王慧敏

現(xiàn)在，不僅理工科，越來越多的綜合性大學(xué)開設(shè)了高等數(shù)學(xué)課（主要是微積分），而且微積分也進(jìn)入了高中，職業(yè)高中的課堂.其開設(shè)目的是拓展學(xué)生知識(shí)面，優(yōu)化素質(zhì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)文理整合，培養(yǎng)創(chuàng)新人才.然而微積分的教學(xué)也面臨以下問題：學(xué)生對開設(shè)的目的理解不清，他們基礎(chǔ)差，對數(shù)學(xué)成見尤深，枯燥、抽象、離實(shí)際遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)的代名詞，不合作的被動(dòng)心態(tài)居多，教師因?qū)W科本位注意思想，講課時(shí)啃了“嚴(yán)謹(jǐn)、抽象、證明”這根枯骨而丟了“思想、方法、文化”等血肉，效果令人堪憂.因此，要重新審視微積分在職業(yè)高中的教學(xué).

一、思維方法層面

誠如恩格斯所說：“變量的數(shù)學(xué)其中最主要的部分是微積分，不外乎是辯證法在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用.”相對中學(xué)里常見的形式邏輯思維，微積分除了分析綜合、抽象概括、歸納演繹、直覺猜想等一般思維方法外，更多的是辨證的思想與思維方法.相應(yīng)的思維方式從基本上是靜止地、孤立地、片面地看問題躍遷到動(dòng)態(tài)地、辨證地、全面地看問題.研究對象有：常量與變量，有限與無限，形象與抽象，離散與連續(xù)，變與不變，直與曲，質(zhì)與量，近似與精確，微分與積分，無窮大與無窮小，特殊與一般，換元與轉(zhuǎn)換，原因與結(jié)果，偶然與必然，形式與內(nèi)容等.

二、認(rèn)識(shí)論層面

古希臘文明的最大特點(diǎn)是崇尚理性.居于那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)之神阿基米德已有微積分的思想（窮竭法）的萌芽.當(dāng)中世紀(jì)的陰影漸漸散去時(shí)，歐洲迎來了文藝復(fù)興時(shí)代.人們撣去古希臘理性思想上的宗教神學(xué)的歷史塵埃.如獲至寶地將之和土生土長的實(shí)證精神并排供于科學(xué)的神龕之上，數(shù)學(xué)有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，并因此進(jìn)入了所謂的英雄時(shí)代.牛頓和萊布尼茲把微積分理論建在以直觀為基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和幾何學(xué)的連續(xù)之上.這種大膽的做法雖然屢獲成果，同時(shí)也鑄就了微積分理論基本概念含糊不清的致命傷.例如，無窮小就閃爍其辭和難以把握，以至貝克萊猛烈抨擊它是“已死量的幽靈”.對無窮小隔靴搔癢了多年，一直到18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們依然搞不清它的實(shí)質(zhì).因而，很長的一段時(shí)間里，瑰麗的微積分理論大廈在顫巍巍的浮冰上搖搖晃晃.終于，柯西等給出了比較嚴(yán)格的極限定義，把無窮小定義為極限為0的變量，人們才如夢初醒，微積分的基礎(chǔ)才得以鞏固.

從微積分的孕育、誕生到童年時(shí)代，無不浸透了科學(xué)家殫精竭慮的汗水.它啟迪人們：經(jīng)驗(yàn)到底能帶給我們什么，真理是什么樣子，什么時(shí)候我們就可以心安理得地接受某些理論，面對舊式思想的束縛，我們何去何從；同時(shí)也警告人類，當(dāng)戴老花鏡看新事物時(shí)（如無窮大、無窮小量就不能用適于有限量的運(yùn)算方法來處理等），感性的東西給我們以直觀經(jīng)驗(yàn)，但往往也欺騙人類的純真.因此，龐加萊說：“知覺是不難發(fā)現(xiàn)的，它不能給我們以嚴(yán)格性，甚至不能給我們以可靠性，這一點(diǎn)愈來愈得到公認(rèn).”而微積分的誕生正是人類精神的偉大勝利，當(dāng)看到它宛若嬰兒般蹣跚在科學(xué)的獨(dú)木橋上時(shí)，后世的人們無不怦然心動(dòng).

三、價(jià)值觀層面

有幾層含義：其一是作為科學(xué)的數(shù)學(xué)有一套不同于其它學(xué)科的自身價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)（對微積分的應(yīng)用價(jià)值不必細(xì)說）.數(shù)學(xué)的一般發(fā)展過程是：常識(shí)——語言化——公理化——形式符號(hào)化——自由化，整個(gè)過程即數(shù)學(xué)化.微積分的產(chǎn)生、發(fā)展也大致經(jīng)過如上的過程：先從航海貿(mào)易、礦山開發(fā)、槍炮制造等提出力學(xué)和數(shù)學(xué)問題，由牛頓和萊布尼茲大體完成發(fā)明，但不嚴(yán)謹(jǐn)，爆發(fā)所謂的“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”.之后，柯西、維爾斯特拉斯、戴德金等將之完善，分析理論在此基礎(chǔ)上更加抽象化、形式化、自由化.其二是不同的人（數(shù)學(xué)共同體）研究（學(xué)習(xí)）數(shù)學(xué)有不同的價(jià)值（審美）標(biāo)準(zhǔn)（甚至同一個(gè)人在不同的時(shí)期對數(shù)學(xué)也有不同的標(biāo)準(zhǔn)）.如就數(shù)學(xué)本身是否應(yīng)該關(guān)注實(shí)際應(yīng)用就把數(shù)學(xué)家大體劃分為純粹數(shù)學(xué)家和應(yīng)用數(shù)學(xué)家.對無窮的不同認(rèn)識(shí)就把數(shù)學(xué)家分為潛無限論者和實(shí)無限論者.而在數(shù)學(xué)史上交相輝映的古代中國的機(jī)械化算法體系和古希臘的公式化演繹體系顯然又代表了不同的風(fēng)格.回過頭來，因?yàn)榇髧澄闹髁x和狹隘民族主義的思想作祟，就微積分的發(fā)明權(quán)在英倫諸島和歐洲大陸之間爭吵了半個(gè)世紀(jì).后來人們才接受兩者是獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的事實(shí)：牛頓早萊布尼茲10年開始研究，而萊布尼茲先牛頓3年公開成果.其實(shí)只要從兩者的研究風(fēng)格和價(jià)值的取向上，就不難了卻這一段歷史上的公案.而這也就從一個(gè)側(cè)面反映了以牛頓為首的“英國學(xué)派”和以萊布尼茲為代表的“大陸學(xué)派”的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化差異和人類文化的價(jià)值多元.看表1.

四、情感陶冶層面

當(dāng)前，數(shù)學(xué)教育中偏重學(xué)生的邏輯思維和認(rèn)知能力的發(fā)展，很少指向人的個(gè)性、創(chuàng)造性、實(shí)踐能力，忽視情感體驗(yàn)的培養(yǎng)，輕視非智力因素的教育，這些已是不爭的事實(shí).如何妥善引導(dǎo)學(xué)生品位人類文化的喜悅和精神勝利，促進(jìn)學(xué)生積極情感、價(jià)值觀的形成發(fā)展，也是能否發(fā)揮微積分課的素質(zhì)教育功能之所在.我在實(shí)際的教學(xué)中，用建構(gòu)主義理論指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐，從身邊的例子、應(yīng)用、經(jīng)歷、體驗(yàn)入手，用輕松幽默的通俗語言創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，闡述數(shù)學(xué)思想，受到學(xué)生的普遍歡迎.

案例 關(guān)于連續(xù)的引入，我根據(jù)《揚(yáng)子晚報(bào)》上的報(bào)道講了個(gè)故事，天津靜海一農(nóng)民養(yǎng)一雞，日產(chǎn)一蛋，某日雞產(chǎn)蛋歡叫離去后，即被不知名物食蛋，殼棄窩旁，農(nóng)詫，乃窺，大蛇也，遂造一木蛋，形、色、味類爾，隔日雞去后，代之，蛇至，邊吞邊去，俄頃噼啪摔打，吐血而斃.這里蛇犯的錯(cuò)誤就是錯(cuò)把間斷當(dāng)連續(xù)，而人的成功在于等量代換.而關(guān)于lim（1+1/n）n=e的引入，我則從黃世仁收租的利滾利入手，再到銀行的復(fù)利，建立數(shù)學(xué)模型，n→∞ 并說明它可用于物體的冷卻、鐳的衰變、細(xì)胞的繁殖、樹木的生長等現(xiàn)實(shí)場合……

科學(xué)真正合理的目的就是從混沌中找到秩序，從而賦予人類生活以新的創(chuàng)造和財(cái)富，微積分理論的誕生與發(fā)展無疑印證了這一點(diǎn)，它是數(shù)學(xué)史上乃至人類文明中上光輝的里程碑.