顧健

孔凡哲教授認(rèn)為：數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)研究的核心內(nèi)容之一。而如何促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的意義理解？如何溝通看似分散、孤立的數(shù)量關(guān)系并內(nèi)化為結(jié)構(gòu)模型？這些問(wèn)題都能用認(rèn)知負(fù)荷理論做出很好的解釋。

一、認(rèn)知負(fù)荷的內(nèi)涵詮釋

通常，認(rèn)知負(fù)荷被分為三類(lèi)：內(nèi)在、外在和關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷。內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷是由學(xué)習(xí)內(nèi)容的難度水平導(dǎo)致的負(fù)荷，如“3+3=”和“3×3+2÷3=”的認(rèn)知難度就不同。外在認(rèn)知負(fù)荷并不是學(xué)習(xí)過(guò)程中所必須經(jīng)歷的過(guò)程，很多時(shí)候是一種無(wú)效認(rèn)知負(fù)荷。比如，單純的文字?jǐn)⑹霰取拔淖?圖片”形式帶來(lái)更高的認(rèn)知負(fù)荷。關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷則可以幫助學(xué)生自我調(diào)節(jié)、監(jiān)控和分配認(rèn)知資源以完成相應(yīng)認(rèn)知任務(wù)，能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的進(jìn)程。如“3×4”，教材呈現(xiàn)3個(gè)4相加和4個(gè)3相加，這時(shí)我們呈現(xiàn)矩陣模型與數(shù)軸模型，學(xué)生對(duì)圖式的建構(gòu)就更為完美。

二、數(shù)量關(guān)系教學(xué)的現(xiàn)狀剖析

1. 類(lèi)型多樣———兒童相見(jiàn)不相識(shí)。

小學(xué)數(shù)量關(guān)系包括簡(jiǎn)單、復(fù)合數(shù)量關(guān)系及特殊數(shù)量關(guān)系。其中，復(fù)合數(shù)量關(guān)系是四種基本數(shù)量關(guān)系經(jīng)過(guò)交錯(cuò)組合而成的復(fù)雜數(shù)量關(guān)系，它是一個(gè)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的變化過(guò)程。學(xué)生沒(méi)有相應(yīng)的認(rèn)知資源分配策略，就造成認(rèn)知負(fù)荷的產(chǎn)生。

2. 結(jié)構(gòu)復(fù)雜———亂花漸欲迷人眼。

數(shù)量關(guān)系的表述依賴于文字的呈現(xiàn)與組織，文字組織的多樣性使數(shù)量關(guān)系呈現(xiàn)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。例如，①足球有100只，籃球是足球的3倍多13只，籃球有多少只？②足球有100只，足球是籃球的3倍多13只，籃球有多少只？?jī)煞N表述對(duì)學(xué)生智力的挑戰(zhàn)截然不同，第二種是對(duì)第一種的逆向變換，容易造成認(rèn)知負(fù)荷的超載。

三、遵循認(rèn)知負(fù)荷規(guī)律，催生教學(xué)有效策略

認(rèn)知負(fù)荷理論被引入數(shù)量關(guān)系的教學(xué)中最為核心的是把握認(rèn)知負(fù)荷的分類(lèi)，可以從學(xué)習(xí)材料的結(jié)構(gòu)性、教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)化等方面有針對(duì)性地減少內(nèi)在、外在認(rèn)知負(fù)荷，發(fā)展和完善圖式的構(gòu)建，增加關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷。

（一）重組形式，重構(gòu)教學(xué)，化“負(fù)”為“正”

內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷就其固有本質(zhì)屬性而言，的確難以改變。但是，可以圍繞學(xué)生原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)其內(nèi)容進(jìn)行形式重組、重構(gòu)。最終，確定合理的內(nèi)容與方式進(jìn)行教學(xué)。

1. 以“形變”為思維路徑，識(shí)別“序”的架構(gòu)。

數(shù)量關(guān)系的表述形式是認(rèn)知負(fù)荷產(chǎn)生的主要來(lái)源。例如，形式1：讀書(shū)節(jié)推薦閱讀《窗邊的小豆豆》，李?lèi)傇?jì)劃25天讀完，實(shí)際比計(jì)劃多用了6天，原計(jì)劃每天讀12頁(yè)，實(shí)際每天讀幾頁(yè)？形式2：讀書(shū)節(jié)推薦閱讀《窗邊的小豆豆》，李?lèi)傇?jì)劃每天讀12頁(yè)，25天讀完，實(shí)際比計(jì)劃多用了6天，實(shí)際每天讀幾頁(yè)？

很顯然，形式2的信息排列要求先求出總量，再解決每份數(shù)，屬于典型的歸總關(guān)系結(jié)構(gòu)。前兩個(gè)信息滿足“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”的基本結(jié)構(gòu)，后兩個(gè)信息是“較小量+相差量=較大量”的結(jié)構(gòu)，學(xué)生可以依據(jù)信息順序探尋解決路徑。

2. 以“聯(lián)系”為思維路徑，洞察“聯(lián)”的因果。

學(xué)生原有的知識(shí)儲(chǔ)備具有普遍性和特殊性。在相同年齡、相同年級(jí)和一定區(qū)域的學(xué)生有著較為相似的心理特征與知識(shí)儲(chǔ)備；而對(duì)于學(xué)生個(gè)體而言，各自又有著獨(dú)特的心理規(guī)律與知識(shí)背景。

例如，在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域里用min（a，b）來(lái)表示a、b兩數(shù)中的較小者，而用max（a，b）來(lái)表示a、b兩數(shù)中的較大者，就如min（4，5）=4，max（3，7）=7。請(qǐng)計(jì)算：min（2015，10）×max（20？郾15，8）。這道題將簡(jiǎn)單的倍數(shù)關(guān)系與定義新運(yùn)算相結(jié)合，教師可以讓學(xué)生通過(guò)自我解釋?zhuān)┞吨R(shí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而找到解決問(wèn)題的策略。

（二）依托內(nèi)容，優(yōu)化媒介，化“難”為“易”

教學(xué)設(shè)計(jì)是造成學(xué)生外在認(rèn)知負(fù)荷的主要原因，學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)、媒體的運(yùn)用、典型樣例等越符合學(xué)生的認(rèn)知水平，學(xué)生需要分配的注意就越少，外在認(rèn)知負(fù)荷就會(huì)相應(yīng)降低。

1. 依托內(nèi)容“改一點(diǎn)”，削弱外在認(rèn)知負(fù)荷。

依托原有問(wèn)題，更換其中的單個(gè)條件，以成系列的方式將同一問(wèn)題情境以題組形式呈現(xiàn)，可以幫助學(xué)生降低因加工不同問(wèn)題情境而調(diào)動(dòng)的認(rèn)知資源。以部總關(guān)系為例，簡(jiǎn)單問(wèn)題是“工人種松樹(shù)40棵，種柏樹(shù)80棵，種柏樹(shù)多少棵？”如果按照相差關(guān)系進(jìn)行變換，把松樹(shù)這個(gè)條件變換為較小量，即“工人種柏樹(shù)80棵，種松樹(shù)比柏樹(shù)少40棵，種松樹(shù)多少棵？”可以通過(guò)“較大量-相差量=較小量”獲得結(jié)果；也可以把柏樹(shù)這個(gè)條件變換為較大量，通過(guò)“較小量+相差量=較大量”獲得結(jié)果。這樣的變換可以讓學(xué)生同化數(shù)量關(guān)系間結(jié)構(gòu)，在比較、分析的過(guò)程中捕捉條件之間的關(guān)系。

2. 巧借媒介“添一點(diǎn)”，減少外在認(rèn)知負(fù)荷。

在思維過(guò)程中，視覺(jué)信息和聽(tīng)覺(jué)信息的獲得與加工是分離的，兩種信息的獲取對(duì)內(nèi)容理解形成相互補(bǔ)償。小學(xué)生以具象思維為主，單純依靠語(yǔ)言或符號(hào)的抽象特征，會(huì)使部分認(rèn)知處于閑置狀態(tài)。舉例來(lái)說(shuō)，行程問(wèn)題數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，日常經(jīng)驗(yàn)中“同時(shí)、相向和相遇”并不具備典型性，但它們又萬(wàn)變不離其宗。例如，海監(jiān)船51號(hào)和海監(jiān)船66號(hào)同時(shí)從東西兩海域相向而行，海監(jiān)船51號(hào)每小時(shí)行36海里，海監(jiān)船66號(hào)每小時(shí)行45海里。兩船在距中點(diǎn)27海里處相遇。兩船出發(fā)地之間相距多少海里？通過(guò)設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)直觀的演示課件理解四個(gè)要素的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，或借助實(shí)物輔以操作、體驗(yàn)，形成豐富的圖文聯(lián)系來(lái)彌補(bǔ)生活經(jīng)驗(yàn)的缺失，這就減輕了學(xué)生的外在認(rèn)知負(fù)荷，騰出更多的認(rèn)知資源建構(gòu)數(shù)量關(guān)系。

（三）整合內(nèi)容，統(tǒng)合結(jié)構(gòu)，化“零”為“整”

在總體認(rèn)知負(fù)荷不超載的情況下，增加關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷有助于學(xué)生提升對(duì)數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)與遷移。也就是將簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系以網(wǎng)狀形式呈現(xiàn)，形成關(guān)聯(lián)豐富圖式，以模塊形式儲(chǔ)存，克服認(rèn)知負(fù)荷限制。

1. 歸納類(lèi)型，搭建框架，化“點(diǎn)狀”為“網(wǎng)狀”。

數(shù)量關(guān)系的類(lèi)型化能幫學(xué)生激活原有圖式，進(jìn)一步理解上位的數(shù)量關(guān)系。如在“表內(nèi)乘、除法”的學(xué)習(xí)后，學(xué)生已經(jīng)能識(shí)別份總關(guān)系的表達(dá)———總量÷份數(shù)=每份數(shù)，總量÷每份數(shù)=份數(shù)，每份數(shù)×份數(shù)=總量。借助這三者間的關(guān)系，能抽象出一些常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系，如“單價(jià)、數(shù)量與總價(jià)”“工作時(shí)間、工作效率與工作總量”等，而這些數(shù)量關(guān)系的獲得必須經(jīng)歷歸納、提煉的過(guò)程，以多元表征的方式儲(chǔ)存于認(rèn)知空間，學(xué)生遇到差異性關(guān)系表達(dá)，就能更為主動(dòng)、靈活地選擇。

2. 構(gòu)建圖式，類(lèi)比簡(jiǎn)化，化“粗疏”為“精細(xì)”。

康德曾說(shuō)：“圖式是潛藏在人類(lèi)心靈深處的一種技巧。”不同圖式的建立有助于學(xué)生把問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)于大腦，并在不同的情境中加以識(shí)別、遷移。儲(chǔ)存和提取的效果越接近自動(dòng)化水平，占用的認(rèn)知空間就越少。例如，12箱迷你南瓜，每箱24個(gè)，一共多少個(gè)？數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單，計(jì)算12×24時(shí)只需要激活兩位數(shù)乘一位數(shù)的圖式。如果學(xué)生借助兩位數(shù)乘一位數(shù)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解答，就能激活連乘（12×4×6），乘加混合（24×10+24×2）和連加的圖式，得出不同的計(jì)算方法，從而縮減識(shí)記的數(shù)量單位，減輕記憶負(fù)擔(dān)。

3. 認(rèn)知監(jiān)控，通達(dá)未知，化“被動(dòng)”為“主動(dòng)”。

元認(rèn)知是個(gè)體對(duì)自身認(rèn)知加工過(guò)程的意識(shí)和控制。元認(rèn)知監(jiān)控不能獨(dú)立教學(xué)，它滲透在學(xué)習(xí)的每個(gè)過(guò)程，只要把握好時(shí)機(jī)，學(xué)生就能體驗(yàn)在分析、計(jì)劃、反思中尋找和理解數(shù)量關(guān)系的重要性。例如，在2個(gè)同樣的大盒和5個(gè)同樣的小盒里裝滿球，正好100個(gè)。每個(gè)大盒比每個(gè)小盒多裝8個(gè)，每個(gè)大盒和小盒各裝多少個(gè)？教學(xué)時(shí)，教師呈現(xiàn)兩種假設(shè)，雖然方法不同，但是盒子的數(shù)量不變，總和發(fā)生改變，這與倍數(shù)關(guān)系的問(wèn)題結(jié)構(gòu)不同。這樣的呈現(xiàn)、辨析過(guò)程，讓學(xué)生更好地體悟認(rèn)知監(jiān)控的優(yōu)點(diǎn)。

由于認(rèn)知容量有限，學(xué)生在思維過(guò)程中很容易因負(fù)擔(dān)過(guò)重而產(chǎn)生進(jìn)一步加工信息的瓶頸。教學(xué)中，我們可以分析認(rèn)知負(fù)荷的來(lái)源及構(gòu)成，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的認(rèn)知障礙，給出相應(yīng)的策略，從而進(jìn)行有效的教學(xué)與設(shè)計(jì)。

（作者單位：江蘇省淮陰師范學(xué)院第一附屬小學(xué) 本專(zhuān)輯責(zé)任編輯：王彬）