劉斯禹 韓雪 郭天超

摘 要：本文對(duì)應(yīng)用MATLAB計(jì)算機(jī)語言編寫李薩如圖形演示軟件進(jìn)行了研究，在介紹了李薩如圖形形成機(jī)理的基礎(chǔ)上，編寫了用于演示李薩如圖形的圖形用戶界面，實(shí)現(xiàn)了直接輸入振動(dòng)參數(shù)，直接繪圖得功能；并且可以直接對(duì)比有無阻尼的李薩如圖形的對(duì)比。直觀地分析出各參量的變化對(duì)于結(jié)果的影響與理論分析相吻合，并總結(jié)了李薩如圖形的實(shí)際應(yīng)用。圖形用戶界面可以有效地應(yīng)用于教學(xué)之中。

關(guān)鍵詞：李薩如圖形 MATLAB 圖形界面 頻率比 相位差

中圖分類號(hào)：O32 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2016）2（c）-0000-00

當(dāng)兩個(gè)互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)相耦合時(shí)，振動(dòng)將為兩個(gè)振動(dòng)的疊加，其結(jié)果比一維振動(dòng)復(fù)雜得多。如果這兩個(gè)互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率相同，則合成的總振動(dòng)可形成橢圓曲線，一些極端情況下還可能形成圓或直線；若兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率不同，且頻率比為整數(shù)比，則合振動(dòng)可形成封閉曲線，稱為李薩如圖形。若振動(dòng)頻率比不為整數(shù)，則合成的總不能形成穩(wěn)定的圖案。而兩個(gè)振動(dòng)的頻率比、初相位、相位差這些因素均會(huì)影響合振動(dòng)的軌跡形狀。將李薩如圖形繪制出來則可以比較直觀地看出這些因素如何影響軌跡形狀。MATLAB是美國Math Works公司的軟件產(chǎn)品，是一個(gè)高級(jí)的數(shù)值分析、處理及計(jì)算軟件；本文采用MATLAB為工具，并編寫圖形用戶界面以繪制不同參數(shù)條件下的李薩如圖形，進(jìn)一步討論以上提及的多種因素對(duì)垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的影響以及實(shí)際的應(yīng)用。

1 基于MATLAB的李薩如圖形演示

1.1 李薩如圖形的形成

李薩如圖形中的點(diǎn)是兩個(gè)振動(dòng)方向互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，都可以用以下的公式表示：

由以上公式可以看出，李薩如圖形本質(zhì)上是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)在X軸和Y軸上振動(dòng)而形成的，其合成交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是李薩如圖形。但是，如果這兩個(gè)相互垂直的振動(dòng)的頻率為任意值，那么它們的合成運(yùn)動(dòng)就會(huì)比較復(fù)雜，而且軌跡是不穩(wěn)定的。然而，如果兩個(gè)振動(dòng)的頻率成簡(jiǎn)單的整數(shù)比，這樣就能合成一個(gè)穩(wěn)定、封閉的曲線圖形，這就是李薩如圖形 [1] 。

1.2 李薩如圖形演示圖形用戶界面

本文利用MATLAB語言編寫了李薩如圖形演示圖形用戶界面，剛打開界面時(shí)的狀態(tài)如圖1所示 。在該圖左側(cè)有四個(gè)動(dòng)態(tài)文本框，從上到下分別獲取阻尼系數(shù)，水平方向振動(dòng)方程的振幅，頻率，初相。中間有兩個(gè)按鈕和三個(gè)動(dòng)態(tài)文本框，三個(gè)動(dòng)態(tài)文本框從上到下分別獲取豎直方向振動(dòng)方程的振幅，頻率，初相。按鈕的作用分別是繪圖和復(fù)位，并在圖片下方的兩個(gè)名為“水平方程”，“豎直方程”的靜態(tài)文本框中顯示出兩個(gè)垂直方向分運(yùn)動(dòng)的方程。圖片右側(cè)為兩個(gè)坐標(biāo)軸，上方的坐標(biāo)軸繪制無阻尼的李薩如圖形，下方的坐標(biāo)軸繪制考慮阻尼系數(shù)的李薩如圖形。在該圖中，我們可以清晰地看到有無阻尼系數(shù)的李薩如圖形的對(duì)比。點(diǎn)擊plot繪圖，得到圖2。

1.3 有無阻尼的李薩如圖形對(duì)比

以下，我們將對(duì)不同頻率比，不同相位差的李薩如圖形進(jìn)行對(duì)比研究其性質(zhì)。繪制出部分圖像見表1。從表中的對(duì)比可以明顯看出有無阻尼的李薩如圖形在軌跡上大致走向相同。而不同點(diǎn)在于，廣義李薩如曲線隨著時(shí)間的衰減使其最終歸到原點(diǎn)后停止，圖像將不是封閉曲線，也不像無阻尼李薩如圖形一樣具有明顯的對(duì)稱性。

在實(shí)際情況中，通常都存在著阻尼現(xiàn)象，因此有必要掌握廣義李薩如圖形的特征，以了解實(shí)際情況中的振動(dòng)參數(shù)。

2 李薩如圖形的應(yīng)用

通過研究李薩如圖形的特征性的圖像可以得知兩個(gè)互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)參數(shù)，因而在測(cè)量振動(dòng)頻率等方面具有重要價(jià)值[3]?？梢酝ㄟ^李薩如圖形的走向判斷兩分振動(dòng)的頻率比，通過頻率比可由已知頻率測(cè)量未知頻率，利用這種方法可進(jìn)行兩正弦電壓相位差的測(cè)量可達(dá)到很高的精確度。音叉頻率的測(cè)量也是利用這個(gè)原理，即用信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)分運(yùn)動(dòng)，并不斷調(diào)節(jié)其運(yùn)動(dòng)頻率，直到合成運(yùn)動(dòng)是直線、橢圓或者圓，則音叉的頻率就和此時(shí)的信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生的頻率相同[4]。還可以利用李薩如圖形驗(yàn)證普通物理教學(xué)中“相互垂直的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)”[5]。利用李薩如圖形來檢測(cè)力平衡式加速度傳感器的動(dòng)態(tài)特性[2]。

3 結(jié)語

（1）利用MATLAB作為仿真平臺(tái)可以制作圖形用戶界面有效地模擬互相垂直不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，并繪出李薩如圖形。

（2）無阻尼的李薩如圖形具有周期性、對(duì)稱性。

（3）有阻尼振動(dòng)的廣義李薩如圖形具有縮減性、非對(duì)稱性等特點(diǎn)，在研究實(shí)際問題時(shí)有很大的意義。

（4）物理學(xué)是一門實(shí)驗(yàn)性很強(qiáng)的學(xué)科，其理論是建立在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的[6]。由于實(shí)驗(yàn)條件有限，物理學(xué)中的許多內(nèi)容無法在課堂上直接用實(shí)驗(yàn)來進(jìn)行驗(yàn)證，給學(xué)生對(duì)理論的理解帶來了一定的困難。所以對(duì)物理實(shí)驗(yàn)的仿真十分適用于物理課堂。它形象生動(dòng)，感染力強(qiáng)。有利于講清概念，有助于我們理解和記憶。

（5）通過制作了本文中的圖形用戶界面，可以方便快捷地研究有無阻尼的李薩如圖形，直接地對(duì)比其差別；圖形用戶界面也方便應(yīng)用于課堂教學(xué)中。

參考文獻(xiàn)

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[4] 谷曉琪，周修文，霍虎，等.基于MATLAB的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成圖形的動(dòng)態(tài)演示[J]. 電子測(cè)試， 2013（6）：40-43.

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[6] 趙亞軍，丁振瑞，丁文革，等.自制熱機(jī)能量轉(zhuǎn)化演示儀[J].物理，2010（3）：60-62.