代建偉 胡永斌

【摘要】 師生在使用實(shí)驗(yàn)版北師大教材的幾何內(nèi)容的過程中，混淆了“已經(jīng)學(xué)過的命題”和“已經(jīng)證明的命題（定理或推論）”，把“已經(jīng)學(xué)過的命題，但是沒有證明”誤當(dāng)作“已經(jīng)證明的定理”用來作為證明其他定理的依據(jù). 這種障礙的突破主要在認(rèn)識上要明確，方法上要恰當(dāng)，不能不管不問，也不能急于求成.

【關(guān)鍵詞】 實(shí)驗(yàn)版北師大教材；認(rèn)知障礙；三角形中位線定理

【注】 甘肅省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“北師大版實(shí)驗(yàn)教材與修訂版教材中三形中位線定理編排的對比研究”階段成果，課題批準(zhǔn)號：GS[2014]GHB0719

實(shí)驗(yàn)版北師大教材中幾何內(nèi)容大體上分兩階段編排，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中存在一個(gè)認(rèn)知障礙：受第一階段學(xué)習(xí)內(nèi)容的干擾，混淆了“已經(jīng)學(xué)過的命題”和“已經(jīng)證明的命題（定理或推論）”，把“已經(jīng)學(xué)過的命題，但是沒有證明”誤當(dāng)作“已經(jīng)證明的定理”用來作為證明其他定理的依據(jù). 這種問題集中表現(xiàn)在三角形的中位線定理的證明上，學(xué)生在證明定理的過程中由圖形馬上聯(lián)想到的是相似三角形的知識，于是用三角形相似的知識證明三角形中位線定理，北師大版教材在修訂后編排體系做了調(diào)整，三角形中位線定理的證明教學(xué)中不會再出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，降低了教學(xué)的難度，但是修訂教材中幾何內(nèi)容還是有一部分兩階段編排，第一階段學(xué)習(xí)的內(nèi)容同樣會干擾第二階段的學(xué)習(xí)，會出現(xiàn)同樣的問題. 通過搜集整理相關(guān)資料，研究了北師大版實(shí)驗(yàn)教材中幾何內(nèi)容的編排體系，并且從這個(gè)編排體系中探討了學(xué)生在證明三角形中位線定理存在的認(rèn)知障礙；對比研究了兩種教材中與三角形中位線定理有關(guān)的內(nèi)容的編排以及對學(xué)生認(rèn)知的影響；從數(shù)學(xué)史的角度研究了數(shù)學(xué)證明，探討了三角形中位線定理的證明，得出了解決這一類問題的一些措施.

1. 認(rèn)真研究教材的體系

北師大版實(shí)驗(yàn)教材相對傳統(tǒng)的幾何教材變化比較大，傳統(tǒng)的幾何教材采取“直線式編排”，即學(xué)過的幾何知識也就是證明了的定理，幾乎不存在北師大版教材“已經(jīng)學(xué)過的命題，但是沒有證明”的現(xiàn)象，而且我們大多數(shù)老師在上初中的時(shí)候使用的就是這種教材，在使用北師大版實(shí)驗(yàn)教材的過程中有些老師對這種編排體系有些排斥心理.

不管使用哪一種教材，在備課的時(shí)候都要認(rèn)真研究教材的編排體系，在使用北師大版實(shí)驗(yàn)教材的時(shí)候如果能夠整體研究這個(gè)教材體系，就能發(fā)現(xiàn)在幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中會出現(xiàn)“學(xué)而不能用的現(xiàn)象”.

2. 對“學(xué)而不能用的現(xiàn)象”的認(rèn)識

北師大版實(shí)驗(yàn)教材中在第一階段所學(xué)的幾何知識在第二階段定理證明的過程中不能直接應(yīng)用，有些學(xué)生和教師對此感到比較困惑.

其實(shí)“學(xué)而不能用的現(xiàn)象”我們在初中已經(jīng)遇見過，并且我們在高中也會遇到. 在小學(xué)，學(xué)生一般用算數(shù)方法解應(yīng)用題，到了初中為了學(xué)習(xí)并應(yīng)用一元一次方程和方程組解應(yīng)用題，不讓學(xué)生用算數(shù)方法來解；在初中，學(xué)生研究函數(shù)的增減性的時(shí)候，是借助函數(shù)的圖像直觀觀察得到的，到了高中，我們也用直觀的方法，但是在證明函數(shù)的單調(diào)性的時(shí)候，用的是函數(shù)單調(diào)性的定義來證明的，不能用直觀觀察的方法. 算數(shù)和方程是兩種不同的方法，直觀探究和嚴(yán)格的邏輯證明也是兩種不同的方法，我們在正確認(rèn)識這種現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生在類比中認(rèn)識和區(qū)別這兩種方法.

3. 簡單了解歐幾里得編寫的《幾何原本》中幾何部分的學(xué)習(xí)過程和思維過程

當(dāng)提到歐氏幾何時(shí)，教師給學(xué)生介紹《幾何原本》的公理化思想多一些，但是往往忽視歐幾里得編寫《幾何原本》的知識背景，在歐幾里得編寫《幾何原本》之前，古埃及已經(jīng)積累了大量直觀的、實(shí)驗(yàn)的、經(jīng)驗(yàn)的幾何知識，北師大版實(shí)驗(yàn)教材在第一階段編排的直觀探索階段的內(nèi)容也就是想在中學(xué)課本中“還原”這段歷史，歐幾里得確確實(shí)實(shí)經(jīng)歷過這個(gè)階段，并且在這一階段學(xué)習(xí)的內(nèi)容還要比北師大版實(shí)驗(yàn)教材中第一階段編排的內(nèi)容還要多得多.

歐幾里得在編寫《幾何原本》的過程中，已經(jīng)具備了大量的“已經(jīng)學(xué)過，但還在其著作中沒有證明的命題”，也應(yīng)當(dāng)像我們的學(xué)生一樣受到已學(xué)知識的干擾，但是這種干擾沒有難倒歐幾里得，能分辨出并且能合理應(yīng)用. 學(xué)生和歐幾里得之間的差別是多方面的，但是在工作記憶方面就是 “新手和專家”的區(qū)別，歐幾里得在工作記憶中激活的是“組塊的知識”，而我們的學(xué)生在工作記憶中激活的是“零碎的知識”. 因此在教學(xué)的過程中要幫助學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使所學(xué)知識結(jié)構(gòu)化. 4. 簡要畫出定理的邏輯關(guān)系圖

蘇教版對幾何內(nèi)容的編排和北師大版的編排體系有相同之處，也是分兩個(gè)階段進(jìn)行編排，筆者感覺到有一點(diǎn)非常值得借鑒，在“圖形與證明（一）”和“圖形與證明（二）”中的“小結(jié)與思考”中都畫出了命題的邏輯關(guān)系圖，

其實(shí)我們在教學(xué)的過程中可以邊學(xué)邊畫這種關(guān)系圖，讓學(xué)生“看得見”定理之間的邏輯關(guān)系，“看得見”哪些命題已經(jīng)證明了現(xiàn)在是定理，哪些還沒有證明不能作為定理用，減輕了學(xué)生工作記憶的負(fù)擔(dān).

5. 合理利用一個(gè)問題串反復(fù)強(qiáng)調(diào)定理證明的基本規(guī)則

教材在第二階段建立了一個(gè)不太嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，證明每一個(gè)定理的依據(jù)是：公理、定義、已經(jīng)證明了的命題. 在學(xué)習(xí)這個(gè)知識的時(shí)候?qū)W生似乎能夠?qū)W懂，但是在應(yīng)用的過程中不能達(dá)到“自動化”地想到，甚至不去想. 在證明定理的過程中，當(dāng)學(xué)生存在困惑的時(shí)候，要反復(fù)結(jié)合邏輯關(guān)系圖提問：“我們依據(jù)的是什么？我們所依據(jù)的命題證明了沒有？”通過這個(gè)問題串，幫組學(xué)生辨別哪些命題是已經(jīng)學(xué)過的但是現(xiàn)在還沒有證明，幫助學(xué)生檢驗(yàn)在證明定理的過程中是否用了“不該用的命題”，引導(dǎo)學(xué)生逐步理解證明定理的規(guī)則，引導(dǎo)學(xué)生在證明的過程中用這個(gè)問題串自覺的自我提問并檢驗(yàn)自己的證明過程是否用了“不該用的命題”，通過訓(xùn)練形成一種技能，實(shí)現(xiàn)“自動化”.

我們在教學(xué)過程中這種現(xiàn)象可能會反復(fù)出現(xiàn)，我們要幫助學(xué)生并發(fā)揮學(xué)生的主動性，讓學(xué)生能夠根據(jù)自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，尋找原因，及時(shí)糾錯(cuò).