù)學規(guī)律對利益進行計算之后對生產(chǎn)指標進行合理的安排。除了盈利和虧損之外，還存在一種現(xiàn)象：收支相抵，即利潤函數(shù)為零。對于營銷者而言，其既是最為樂觀的狀態(tài)也是不愿意看到的狀態(tài)，樂觀是指整個環(huán)節(jié)，沒有虧損，達到了盈虧平衡點；但是又沒有達到生產(chǎn)產(chǎn)品所要達到的目的。綜上，盈虧分析是經(jīng)營者制定生產(chǎn)銷量的重要參數(shù)。在企業(yè)的管理會計應用中，可以通過結合本企業(yè)數(shù)年來的歷史數(shù)據(jù)，先做出一般代數(shù)模型的線性回歸分析，總結出基于歷史數(shù)據(jù)運用數(shù)學原理計算得出的總成本函數(shù)和利潤函數(shù)，并結合自己經(jīng)營中的實際情況，對相關參數(shù)進行微調(diào)整，然后根據(jù)相應的數(shù)學模型，預測企業(yè)未來經(jīng)營期間的總成本和營業(yè)利潤。

2 邊際分析

邊際分析主要內(nèi)容有邊際成本和邊際利潤。邊際函數(shù)，即原函數(shù)的導數(shù)，在管理會計工作中也占據(jù)著極為重要的意義。

2.1 邊際成本

所謂的邊際成本就是附加成本，企業(yè)在原有計劃的基礎上增加的產(chǎn)品，它所消耗的成本就叫做邊際成本。例如其基礎函數(shù)為C(q)，邊際成本就是其函數(shù)的導數(shù)C′，我們用具體的數(shù)據(jù)和公式等來表述兩者的具體變化：C (q)=0.01q3-0.3q2+40q+1000≥C′(q)=0.03q2-0.6q+40，當原函數(shù)中q 在50、100、150 之間變動時，邊際函數(shù)的值也有所變，其展現(xiàn)的圖像如下：

從圖中我們不難發(fā)現(xiàn)，曲線在0 到100 時，其曲線是下降的，當?shù)竭_100 時，達到一個峰值。隨著產(chǎn)品數(shù)量的不斷增加，其曲線又朝著無窮大的趨勢發(fā)展，從這一圖像中，我們可以看到產(chǎn)品數(shù)量在0 到100 件時，其利潤是隨著產(chǎn)品件數(shù)的增加而增加的。很多人會誤認為當產(chǎn)品的件數(shù)大于100 件時企業(yè)會出現(xiàn)虧損，其實則不然，僅是利潤的降低，且隨著件數(shù)的增加利潤會越來越小，在到達最小值后開始虧損。這一虧損原因包括工人在數(shù)量或者作業(yè)時間上的增加、機器生產(chǎn)過程由于損害而產(chǎn)生的修理費用等。邊際分析在經(jīng)濟數(shù)學中是不可忽視的問題。

2.2 邊際利潤及最優(yōu)化問題

邊際利潤也是由基本的利潤函數(shù)推導而出的，邊際利潤的表達式為L′(q)=R′(q)-C′，它的意義在于銷售發(fā)生變化時利潤的變化狀況: 增加的產(chǎn)量應在適當?shù)姆秶?，少則利潤不能最大化，過多反而會引起虧損。邊際利潤也在經(jīng)濟生產(chǎn)中起著重要的作用，其中被廣泛應用的一方面，就是最優(yōu)化問題。

所謂的最優(yōu)化問題，就是在函數(shù)一定的范圍內(nèi)尋找最大值、最小值。在上文筆者也有提及，企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品的最終目的在于盈利，并在此基礎上將盈利最大化。而在經(jīng)濟數(shù)學中，要想將利益最大化，需要選擇一定的產(chǎn)出水平，其也是在經(jīng)濟數(shù)學中最為突出的應用。另外，在選擇產(chǎn)出水平時，將利益最大化的前提是要滿足一定的必要條件和充分條件，例如邊際收益和邊際成本相等。

由于固定成本和可變成本的存在，產(chǎn)品生產(chǎn)和銷售中存在邊際成本遞減和邊際利潤遞減的現(xiàn)實情況，所以，企業(yè)可以基于第一部分企業(yè)利用數(shù)學原理做出的本企業(yè)總成本和營業(yè)利潤線性回歸函數(shù)模型，繼續(xù)通過運用數(shù)學中的導數(shù)原理，結合以上邊際成本和邊際利潤數(shù)學模型，計算出本企業(yè)的 “盈虧平衡點”、最適合產(chǎn)量下的總成本、邊際成本以及總利潤。從而為企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營中的產(chǎn)量、銷售量決策，提出相應的建議。

3 投資風險分析

根據(jù)風險與收益原理，對于公司管理而言，收益是公司在一定的經(jīng)營期內(nèi)，投資產(chǎn)生的總的利得和損失，而風險是其不利事件發(fā)生的可能性。對于大多數(shù)公司而言，都有風險規(guī)避的驅(qū)動。但是風險發(fā)生的可能性，我們?nèi)绾喂烙?，是企業(yè)投資風險分析中的首要問題。在數(shù)學中，概率模型是指根據(jù)事物的變化是否會影響建模的數(shù)學模型[2]。企業(yè)投資活動中，風險與投資報酬的可能性是相聯(lián)系的，因此對風險的度量，就要從投資收益的可能性入手，借鑒數(shù)學中的概率與統(tǒng)計原理。例如，對于多種資產(chǎn)的投資組合而言，我們可以根據(jù)各個不同資產(chǎn)在投資組合中的權重及其風險和收益情況，運用概率統(tǒng)計原理，得出如下協(xié)方差矩陣：

（其中，wi 代表第i 種資產(chǎn)在資產(chǎn)組合中的權重，Ri 代表第i種資產(chǎn)的風險收益。）

根據(jù)以上協(xié)方差矩陣，我們可以發(fā)現(xiàn)投資組合具有風險的分散化效應，在上述協(xié)方差矩陣中，可以找到 “最小方差組合” 使投資決策達到風險最小，還可依據(jù)此來判斷所投資資產(chǎn)之間的相關性。當然，最重要的是通過協(xié)方差矩陣點，可得到整個投資組合的可行集與有效集（Markowitz 有效邊界），企業(yè)管理者在Markowitz 有效邊界上進行投資決策，從而實現(xiàn)最有效的投資決策：基于投資者風險承受能力的前提下，達到既定風險水平下收益最大，或在既定收益水平下投資風險最小。

4 結束語

由于管理會計成本管理控制與規(guī)劃理論中對企業(yè)的成本性態(tài)劃分，與經(jīng)濟數(shù)學成本分析數(shù)學模型一致，都是將企業(yè)的成本劃分為固定成本與可變成本，利用該模型分別研究固定成本與可變成本的特性、進行單位可變成本與總成本分析，對企業(yè)管理會計運用有重要的參考意義。

所謂本量利分析，是指通過對企業(yè)成本、業(yè)務量和利潤（包括單價）三者關系的分析，研究其規(guī)律和變動性，達到經(jīng)營決策和目標控制的方法，也是管理會計的主要內(nèi)容之一。而以上對邊際成本、邊際利潤的分析，與管理會計中本量利分析有著緊密的聯(lián)系。二者目標都是為了分析企業(yè)的盈虧平衡點、尋求利潤最大化目標下的最優(yōu)產(chǎn)量與單價，即數(shù)學中的最優(yōu)化問題，相關數(shù)學理論知識能在企業(yè)的管理會計工作中得到很好的運用。而概率和統(tǒng)計原理作為管理會計中投資風險理論的重要支持工具，不僅協(xié)助企業(yè)有效、準確地解決了風險的衡量難題，實際上企業(yè)在投資決策中，如此一來，也有了重要的借鑒性和實務上的可操作性。

綜上所述，經(jīng)濟數(shù)學在企業(yè)管理會計和經(jīng)營管理決策中有著十分重要的作用，筆者希望能借此文起到拋磚引玉的作用，將經(jīng)濟數(shù)學和管理會計研究更深入地結合，最大地發(fā)揮其在研究管理會計上的借鑒意義和參考價值。