孫明俠

函數(shù)的概念在高考中占很大比重，在《2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)考試大綱》中對(duì)函數(shù)概念的要求是：了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念。在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)了解奇偶性的含義。會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。

函數(shù)是高考中非常重要的內(nèi)容，它是高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一條主線，也是高中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，高考數(shù)學(xué)的大部分內(nèi)容都與函數(shù)有關(guān)，都要用到函數(shù)思想方法。

盡管高中數(shù)學(xué)函數(shù)的內(nèi)容和教學(xué)方法被不斷的完善，但是高中生在函數(shù)學(xué)習(xí)中仍然存在很多困難。因此，筆者通過實(shí)地調(diào)查，探究高中生在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中在函數(shù)概念存在的易錯(cuò)點(diǎn)，并對(duì)高中生函數(shù)函數(shù)概念學(xué)習(xí)困難的原因進(jìn)行分析，以幫助數(shù)學(xué)教育工作者在備考中獲取真實(shí)的學(xué)習(xí)情況反饋信息，希望能夠幫助函數(shù)學(xué)習(xí)困難學(xué)生，使他們?cè)诟呖贾杏兴斋@。

1導(dǎo)言

1.1選題背景

1962年，萊布尼茲（Gottffied Wilhelm Leibniz）首次使用“function”來表示函數(shù)（冪）。1755，歐拉（Leonhard Euler）第一次用變量來定義函數(shù)，他的函數(shù)定義就是初中學(xué)習(xí)函數(shù)的觀點(diǎn)，即應(yīng)用“變化運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)來研究函數(shù)。在此之后，數(shù)學(xué)界對(duì)函數(shù)概念的定義發(fā)生了五次變革。直到康托（GeorgCantor）創(chuàng)立的集合論在被數(shù)學(xué)界普遍認(rèn)可后，維布倫（Ve-blen）第一次用“集合”與“對(duì)應(yīng)”的概念為近代函數(shù)定義，這就是如今高中函數(shù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容。其中集合的概念使得函數(shù)的三要素——對(duì)應(yīng)法則、定義域及值域?qū)崿F(xiàn)具體化，而且打破了“變量是數(shù)”的限制。

函數(shù)是近現(xiàn)代的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要，也最復(fù)雜的概念。現(xiàn)階段正處于新課改的實(shí)踐與探索階段，高中函數(shù)教學(xué)研究已成為中學(xué)甚至高校數(shù)學(xué)教育教學(xué)的研究重點(diǎn)。

2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

2.1函數(shù)的相關(guān)研究

關(guān)于函數(shù)的相關(guān)研究方面，筆者發(fā)現(xiàn)國(guó)內(nèi)學(xué)者分別從函數(shù)的概念、三要素等方面進(jìn)行的相關(guān)研究。

朱文芳（1990）在論文中從心理學(xué)的角度對(duì)高中生函數(shù)概念的學(xué)習(xí)困難做了分析，她分別從概念的形成水平、數(shù)學(xué)氣質(zhì)類型和數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平這三個(gè)方面，通過大量分析，得出了結(jié)論：學(xué)生學(xué)好函數(shù)的概念的重要性。

邢鐲（2013）研究了要求高中學(xué)生掌握的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)進(jìn)行了有限次有理運(yùn)算，或者將這些函數(shù)進(jìn)行有限次復(fù)合，最終得出新函數(shù)的過程。他闡述了高考對(duì)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)的考查范圍和要求，本質(zhì)上都是對(duì)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)的考察。

2.2學(xué)習(xí)困難的相關(guān)研究

筆者發(fā)現(xiàn)關(guān)于函數(shù)學(xué)習(xí)困難研究的文獻(xiàn)并不是很多，其中比較有代表性的有下面這些文章：

裴利芳（1995）分別從知識(shí)結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)的認(rèn)知加工水平、元認(rèn)知技能對(duì)學(xué)習(xí)的影響進(jìn)行有關(guān)“學(xué)習(xí)困難”的研究。主要是對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)困難心理因素從“認(rèn)知結(jié)構(gòu)的角度”進(jìn)行分析。

劉兵（2013）根據(jù)自己的實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，分別從學(xué)生自身因素、函數(shù)本身特征、教師因素三方面對(duì)高中生函數(shù)學(xué)習(xí)困難的原因分析做出了歸納。

3研究方法

3.1研究對(duì)象

為了保證調(diào)查樣本的普遍性，本研究選擇吉林省長(zhǎng)春市的兩所具有代表性的高中進(jìn)行調(diào)查，記為學(xué)校一和學(xué)校二。

4高中生函數(shù)概念學(xué)習(xí)困難分析

4.1總體情況分析

4.1.1高中生函數(shù)概念學(xué)習(xí)困難的整體情況分析

為了了解高中生在函數(shù)概念學(xué)習(xí)過程中存在哪些困難，筆者將學(xué)校一和學(xué)校二學(xué)生在函數(shù)的不同知識(shí)維度上得分情況統(tǒng)計(jì)成表4-1-1：

相對(duì)而言，高中生掌握最好的是函數(shù)的概念。由于函數(shù)概念與函數(shù)的定義域和值域本質(zhì)上是同一個(gè)問題，所以學(xué)生在這兩方面的掌握情況也比較不錯(cuò)。

4.2高中生函數(shù)概念學(xué)習(xí)的主要困難

筆者通過對(duì)調(diào)查問卷結(jié)果分析、學(xué)生訪談?dòng)涗浾硪约罢n堂教學(xué)觀摩和實(shí)踐，意識(shí)到現(xiàn)階段高二和高三學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念、定義域和值域情況并不樂觀，筆者將學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)中存在學(xué)習(xí)困難類型總結(jié)如下：

4.2.1函數(shù)概念的理解和表征困難

函數(shù)的概念是高中數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，數(shù)學(xué)教學(xué)之所以強(qiáng)調(diào)對(duì)函數(shù)概念的理解和掌握，主要原因是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和理解，究其根本是對(duì)于概念的理解。筆者通過對(duì)調(diào)查問卷的分析和整理，總結(jié)出學(xué)生在函數(shù)概念學(xué)習(xí)中主要存在以下兩類學(xué)習(xí)困難：

4.2.1.1函數(shù)的概念記憶困難

高中階段要求分為記憶和理解兩個(gè)階段來學(xué)習(xí)函數(shù)概念，之所以強(qiáng)調(diào)函數(shù)概念記憶的準(zhǔn)確性，是因?yàn)楦咧袑?duì)于函數(shù)概念的定義與學(xué)生在初中學(xué)習(xí)到的定義有所不同。初中是用“運(yùn)動(dòng)變化”的觀點(diǎn)來定義函數(shù)，即“在某個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x，y，如果給x一個(gè)值，就有唯一的y與它相對(duì)應(yīng)”，而高中是從“集合與對(duì)應(yīng)”的角度定義函數(shù)的。學(xué)生是否能夠接受函數(shù)新的定義方式是筆者調(diào)查的主要目的。通過對(duì)學(xué)生調(diào)查問卷的分析，筆者發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)雖然無法將函數(shù)概念準(zhǔn)確的表述出來，但是很多學(xué)生能夠從對(duì)應(yīng)的角度理解函數(shù)的概念：

【問題1】函數(shù)的概念

這類學(xué)生是從集合的角度來描述函數(shù)的概念的，他們對(duì)函數(shù)概念的理解比較準(zhǔn)確，表述過程也相對(duì)完整。

但是部分同學(xué)對(duì)于函數(shù)的定義來源并不明確，比如通過對(duì)下面這名同學(xué)的理解過程可以看出，部分學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念的理解過于表面化。定義域是指函數(shù)中自變量的范圍，而在函數(shù)定義中還沒有明確自變量，因此更無從談及定義域，解答過程如下所示：學(xué)生的得分情況：

有的學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解還限于初中的理解水平，仍然將函數(shù)的定義理解為變量與變量的相應(yīng)關(guān)系：

對(duì)于產(chǎn)生這類學(xué)習(xí)困難的學(xué)生，教師應(yīng)該明確指出高中函數(shù)的理解角度，否則他們將很難理解函數(shù)的意義，并無法在日后的學(xué)習(xí)中觸類旁通。

4.2.1.2函數(shù)概念的理解困難

對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)，尤其是函數(shù)知識(shí)，學(xué)生僅僅可以對(duì)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行復(fù)述是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，要想完全理解函數(shù)的概念，還需要在不同的函數(shù)表征方式中正確辨析，見本調(diào)查中的問題2：

【問題2】以下問題中哪些表示y是關(guān)于x的函數(shù)

本題要求學(xué)生判斷以上表征中是否是函數(shù)，在這10個(gè)小題中，涉及到的函數(shù)表征方式有圖像、表格和解析式。學(xué)生的判斷依據(jù)是函數(shù)的概念，即有關(guān)函數(shù)概念程序性知識(shí)的應(yīng)用。從學(xué)生的得分情況可以看出，學(xué)生在他們常見的（2）、（4）、（5）三類函數(shù)中不存在辨析困難，得分率均達(dá)到100%；對(duì)于（3）、（6）、（7）三類函數(shù)只有部分學(xué)生出現(xiàn)辨析錯(cuò)誤，但是得分率也在95%以上；比較值得注意的是（1）、（8）、（9）、（10），這些題學(xué)生由于沒有抓住函數(shù)概念中“任意x都有唯一y與之相對(duì)應(yīng)”這一精髓，所以出現(xiàn)了判斷錯(cuò)誤。

4.2.2函數(shù)定義域的優(yōu)先考慮困難

在本調(diào)查中，盡管有些題目不是直接考察函數(shù)的定義域，但是筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因卻出于對(duì)函數(shù)定義域的優(yōu)先原則考慮不周。筆者將學(xué)生在解題中出現(xiàn)這類錯(cuò)誤的題目總結(jié)在一起，并統(tǒng)計(jì)了每道題的正確率，以方便通過學(xué)生的答題結(jié)果分析比較，具體見下表：

4.2.2.1定義域

函數(shù)的定義域作為函數(shù)的三個(gè)基本屬性之一，是很多問題的研究基礎(chǔ)，因此學(xué)生能否準(zhǔn)確掌握函數(shù)的定義域求法是高中函數(shù)的必考問題之一。

本題正確人數(shù)410人，正確率為72.44%。從調(diào)查結(jié)果來看，學(xué)生對(duì)于函數(shù)定義域的掌握還有待加強(qiáng)。筆者將學(xué)生出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤進(jìn)行了歸類和總結(jié)，具體有以下兩種：

其中一部分同學(xué)雖然懂得對(duì)自變量的某些限制加以分析，明確被開數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，但卻沒有注意到被開方數(shù)同時(shí)作為分式的分子，因此也就出現(xiàn)了這樣的錯(cuò)誤：

另外一部分同學(xué)不僅出現(xiàn)了上述錯(cuò)誤，還由于審題不仔細(xì)而沒有注意到題目中要求將答案用區(qū)間表示：

綜合以上，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)定義域的相應(yīng)考點(diǎn)對(duì)學(xué)生來說并不陌生，只是在具體解題時(shí)學(xué)生容易顧此失彼，或者沒有按照題目的要求作答。

4.2.2.2求值域

函數(shù)的三個(gè)基本屬性包括函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法則和函數(shù)的值域。其中定義域是求函數(shù)值域的基礎(chǔ)，但是筆者通過研究調(diào)查問卷發(fā)現(xiàn)學(xué)生在求函數(shù)值域時(shí)常常忽略對(duì)定義域的考察。本研究中問題4就反映了這一現(xiàn)象：

本題考察的是求函數(shù)的值域，正確人數(shù)336人，正確率為59.36%。筆者發(fā)現(xiàn)高二和高三學(xué)生對(duì)于函數(shù)值域的掌握情況比較樂觀，學(xué)生關(guān)于本題的求法有以下兩種，一類是通過直接判斷函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)的值域。另一類學(xué)生利用導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而得出函數(shù)的值域：

盡管大部分同學(xué)都掌握了函數(shù)值域的求法，但是本題的得分率依舊不高的原因是學(xué)生忽略了對(duì)函數(shù)定義域的考察：這類學(xué)生的解題思路完全正確，但是由于定義域的求解錯(cuò)誤導(dǎo)致值域的解題困難，所以函數(shù)定義域的優(yōu)先考慮尤為重要。

4.2.2.3圖像

本題的正確人數(shù)為490人，正確率是86.57%本題學(xué)生有兩種解法，一種是現(xiàn)根據(jù)原函數(shù)寫出反函數(shù)的表達(dá)式，然后代值：

還有一種解法是直接將原函數(shù)與反函數(shù)的x和y值對(duì)調(diào)：

這兩種解題思路都是正確的，相比之下不難看出，應(yīng)用反函數(shù)的定義域與原函數(shù)值域的關(guān)系更利于解題。

4.3高中生函數(shù)概念學(xué)習(xí)困難成因分析

4.3.1初高中銜接問題

對(duì)于函數(shù)部分的知識(shí)高中學(xué)生并不陌生，學(xué)生在初中就已經(jīng)對(duì)函數(shù)知識(shí)有簡(jiǎn)單的了解，相當(dāng)一部分同學(xué)在訪談中還表示他們初中階段對(duì)函數(shù)的理解掌握得還算不錯(cuò)，但是到了高中就意識(shí)到初高中函數(shù)內(nèi)容銜接問題成為這部分學(xué)習(xí)的一道鴻溝。調(diào)查結(jié)果顯示，初高中銜接問題是學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)困難的首要因素。初中函數(shù)的相關(guān)知識(shí)簡(jiǎn)單易懂，而高中函數(shù)立足于一個(gè)新的起點(diǎn)。就二次函數(shù)而言，它初中函數(shù)中屬于最難的知識(shí)，但在高中卻作為最基本、最典型的函數(shù)類型來研究，對(duì)于函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性等許多抽象的相關(guān)概念需要借助二次函數(shù)來完成，這對(duì)于剛剛接觸高中數(shù)學(xué)的學(xué)生來說是一個(gè)不小的跨度。關(guān)于初高中銜接的問題，以函數(shù)概念為例，有以下三點(diǎn)區(qū)別：（1）定義方式不同。從初中運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)下傳統(tǒng)的函數(shù)概念，到高中函數(shù)是以集合與對(duì)應(yīng)觀點(diǎn)定義的近代概念。（2）函數(shù)概念理解的跳躍性。初中階段，教師對(duì)“變量”的解釋是“變化的量”，這樣解釋僅僅停留在概念的表面。（3）對(duì)于學(xué)生已有的認(rèn)知水平的一個(gè)挑戰(zhàn)是用集合、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)去理解函數(shù)關(guān)系，此時(shí)的學(xué)生尚未從初中的學(xué)習(xí)思維中跳出來，缺乏用函數(shù)思想分析問題和解決問題的能力。

4.3.2高中學(xué)生思維發(fā)展水平的局限性

筆者通過對(duì)受訪學(xué)生的個(gè)人訪談得知函數(shù)的學(xué)習(xí)困難與高中學(xué)生思維發(fā)展水平有關(guān)。原因之一是學(xué)生的思維發(fā)展水平還沒有從具體形象思維過渡到抽象邏輯思維。高中數(shù)學(xué)課程要求學(xué)生的思維集中于抽象邏輯思維活動(dòng)空間，但是對(duì)于更多的學(xué)生而言，學(xué)生只能對(duì)于抽象邏輯思維活動(dòng)的訓(xùn)練尚未成熟，他們更大程度上仍然需要依賴具體形象的材料來理解抽象的邏輯關(guān)系。這就造成了學(xué)生思維發(fā)展水平相對(duì)于應(yīng)用范圍略顯滯后的結(jié)果。

除此之外，學(xué)生要想學(xué)好高中函數(shù)，必須掌握的技能就是把動(dòng)態(tài)的函數(shù)演變過程轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的獨(dú)立對(duì)象，對(duì)學(xué)生的辯證思維水平要求較高。高中對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展水平要求的是從具體形象思維逐步過渡到抽象邏輯思維，在這樣的思維過渡階段，學(xué)生的辯證思維很難達(dá)到一個(gè)新的跨越。不過，在函數(shù)學(xué)習(xí)過程中具有這樣不可替代的困難性和思維上的跳躍性，才使它成為高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可替代的部分，也成為訓(xùn)練學(xué)生邏輯抽象思維和辯證思維的最佳訓(xùn)練工具。

函數(shù)概念是高考中考察的重點(diǎn)內(nèi)容，通過對(duì)高中生在學(xué)習(xí)的過程中，函數(shù)概念存在的易錯(cuò)點(diǎn)剖析，以幫助數(shù)學(xué)教育工作者在備考中獲取真實(shí)的學(xué)習(xí)情況反饋信息，希望能夠幫助函數(shù)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生在高考中有所收獲。