劉江

近日拜讀了梁勤旺老師的《由一道教參棄選題談數(shù)學(xué)解題反思》（《中小學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版2015年1-2期））以及祝立新老師的《解題勿犯條件性錯(cuò)誤》（《中小學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版2016年1-2期））兩篇文章，兩位老師分別從“解題后反思的重要性”及“解題時(shí)勿犯條件性錯(cuò)誤”兩個(gè)角度談了自己的看法，本人收獲很多，感觸頗深，對(duì)老師們的嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)也深表欽佩。但兩位老師對(duì)該題的一些教學(xué)策略本人不敢茍同，本人將從該題在實(shí)際教學(xué)中不同的教學(xué)策略導(dǎo)致不同教學(xué)效率的角度談?wù)勛约旱目捶?，望同行指正?/p>

教參棄選題原題呈現(xiàn)：已知，求的值。

接著作者給出了三種解法：

解法一（教參解法）：由已知得x≠0，

∵，∴，

∴，∴；

∴，

∴

作者點(diǎn)評(píng)（要點(diǎn)）：解法不循常規(guī)，靈活運(yùn)用倒數(shù)的意義和整體代換的思想而簡(jiǎn)潔求解。

解法二（學(xué)生解法）：由已知得，∴Δ<0，∴原題錯(cuò)誤。

作者點(diǎn)評(píng)（要點(diǎn)）：解法二結(jié)構(gòu)完整，思路連貫，解答過(guò)程完美無(wú)缺。

解法三（整體帶入法）：

∵，∴，

∴，得，

∴。

在實(shí)際教學(xué)中，如果采用解法一的解題策略進(jìn)行教學(xué)，雖然解法一“不循常規(guī)、活用倒數(shù)意義、運(yùn)用整體思想”，但又有多少學(xué)生能夠在有限的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)如此復(fù)雜的變形而順利得到解答呢？同時(shí)，如果學(xué)生要問(wèn)：老師，你為什么要這樣變形？你是怎樣想到的呢？試問(wèn)老師們，你將如何幫助學(xué)生解答心中的疑惑呢？本人認(rèn)為解法一雖然解法漂亮，技巧性高，但對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)不是通解通法，不符合學(xué)生的自然思維規(guī)律，因?yàn)檫@種需要具有復(fù)雜的層次思維，較強(qiáng)的構(gòu)造意識(shí)才能順利解答此題。

我認(rèn)為學(xué)生運(yùn)用解法一解答此題必須經(jīng)過(guò)這樣幾個(gè)復(fù)雜的思維過(guò)程：

第一步：將已知取倒數(shù)：；

第二步：逆用分式加減法則：；

第三步：用等式性質(zhì)變形得整體：；

第四步：將代數(shù)式取倒數(shù)：；

第五步：逆用分式加減法則：

；

第六步：分析兩個(gè)整體與的關(guān)系；

第七步：將化為；

第八步：代入計(jì)算；

第九步：將計(jì)算結(jié)果取倒數(shù)。

請(qǐng)問(wèn)：如此復(fù)雜的層次思維，有多少學(xué)生能夠順利理清？如果不是在第五步出現(xiàn)，又有多少學(xué)生知道前面三步的變形目的？因此，使用這種解法進(jìn)行教學(xué)，即使學(xué)生掌握了運(yùn)算的方法，也必是“知其然而不知其所以然”的機(jī)械式模仿學(xué)習(xí)，這樣的教學(xué)又有何高效可談？

同時(shí)，在實(shí)際教學(xué)中，如果采用解法三的解題策略進(jìn)行教學(xué)，同樣也會(huì)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中云里來(lái)，霧里去，學(xué)生根本不知道“為什么要運(yùn)用已知構(gòu)造x2+1，并且還要將它進(jìn)行平方呢？”，直到構(gòu)造出分母x4+x2+1，學(xué)生可能才有所明白，在這里，學(xué)生可能會(huì)問(wèn)：“老師，你是怎么知道要去構(gòu)造x2+1的呢？你又是怎么知道要將x2+1進(jìn)行平方呢？你又是怎么知道x4+x2+1的值能與分子x2進(jìn)行略分呢？”。請(qǐng)問(wèn)老師們，你又將如何回答學(xué)生呢？

本人認(rèn)為，解法三和解法一都是技巧性很高的解題方法，以這些方法進(jìn)行課堂教學(xué)，是純粹為“教方法”而教，完全脫離學(xué)生實(shí)際，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生機(jī)械性的模仿學(xué)習(xí)，這樣的教學(xué)根本未考慮學(xué)生“在想什么”，未考慮學(xué)生“最自然的解題思維”，在課堂教學(xué)中大多會(huì)出現(xiàn)教師自編、自導(dǎo)、自演的課堂，學(xué)生在課堂上成了接收的機(jī)器，請(qǐng)問(wèn)：這樣的課堂效率在哪里？。

那么，對(duì)于這道教參棄選題，學(xué)生在解答時(shí)到底在想什么？他們最自然的解題思維又是什么呢？本人認(rèn)為解法二才是學(xué)生“最自然的解題思維”，也是祝老師在《解題勿犯條件性錯(cuò)誤》中提到的“它是課程改革極力提倡的通法同解”，因?yàn)閷W(xué)生在解題時(shí)，在已知的情況下，很自然的想到“先求出x，然后將x的值代入”，這也是學(xué)生“最自然的解題思維”。我也贊成祝老師的觀點(diǎn)：第一、這種解法的突出問(wèn)題是可能使時(shí)后面代入求值時(shí)運(yùn)算繁瑣。第二、在已知條件的前提下，該方程實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)法解答。但老師們忽略了一個(gè)問(wèn)題：方程在化為整式方程后是一個(gè)一元二次方程，不管這個(gè)方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解還是無(wú)解，對(duì)于初二學(xué)生來(lái)說(shuō)超出了課程標(biāo)準(zhǔn)的范圍，無(wú)法求解一個(gè)一元二次方程。從這一角度來(lái)看，恐怕也是教參棄選的原因之一吧。

縱觀作者給出的這三種解法，本人認(rèn)為在課堂教學(xué)中都是不適宜的，都會(huì)導(dǎo)致課堂教學(xué)的低效性。那么這類(lèi)題目對(duì)于初二學(xué)生來(lái)說(shuō)在課堂教學(xué)中是否有“適合學(xué)生自然思維的符合課標(biāo)要求的解題方法呢？

下面對(duì)這類(lèi)題目介紹一種解法，供大家參考。為體現(xiàn)命題的嚴(yán)謹(jǐn)性，本文采用祝老師在文中改編的一道題目來(lái)說(shuō)明。

題目：已知，求的值。

誠(chéng)如祝老師所說(shuō)，如采用解法二（通解通法、符合學(xué)生的自然思維），求解出方程的解（暫且不談超出課標(biāo)要求）是兩個(gè)較復(fù)雜的無(wú)理數(shù)，然后分別代入，經(jīng)過(guò)復(fù)雜的運(yùn)算（含有復(fù)雜無(wú)理數(shù)的四次方）得到相同的結(jié)果。在這種運(yùn)算強(qiáng)度和難度都較大的情況下，教師應(yīng)該順勢(shì)組織學(xué)生嘗試新的解法，但我認(rèn)為不宜引導(dǎo)學(xué)生嘗試使用解法一（原因前面已論述），不妨引導(dǎo)學(xué)生觀察代數(shù)式中字母的次數(shù)，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了x4，如何消去x4呢？鼓勵(lì)學(xué)生大膽運(yùn)用“降次”思想，先消去x4（符合學(xué)生的自然思維：次數(shù)高了先降低次數(shù)），降低字母的次數(shù)再看，如何消去x4呢？需要先構(gòu)造x4，如何構(gòu)造呢？可由x2平方得到x4。具體如下：

解：∵，∴x2-x+1=2x，

∴x2=3x-1，∴x4=（3x-1）2=9x2-6x+1，

∴==做到這里，學(xué)生的思維可能又堵上了，不妨引導(dǎo)學(xué)生再次“降次”嘛，又將x2=3x-1代入，∴====，此時(shí)再引導(dǎo)學(xué)生觀察分子與分母的關(guān)系，約分即得結(jié)果為。

此種解法，運(yùn)算強(qiáng)度不大，符合學(xué)生課標(biāo)要求（不必求解一元二次方程），符合學(xué)生的自然思維（字母次數(shù)高了，想辦法降低），兩次運(yùn)用“降次”思想將字母從四次方降低到一次方，運(yùn)用“構(gòu)造”的思想分別構(gòu)造出x2和x4，最后運(yùn)用“整體”思想將分子與分母約分得到解答。在實(shí)際教學(xué)中，采用這種解法的教學(xué)策略，既對(duì)學(xué)生強(qiáng)化了“降次”思想和“構(gòu)造”意識(shí)，也滲透了“整體”思想，又降低了運(yùn)算強(qiáng)度，在這樣的教學(xué)策略指導(dǎo)下的教學(xué)效率能不高嗎？

教師在教學(xué)中不能一味的追求“獨(dú)特方法”和“高超技巧”，脫離學(xué)生實(shí)際，在“臆想”中教學(xué)，這樣的教學(xué)必然是低效的甚至是無(wú)效的。