[摘要]2300年初等幾何一直認定相互平行且距離為0的直線必重合相等，等長的直線段必有合同關系；然而集合與幾何起碼常識凸顯直線A沿本身伸縮或平移后就≠A了，有等長直線段a與b，a的元點多于b的元點使a不可≌b——從一側面顯示2300年“點無大小”公理并非“不容置疑”（堅持“點無大小”就無法解釋圖形a與b的“像素”點為何不一樣多？）。人類自識無理數(shù)2500年來一直認定各已知正數(shù)x的對應x[]2均是已知正數(shù)，然而除了弱智者誰都能懂的道理凸顯R有“更無理”正數(shù)x的對應x[]2是R外數(shù)。指出初等數(shù)學對無窮數(shù)列的認識一直存在極重大缺陷與錯誤。不知函數(shù)關系與該關系中的函數(shù)是兩根本不同概念使中學有違反最起碼數(shù)學常識“u-v=0的含義是u=v”的錯誤。

[關鍵詞]中學數(shù)學一系列重大錯誤；偽二重直線（段）；推翻百年集論和百年“R完備、封閉”論；集合之間的相等及近似相等關系；有序數(shù)集從大到小一個不漏的一切元；著名數(shù)學家朱梧槚、王世強

“科學”共識：數(shù)學，尤其是“非常成熟”的初等數(shù)學絕不會有重大錯誤更談不上有一系列……因此有人很有代表性地認為：一看標題和摘要就知文章必是極荒謬錯誤，全世界數(shù)理學界的名人、專家教授一直公認初等數(shù)學嚴密精確，一無名之輩難道還能遠比全世界的名人、專家教授都高明？！作者需去看病?！芭c全社會為敵”（生理學家哈維語）的“反科學”的“太狂妄”發(fā)現(xiàn)來自于太淺顯的：①幾何起碼常識c：重合相等的圖形必合同。②集合起碼常識d：若數(shù)集A=B則A的元x與B的元y必可一一對應相等即有xy=x（表A各元x均有與之對應相等的數(shù)y∈B且B各元y均有與之對應相等的數(shù)x∈A）。③后文的不等式起碼常識e。故高中生也有能力分辨本文是“惡毒攻擊”還是實事求是。設R所有非負元x≥0組成R+。復平面z=x+yi的射線z=x≥0可收縮成射線0。5z=0。5x≥0（非保距變換），數(shù)學一直認定兩射線重合相等，因有中學幾百年函數(shù)“常識”：定義域為R+的y（x）=0。5x≥0的值域=R+。其實這是違反常識c、d從而使中學數(shù)學自相矛盾的肉眼直觀錯覺。中國著名數(shù)學家王世強敢于實事求是地強烈推薦[1]書，肯定朱梧槚教授、博導“在數(shù)學方面……得到一系列重大成果?！保╗1]書序1）[1]書4頁：“朱梧槚的‘……等一系列重大發(fā)現(xiàn)表明整個數(shù)學基礎大廈已經岌岌可危！這一切將預示著怎樣的數(shù)學危機？”。

1。變數(shù)間的函數(shù)關系與該關系中的函數(shù)是兩根本不同概念

馬小伯等老師堅持正確的單值函數(shù)定義：“兩個變量x，y，如果對于x在某個范圍D內的每一個確定的值，按照某個對應法則f，y都有唯一確定的值與它對應，那么y就是x的函數(shù)……x叫做自變量……[2]”?！昂瘮?shù)有兩要素：定義域與對應法則”——僅從此語就可一眼看出對應法則≠函數(shù)，正如定義域≠函數(shù)一樣?！癉各元x都須與y=7x對應”這一對應法則不是函數(shù)，法則中的對應變數(shù)7x才是函數(shù)。函數(shù)關系是自變量與因變量之間的互為對應關系。變數(shù)x與對應變數(shù)-x有互為相反數(shù)的對應（函數(shù)）關系，但x的函數(shù)-x不是此函數(shù)關系本身而是該關系中的x的對應變數(shù)。一種關系和構成此關系的成員是兩根本不同概念。數(shù)與數(shù)之間才有距離關系。函數(shù)y=f（x）→7可無窮逼近7而與7有距離關系。而函數(shù)關系、對應法則就不可逼近哪個數(shù)，因其與數(shù)之間沒距離關系。

因R各元x變號為-x組成的集還是R故R各元均可由x代表也均可由-x代表。R各元-x與R各元y=y（-x）=x一一對應，據(jù)函數(shù)定義y（-x）中的-x是自變量，y是-x的函數(shù)。同樣若有數(shù)集A及A各元2x的對應數(shù)y=y（2x）的全體組成的B，則y（2x）中的2x是自變量；要注意y是2x≠x的函數(shù)。定義域是自變量所有能取的數(shù)組成的集，搞錯自變量就會將兩異集誤為同一集。若自變數(shù)x=2x[]2=2t則函數(shù)y=y（x）=y（2t）=x中的x=2t是自變量而t不是自變量；注：2t的變域與t=x[]2的變域一般是不同的。顯然x=2t（表示t的變域各元t均有對應數(shù)2t）是t的函數(shù)，x（t）與y（x）有函數(shù)關系，但構成此關系的兩函數(shù)與關系本身是兩不同概念。注：y（x）=y（t）=x=2t（t=x[]2），詳論見第6節(jié)。所以一般的函數(shù)y（x）都是函數(shù)x（t）的函數(shù)。又例x=x+1-1=h-1，y=y（x）=y（h-1）是函數(shù)x=h-1的函數(shù)。

書本斷定有共同變換法則和定義域、值域的函數(shù)必相等?，F(xiàn)舉一反例。有定義域均是R的y1=f（x）=x與以-x為自變量的y2=g（-x）=-x=-y1，其變換法則也相同：法則f（g）規(guī)定自變量x（-x）變?yōu)楸旧怼Ｕfy1=y2成立（其實y2=-y1）就是說y1-y2=0即x-（-x）=2x=0，x=0——與x 的變域是R矛盾。其實x軸中有變域均是R的兩動點x與-x（讀者可作圖），它們運動方向相反，y軸中有兩對應函數(shù)動點y1=x及y2=-x=-y1（讀者可作圖），它們運動方向相反從而不可是二重動點，雖然它們的值域均=R使其運動劃出的圖形是二重圖形。

其實對應變數(shù)即函數(shù)y的圖像是一維空間“管道”Y內的動點y而y=f（x）與x之間的對應（函數(shù)）關系的圖像是平面上的曲（直）線，動點（x，y）不是函數(shù)動點y而是反映動點y與動點x之間函數(shù)關系的關系動點，其固定一下就表示兩個數(shù)之間的對應關系。兩變數(shù)間的函數(shù)關系的圖像表示法與函數(shù)（不是函數(shù)關系）的圖像表示法，分別表示根本不同的內容。函數(shù)動點y=x的圖像是沿y軸運動的動點y=x，其變域的圖像是y=x軸，而函數(shù)關系y（x）=x的圖像是斜率為1的直線y=x——形象直觀顯示x軸的動點x與y軸的動點y=x之間的對應關系的函數(shù)關系圖。

直線y=2x中的y，若是關于x的函數(shù)則變換式y(tǒng)=2x表示各x變換為y=2x使直線的斜率k=2x[]x=2（x≠0），若是關于2x的函數(shù)則變換式y(tǒng)=2x是恒等變換式使直線的斜率k=2x[]2x=1。搞錯自變量就會搞錯函數(shù)關系從而畫錯函數(shù)關系圖。按“橡皮幾何學”觀點z=x+yi面可彈性收縮成0。5z=0。5x+0。5yi面（uv平面）使平面z的一部分：x軸和y軸隨之也收縮成u=0。5x軸和v=0。5y軸（y軸收縮使其線段[0，2]y軸縮短為線段[0，1]v=0。5y軸）。方程x[]32+y[]22=1（可變形為4x2+9y2=36）的圖像是什么？若以x為自變量以y為因變量則方程圖像是橢圓，若其是以x[]3=X和y[]2=Y為變量的方程則圖像是單位圓，相應有X=x[]3軸和Y=y[]2軸（h問題：x軸=X軸嗎？…？）以及XY平面；若其是以2x=u和3y=v為變量的方程則圖像是半徑為6的圓，相應有u=2x軸和v=3y軸以及uv平面。

2。對無窮數(shù)列的認識一直存在極重大缺陷與錯誤而將兩異數(shù)列誤為同一數(shù)列

x軸上的自然數(shù)點序列（集）N={0，1，2，…，n，…}可形象化為射線N即射線n≥0——由一個個長、寬都是1的正方形點：□·組成，各點n如原子有原子核那樣有中心，這中心稱為點的核心（設是圓形），其直徑遠小于元點的長和寬；規(guī)定：兩點間的距離是它們的核心的連線的長，包含兩端點的直線段的長度是兩端點間的距離（注：單位長可是0。00001毫米等等）。須有度量兩元點間距離的思維量尺，其刻度線的寬度=點的核心的直徑，在此量尺下量出元點的核心的直徑=0，兩相鄰元點的距離是點的長度。射線n≥0可是一元點□·作相應直線運動劃出的寬為1的無窮長長方形。射線n可伸縮為射線kn（相應正常數(shù)k≠1）≥0 ——可由長、寬都是k的正方形點組成。射線n各點□·收縮變小為長、寬都是1[]2的□點就使射線n收縮為射線n[]2≥0（疊壓在射線n≥0上）。點集隨元的變換而變換。若各元點沒移動就沒射線的整體移動，同樣若各元點沒收縮變小就沒射線的整體收縮（點的多少沒變）；否則就與“元點是射線的一部分”相矛盾。

射線n≥0某元點不改變位置（其核心的大小也不變）但單獨收縮變小為長、寬都是1[]2的□點就變成不是該線的元點□·了（是射線n[]2≥0的元點），雖然其位置坐標沒改變；變小前后的□點可看成是同心□：，這兩□只有重疊關系而無重合關系。設有與射線N的元點n=0重合的正方形A及與射線n[]2≥0的元點n[]2=0重合的正方形B（與A同心），它們同時從位置n=n[]2=0處出發(fā)沿所在射線“軌道”正向運動，當與出發(fā)處相距3[]2=1。5時就都停下，此時B就成為射線n[]2≥0的元點n[]2=3[]2=1。5，而A（位置坐標=1。5）就還未能成為射線n≥0的元點，雖然其在該線上；若它們與出發(fā)處相距4[]2=2時都停下則其運動劃出了兩等長直線段a={0，1，2}N和b=0，1[]2，2[]2，3[]2，4[]2射線n[]2≥0，顯然b的元多于a的元。兩等長線段a和b沒公共元點從而不可重合，當然更無合同關系；而數(shù)集a和b就有公共元：0，1，2?？梢婞c集a、b與數(shù)集a、b有根本區(qū)別，數(shù)形結合須躍出根本誤區(qū)。“R各點（數(shù)）”說明R是點（數(shù)）集。以上說明沿射線N運動的點A很多時候所處位置都不可用自然數(shù)n來表示，同樣，…。

射線N={n}各點n≥0沿N正向保距平移距離1成為點n的后繼點y=n+1>n生成后繼點序列H={1，2，…，n+1，…}（n≥0）～N，中學一直認定H=N一切正數(shù)點組成的子部射線H′={1，2，…，n≥1，…}；其實這是幾百年重大錯誤。H′各點n≥1到點n=0的距離是ρ1=n≥1，H各點n+1（n≥0）到點n=0的距離是ρ2=n+1≥1；顯然若H′與H是同一點列射線則ρ1與ρ2必是同一變量，故由ρ1與ρ2不是同一函數(shù)推知H′≠H，“H′各點n≥1與H各點n+1≥1可一一對應相等”是似是而非的假象。有了“測距儀”使人一下子測知H′≠H。詳論見[3]。

h定理1 各元不<0的A與B，A各元x到0的距離就是x本身，A=B的充分必要條件：A各元x到0的距離x=y（B各元y到0的距離）。

證 A（B）各元x（y）到0的距離是變量x（y），顯然若A與B是同一集則x與y必是同一距離變量即x=y。證畢。

3。研究集之間是否有近似相等關系意義重大——點集的有序連續(xù)變化規(guī)律

直線與平面（曲線、面）是簡單點集（復雜點集）。曲線（面）中也有簡單點集與復雜點集之分，例曲線y=x2與曲線y=x2+x3+x4相比是簡單點集；……集隨元的變換而變換。集之間是否有近似相等關系？元為變元的變點集與一固定的簡單點集能否趨于重合相等？這是非常重要的問題，因“用比較簡單的對象來逼近比較復雜的對象的問題幾乎在數(shù)學的各個領域中都起著重要的作用[6]?！崩舨恢娴某浞中∽硬俊制矫鎵K就沒曲面積分論（注：如不懂原理的文盲同樣能舞槍弄炮那樣不懂原理者同樣能套用公式“解題”得高分）；……畫人像時必先畫出人的大致輪廓然后使其不斷逼近人形，最后成像。同樣，復雜點集A與簡單點集B疊壓在一起，若A能連續(xù)變形地變得與B重合則其必先有≈B然后才能=B。若各x變換為y=kx≈x+0則這一變換≈沒變換的恒等變換。

4。2200年“形狀、大小相同的圖形必合同”是肉眼直觀錯覺——集合、幾何起碼常識推翻百年集論和幾百年函數(shù)“常識”凸顯有“像素”點不一樣多的等長閉直線段

區(qū)間（0，1）R表示R中0與1之間所有數(shù)組成的集（后文表明這不是表示0與1之間所有數(shù)組成的集，數(shù)形結合須躍出根本誤區(qū)），其余類推。初中生就須正確認識一次函數(shù)y=x-1 的定義域即x=y+1的值域。中學幾百年函數(shù)“常識”：定義域為R的y=x+1的值域=R。其實這是違反集合常識d的肉眼直觀錯覺。

說R軸各元點x可沿軸前移變?yōu)辄cx+△x=x+1=X就是說R軸可沿軸正向保距平移距離1變?yōu)樵獮辄cX的X=x+1軸。其余類推。射線N={0，1，2，…，n，…}沿N正向保距平移距離1變?yōu)樯渚€H={1，2，…，n+1，…}，N與H任一方的絕大多數(shù)元都有與其對應相等的點∈對方使N≈H。這是因平移距離1與射線N的長相比≈0使N≈沒移動。各元x均有對應數(shù)x+c的R各元x保距變?yōu)閄=x+c生成元為X的R′各元x+c與R各x不可一一對應相等：顯然R各x只可與各x+c∈R′中的x一一對應相等而不可與各（x+c）本身一一對應相等（c≠0時）。因保距平移是有序連續(xù)運動故當R軸的平移距離|c|與R軸的長相比≈0時平移前后的直線≈重合在一起且|c|越小R′與R的差別就越小。這變化趨勢說明當且僅當c=0時才可有R′=R。顯然在xX=x+c∈R′中當且僅當c=0時才有xX=x使R′=R。

兩R軸成二重軸（R∪R=R={（x，x）}）而由一對對二重點（x，x）組成，現(xiàn)其中一R軸各點x沿軸正向保距前移變?yōu)辄cX=x+1生成X=x+1軸疊壓在另一R軸上，各前移點x+1與各不動點x顯然不可一一對應重合在一起了，因點x+1都在點x的前面。x軸各元點x到點x=0的距離是ρ3=|x|，疊壓在x軸上的X軸各元點X=x+1到點x=0的距離是ρ4=|x+1|；顯然若x軸與X軸是同一軸則ρ3與ρ4必是同一變量，故由ρ4與ρ3不是同一函數(shù)推知x軸與X軸不是同一直線。

R+有子部射線x≥1。說R+各元點x≥0可變換為點y=x+△x=x+1就是說R+可沿本身正向平移距離1變?yōu)樵獮閥的射線y=x+1≥1疊壓在射線x≥1（元為x≥1）上，這兩射線（肉眼）看起來似二重點集，但據(jù)h定理1等它們不是二重射線。

所以“可沿軸正向保距平移距離1且平移前后的數(shù)軸是同一R軸（即定義域為R的y=x+1的值域=R）”中的“R軸”因違反集合常識d從而確是如朱梧槚、肖奚安、杜國平、宮寧生4位數(shù)學家所說“是自相矛盾的非集[7]”。據(jù)集合常識d有

h定理2 任一數(shù)集A（可形象化為一維空間“管道”K內的點集）沿K保距平移一段非0距離變?yōu)锽必≠A（——表明一數(shù)直線沿本身保距平移各不同的非0距離可變?yōu)闊o窮多各異直線而同在K管道內，而中學幾百年解析幾何一直只識其中的一直線且將無窮多各異直線誤為同一線）。

顯然如各x與各x+1>x不可一一對應相等一樣，各x>0與各對應數(shù)kx（正數(shù)k≠1）（>或<）x也不可一一對應相等。P各元n=0，1，2保序變?yōu)?n組成{0，2，4}各元2n與P各元n不可一一對應相等；各n=0，1，2只可與各2n=n+n中的n=0，1，2一一對應相等。同樣R+各元x≥0保序變?yōu)閥=2x組成R″各元2x≥0與R+各x也不可一一對應相等：R+各x只可與各2x=x+x∈R″中的x一一對應相等而不可與各（x+x）本身一一對應相等；將各（x+x）中加號左邊的x都提取出來組成的集就是R+，x+x變?yōu)閤±0。0001x≈x+0，R″就≈R+——說明R+各x變?yōu)閗x（k>0）組成R″，當且僅當k→1時R″與R+趨于重合相等——說明k=1時才有R″與R+相等。顯然在xkx中當且僅當k=1時才可有xx。

3個變數(shù)可形象化為數(shù)軸上的3個動點（可固定一下）。點（物體）x移動到新位置成點x′還是移動前的點（物體）即移動前、后的點只有位置差別而無別的差別。至少有兩元的點集甲保距變?yōu)辄c集乙就稱甲≌乙——表示甲與乙可通過保距變換而重合。因相等的圖形（點集）必合同故有

h定理3 點集A（至少有兩元）=B的必要條件是A≌B。

h定理4 若點集A（至少有兩元）各點P保距變?yōu)辄cP′（P）生成B≌A則A各點P到A任一點P0的距離ρ=ρ′（B各點P′（P）到點P′0（P0）∈B的距離）。

證 坐在汽車里的各人在地球內的位置不斷改變，但在車內的位置都沒變。同樣A變?yōu)锽≌A只是A作改變空間位置的剛體運動，這運動不改變圖形各元點之間的位置關系：各元點隨圖形的運動而運動，但其始終都沒離開運動前自己所在的“座位”，這就使ρ與ρ′是同一距離變量。證畢。

參見[3]，據(jù)h定理4可證有無窮多形狀、大小相同的圖形均不合同。

R+各點x≥0保序變?yōu)辄cx+△x=X=2x生成元為點X的射線X=2x≥0就是R+均勻伸長變?yōu)樯渚€X=2x≥0疊壓在R+上（使R+的子部線段[0，1]伸長變?yōu)樵屈cX的線段[0，2]X=2x軸疊壓在線段[0，2]R+上）。R+各元x≥0變?yōu)閗x（正常數(shù)k>0）組成的集可記為kR+。R+伸縮成射線kR+（k≠1）疊壓在R+上，據(jù)h定理1和集合常識d，R+≠kR+；伸縮變換是非保距變換，據(jù)h定理3，R+伸縮成射線kR+≠R+。所以R+與kR+是貌似重合的偽二重射線。詳論見[3]。同理，空間中任何可沿本身伸縮的射線伸縮前后的射線不可重合相等（伸縮系數(shù)≠1）。所以“可沿本身伸縮且伸縮前后的直線重合相等”中的“直線”確是“自相矛盾的非集”。以非集為集的理論必是錯上加錯的更重大錯誤。

線段Z′=[0，2]R+的子部D=[0，1]Z′各元x保序變?yōu)閄=2x生成元為X=2x的線段Z=[0，2]射線2R+疊壓在線段Z′R+上。問題是流傳幾百年使世人深信不疑的中學函數(shù)“常識”：“Z=Z′即由0≤x≤1（x 的變域是D）得0≤2x≤2中2x的變域Z=Z′”其實是違反集合常識d和幾何常識c 的肉眼直觀錯覺。理由：

①據(jù)h定理1元為非負數(shù)（x和X=2x）的Z′與Z不相等。

②Z′=[0，2]R+各點x到點x=0的距離是變量x，Z=[0，2]2R+各點X=2x到點X=2x=0的距離是2x≠x。據(jù)h定理4等長線段Z′與Z不合同，據(jù)h定理3 Z′≠Z。將長為2的一截橡皮筋s從中間剪斷兩等分成二截橡皮筋a與b，將a拉長為長為2的橡皮筋c，有人以為c=s；同樣幾百年中學數(shù)學一直誤以為將長為1的線段DZ′“拉長”為長為2的線段Z（～D）=Z′，從而使人們以為康脫的“直線段的部分點可與全部點一樣多”是“革命發(fā)現(xiàn)”。

③沒人能證Z各元X=2x（0≤2x≤2）與Z′各元x（0≤x≤2）可一一對應（配對），即沒一配對法能使Z′各元x都可有“配偶”X=2x∈Z，詳論見[8]。這兩等長線段Z與Z′的元2x與x不可一一配對說明Z′的元點多于Z～DZ′的元點（——從一側面顯示2200年“點無大小”公理并非“不容置疑”）使Z′不可=Z。

④下節(jié)證明了Z′有正數(shù)元x的對應x[]2是DZ′外數(shù)。

U=R各元x變?yōu)?x得元為-x 的V=R，U有正數(shù)元x=e和負數(shù)元x=-e；U各正數(shù)e與V各正數(shù)-（-e）（-e∈U）一一對應相等，U各負數(shù)-e與V各負數(shù)-e（e∈U）一一對應相等。這說明有一非常重要的事實：若集U=V則兩集的元必可一一對應相等。Z′各數(shù)都由x代表，其中有數(shù)可表為y=2x（x=y[]2∈D），這類數(shù)也可由y=2x代表（當x與y=2x代表同一數(shù)時有x=y=2x），所有y組成的集記為B（=Z）。問題是B=Z′嗎？即Z′各數(shù)除了都可由x代表外也都可由y=2x代表嗎？這就須研究B各元y=2x與Z′各元x能否一一對應重合相等即B∪Z′=B=Z′能否成立？Z′中有數(shù)可表為y=2t（t=x[]2）=x（不限制t=x[]2必∈Z′），這類數(shù)也可由y=2t代表，所有y組成I。I=Z′嗎？即Z′各元也都可由y=2t代表嗎？因有x←→y=2x[]2=x故I=Z′。同樣若B（=Z）=Z′則必能證明B各元y=2x與Z′各元x能一一對應相等，若無人能證那就說明Z′≠B。網上有人證明了B各元y=2x與Z各元X=2x能一一對應相等就斷定B=Z′，這是錯誤的。

0

表x的變域是C=（0，2）R，但若限制t=x[]2必∈Z′則式中x的變域M就≠C了，理由見下節(jié)。

以上說明一維空間“管道”K內一數(shù)直線沿K伸縮變換（伸縮系數(shù)k>0可取無窮多數(shù)）可變?yōu)闊o窮多各異直線而同在K內。直線y-x=0可收縮成直線y[]2-x[]2=0（x[]2與y[]2分別是自變數(shù)和因變數(shù)），其在x軸的正投影是X=x[]2軸……

按證明Z′≠Z的方法易證RD=[0，1]各元x（非負數(shù)）的對應數(shù)y=xn（n≥2）的全體組成 J≠D即由0≤x≤1（x 的變域是D）得0≤xn≤1中xn的值域J≠D；易證定義域同為射線R+的y=xn（n≥2）≥0和y=x≥0等等的值域均≠R+…。自有變域概念幾百年來數(shù)學一直搞錯了y（x）的值域而將兩異集誤為同一集。

5。除了弱智者誰都能懂的道理凸顯R有元x無對應x[]2∈R——0

有傻瓜相機也有傻瓜數(shù)學：說y=2x>x>0中的y可取3、2、1就是說式中x可<這3個數(shù)，說y可一個不漏地遍取F=（1，2）一切數(shù)就是說x可一個不漏地遍比F一切數(shù)都小而取F外數(shù)。關鍵是連文盲也知“一個不漏”的確切含義。不等式起碼常識：說“Z′=[0，2]R內從大到小一個不漏的一切正數(shù)元x都有對應數(shù)x[]2（∈Z′）0”就是說式中x[]2>0可

若①式0x也可遍取C所有數(shù)就是說式中x可

“一一對應”中的“一”的含義之一：一個不漏。據(jù)傻瓜數(shù)學說“R內一個不漏的一切正數(shù)x都有對應y=x[]20可

6?！昂瘮?shù)相等”與“函數(shù)關系相等”是兩不同概念——自變量、變換法則和定義域都不同的函數(shù)也可相等

“管道”Y內有沿Y移動的兩動點：y3=y3（x）=2x≥0和y4=y4（2x）=2x≥0（式中x≥0的變域均是R+），其總重合在一起運動劃出了二重射線y3（x）=2x≥0與y4（2x）=2x≥0。函數(shù)關系式

①y3（x）=2x，自變量x的變域是R+，2x的變域是2R+。

②y4（2x）=2x=y3（x），自變量=因變量=2x的變域是2R+。

中的①規(guī)定自變量x變?yōu)樽约旱?倍，②規(guī)定自變量2x變?yōu)樽约骸ｏ@然①與②是不同的關系式，但式中變域同是2R+的函數(shù)動點y3與y4總重合相等：y3-y4=0。中學的“y3≠y4”顯然違反最起碼數(shù)學常識：y3-y4=0的含義是y3與y4沒差別而相等。將重合相等的函數(shù)誤為不相等就會將合同的圖形誤為不合同。

其實兩函數(shù)點若變域相同且在各自的任何變動中總重合在一起則其必相等。參見第1節(jié)，y（x）=x是關于x=2tt=x[]2的函數(shù)，y（t）=x=2t是關于t=x[]2的函數(shù)；顯然y（x）=y（t）=x，雖然函數(shù)關系y（x）=x的關系圖是斜率為1的直線y=x，關系y（t）=x=2t的關系圖是斜率為2的直線y=2t （x軸收縮為t=x[]2軸疊壓在x軸上），且x的變域是R，t=x[]2的變域是kR（k=1[]2）；管道X內的兩動點x∈x軸與t=x[]2∈t=x[]2軸總對應著管道Y中同一動點y（x）=x=y（t）=2t=x。Y中有定義域是R的動點ya=|x|≥0與定義域是R+的動點yb=|x|≥0。當規(guī)定自變動點x由小到大取值時Y中因點x（由-∞→+∞）動而動的動點ya≥0由y=+∞處移動到y(tǒng)=0處，然后再由此處與動點yb≥0（定義域是R+）一起移動到y(tǒng)=+∞處，由兩點不可總重合知其是不相等的函數(shù)動點。

7。結束語

綜上所述，x軸可伸縮平移成X=kx+b軸（疊壓在x軸上）≠x軸，其中常數(shù)k>0是伸縮因子，b≠0是平移因子；顯然在xX=kx+b中當且僅當k=1、b=0時才可有xX=x。所以“X軸與x軸重合”是中學解析幾何的直觀錯覺，是搞錯X=kx+b的值域的以井代天錯誤。有了“測距儀”使人一下子測知存在2300年初等幾何一直不知的偽二重直線（段）。錯誤的基礎教育會使受教育者打歪成才的基礎。明知數(shù)學巨輪漏洞百出卻諱疾忌醫(yī)地隱瞞此重大真相（互聯(lián)網時代是隱瞞不了的）不是真正熱愛數(shù)學、真正尊重與愛護數(shù)學家，恰恰相反，這會害巨輪遭滅頂之災。破除迷信、解放思想、實事求是、有錯必糾，才能創(chuàng)造神話般世界奇跡使數(shù)學發(fā)生革命飛躍：由目光太短淺的“肉眼”數(shù)學一下子飛躍成不再被違反集合常識d的假“無窮集”迷惑的科學“慧眼”數(shù)學。王前：“當代數(shù)學大師陳省身先生曾預言：21世紀將是中國數(shù)學界在世界上發(fā)揮重大影響的世紀[9]”。

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